Funktionsbestimmung ganzrat. < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo ihr alle,
ich bereite mich gerade auf mein Abi vor und habe nun folgende Aufgabe, die ich nicht lösen kann:
Von zwei Funktionen [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{2} [/mm] ist bekannt:
[mm] f_{1} [/mm] ist eine ganzrationele Funktion des 3. Grades, [mm] f_{2} [/mm] eine ganzrationale Funktion 4. Grades, deren Graph zur Achse [mm] a_{"} [/mm] (Hochachse) symmetrisch ist. Beide Funktionen haben die Wendestelle 2, und hier hat der Graph [mm] f_{1} [/mm] eine Wendetangente mit der Steigung 4. Ferner ist p(0;0) Tiefpunkt beider Funktionsgraphen.
Bestimme die Funktionen [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{2}.
[/mm]
Berühren sich die beiden Funktionsgraphen?
Wenn ja, in welchem Punkt?
Ich habe die gegebenen Informationen getrennt zusammengetragen, aber mir fehlt der Ansatz für diese Aufgabe.
Außerdem irritiert mich deren Graph zur Achse [mm] a_{"} [/mm] (Hochachse) symmetrisch ist ... Was genau heißt das?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank jetzt schon mal im voraus,
Stephi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Do 24.03.2005 | | Autor: | Mehmet |
Hallo,
Also du hast eine ganzrationale FUnktion 3. Grades und 4. Grades.
[mm] f_{1}(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
[mm] f_{2}(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e
[/mm]
da [mm] f_{2} [/mm] symmetrisch zur y-Achse ist folgt daraus: b=0; d=0
[mm] \to f_{2}=ax^{4}+cx^{2}+e
[/mm]
Um die gegeben Eigenschaften dir zunutze zu machen, benötigst du von beiden Funktionen die ersten 2 Ableitungen.
(Wendestelle, Extrempunkte, Steigung)
Dann stellst du deine Bedingungen für [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{2} [/mm] auf.
Symmetrie zur y- Achse, heisst dass einem y-wert zwei oder mehrer x- Werte zugeordnet sind: f(x)=f(-x)
Dies war jetzt nur ein oberflächlicher Ansatz, wenn du trotzdem nicht weiter kommst dann melde dich bitte.
Gruß mehmet
|
|
|
| |
|
Hi,
ich habe die ersten beiden Ableitungen von [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{2} [/mm] gebildet:
Abl.1: [mm] f_{1}(x)= [/mm] 3ax² + 2bx + 1
Abl.2: [mm] f_{1}(x)= [/mm] 6ax + 1
Abl.1: [mm] f_{2}(x)= [/mm] 4ax³ + 2cx
Abl.2: [mm] f_{2}(x)= [/mm] 12ax² + 1
Wenn ich aber jetzt die Extrempunkte ausrechnen will, bekomme ich nur zwei Hochpunkte, aber keinen Tiefpunkt heraus...
Abl.1: f{1}(x) = 0
3ax² + 2bx + 1 = 0 | -1
3ax² + 2bx = -1 | x ausklammern
x (3ax + 2b) = -1
x = -1 [mm] \vee [/mm] 3ax + 2b = -1 | -2b
x = - 1 [mm] \vee [/mm] 3ax = -1 -2b | :3a
x = -1 [mm] \vee [/mm] x = [mm] \bruch{-1-2b}{3a}
[/mm]
f{1}(-1)= 6a*(-1)+1
= -6a+1 < 0 ; d.h. Hochstelle
f{1}( [mm] \bruch{-1-2b}{3a})= [/mm] 6a* [mm] \bruch{-1-2b}{3a}+1
[/mm]
= 3a ( -1-2b) + 1
= -3a - 3a - 2b + 1 < 0; d.h. Hochstelle
Irgendwie mach ich was falsch... ich weiß bloß nicht was... ;(
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> ich habe die ersten beiden Ableitungen von [mm]f_{1}[/mm] und
> [mm]f_{2}[/mm] gebildet:
Hallo.
> Wenn ich aber jetzt die Extrempunkte ausrechnen will,
> bekomme ich nur zwei Hochpunkte, aber keinen Tiefpunkt
> heraus...
>
> Abl.1: f{1}(x) = 0
> 3ax² + 2bx + 1 = 0 | -1
> 3ax² + 2bx = -1 | x ausklammern
> x (3ax + 2b) = -1
> x = -1 [mm]\vee[/mm] 3ax + 2b = -1 | -2b
> x = - 1 [mm]\vee[/mm] 3ax = -1 -2b | :3a
> x = -1 [mm]\vee[/mm] x = [mm]\bruch{-1-2b}{3a}
[/mm]
>
> f{1}(-1)= 6a*(-1)+1
> = -6a+1 < 0 ; d.h. Hochstelle
> f{1}( [mm]\bruch{-1-2b}{3a})=[/mm] 6a* [mm]\bruch{-1-2b}{3a}+1
[/mm]
> = 3a ( -1-2b) + 1
> = -3a - 3a - 2b + 1 < 0; d.h.
> Hochstelle
>
> Irgendwie mach ich was falsch... ich weiß bloß nicht was...
> ;(
Keine Panik. Deine ersten Ableitungen sind prima (mit Ausnahme der Tatsache, daß Du die Striche vergessen hast  ).
Aber die zweiten Ableitungen sind leider beide falsch:
> Abl.1: [mm]f'_{1}(x)=[/mm] 3ax² + 2bx + 1
EDIT: Du hast den selben Fehler, den ich bei der 2. Ableitung bemängelte, auch schon bei der 1. gemacht. Es muß deshalb
[mm] $f'_1(x)=3ax^2+2bx+c$ [/mm] heißen.
> Abl.2: [mm]f''_{1}(x)=[/mm] 6ax + 1
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Abl.1: [mm]f'_{2}(x)=[/mm] 4ax³ + 2cx
analog zu oben: [mm] $f'_3(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$.
[/mm]
> Abl.2: [mm]f''_{2}(x)=[/mm] 12ax² + 1
.
Wie kommst Du denn auf die 1? Du mußt doch 2bx bzw 2cx ableiten, und da kommt dann 2b bzw. 2c raus statt 1.
Ich schlage vor, Du versuchst es mit diesen Ergebnissen nochmal, dann dürften die Endergebnisse auch richtig sein.
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
Hallo,
habe die Ableitungen berichtigt, und habe dann meine Kandidaten ( -1 und [mm] \bruch{-1-2b}{3a}) [/mm] in die zweite Ableitung eingesetzt, aber ich bekomme wieder nur zwei Hochstellen, aber keine Tiefstelle heraus, die ich benötige.
Abl.1: [mm]f'_{1}(x)=[/mm] 3ax² + 2bx + 1
Abl.2: [mm]f''_{1}(x)=[/mm] 6ax + 2b
Abl.1: [mm]f'_{2}(x)=[/mm] 4ax³ + 2cx
Abl.2: [mm]f''_{2}(x)=[/mm] 12ax² + 2c
f{1}(-1)= 6a*(-1)+2b
= -6a+2b < 0 ; d.h. Hochstelle
f{1}( [mm]\bruch{-1-2b}{3a})=[/mm] 6a* [mm]\bruch{-1-2b}{3a}+2b
[/mm]
= 3a ( -1-2b) + 2b
= -3a -6ab + 2b < 0; d.h. Hochstelle
Ich finde meinen Fehler nicht, findest du ihn vielleicht?
Liegen Gruß,
Stephi
|
|
|
| |
|
Hallo!
> habe die Ableitungen berichtigt, und habe dann meine
> Kandidaten ( -1 und [mm]\bruch{-1-2b}{3a})[/mm] in die zweite
> Ableitung eingesetzt, aber ich bekomme wieder nur zwei
> Hochstellen, aber keine Tiefstelle heraus, die ich
> benötige.
>
> Abl.1: [mm]f'_{1}(x)=[/mm] 3ax² + 2bx + 1
> Abl.2: [mm]f''_{1}(x)=[/mm] 6ax + 2b
> Abl.1: [mm]f'_{2}(x)=[/mm] 4ax³ + 2cx
> Abl.2: [mm]f''_{2}(x)=[/mm] 12ax² + 2c ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm] f_{1}(-1)= [/mm] 6a*(-1)+2b
> = -6a+2b < 0 ; d.h. Hochstelle
Woher weißt Du, daß das <0 ist? hast Du irgendwelche Vorgaben für a und b?
> [mm] $f_{1}( \bruch{-1-2b}{3a})=$ [/mm] 6a* [mm]\bruch{-1-2b}{3a}+2b
[/mm]
> = 3a ( -1-2b) + 2b
> = -3a -6ab + 2b < 0; d.h. Hochstelle
Die 6a zu Anfang und die 3a im Nenner kürzen sich ja zu 2 weg, dann hast Du: $=2*(-1-2b)+2b=-2b-2$
Kommst Du hiermit etwas weiter?
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
Hi,
erst mal vielen Dank für die Hilfe.
> Woher weißt Du, daß das <0 ist? hast Du irgendwelche
> Vorgaben für a und b?
Nein, hab ich nicht.
Muss ich Bedingungen für a und b herausfinden?
Gruß,
Stephi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Do 24.03.2005 | | Autor: | Disap |
Bestimme die Funktionen [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{2}. [/mm]
Hierbei sind mit Sicherheit die Funktionsgleichungen gemeint.
Der Gag ist es bei gegebenen Punkten lineare Gleichungssysteme aufzustellen.
Nehmen wir das Beispiel zur [mm] Funktion_{1}
[/mm]
Es ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades, deren allgemeinen Funktionsgleichung lautet:
[mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
Wenn wir etwas weiter zurückdenken, zu einer Geraden, so kann man mit zwei gegebenen Punkten die Gerade leicht ermitteln (will ich hier gar nicht weiter ausführen)
Und genau das soll man hier wohl machen.
Lesen wir die Aufgabe durch, so lesen wir, dass die Funktion bei x=2 eine Wendestelle hat (Stelle, weil der Y-Wert nicht gegeben ist).
Die Bedingung für den Wendepunkt ist f''(x)=0
Was für uns bedeutet, dass eine Bedingung (hat Mehmet schon richtig angesprochen) lautet:
f''(2)=0
Hier taucht am Wendepunkt eine Wendetangente (Einfach eine Tangente durch den Wendepunkt gelegt) auf, welche die Steigung 4 hat. Wenn sich eine Gerade und eine ganrtationale Funktion tangieren, dann bedeutet das, sie haben die gleiche STeigung. Daraus folgt eine weitere Bedingung:
f'(2)=4 (Ich hoffe, du weißt noch, wie man die Steigung in einem Punkt ausrechnet).
Desweiteren steht da etwas von einem Tiefpunkt (unwesentlich), es handelt sich um ein Extremum
der Punkt des Exramas ist: P(0|0) => f(0)=0
Das Extrema hat eine Steigung von 0 und daraus folgt die vierte und letzte Bedingung: f'(0)=0
Aus diesen "Bedingungen" kannst du ein lineares Gleichungssystem erstellen:
I f(0)=0
II f'(0)=0
III f'(2)=4
IV f''(2)=0
Beispiel für das erste Gleichungssystem (diese Bedingung wird in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt)
f(0)=0
0 = [mm] a*0^3+b*0^2+c*0+d
[/mm]
woraus folgt
d=0
Nach dem Additions-, Einsetzungs-, Gleichungsetzungsverfahren (ich denke so ein Verfahren wie Gaußverfahren bekommt man nicht im GK-gezeigt, ansonsten funktioniert das natürlich auch) gelöst, lautet die Funktionsgleichung
[mm] f_{1}(x)= [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}x^3+2x^2
[/mm]
Statement:
Die Frage bleibt teilweise unbeantwortet, da für die zweite Funktion nach diesem Verfahren irgendwie nicht zu lösen ist.
Liebe Grüße Disap
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Do 24.03.2005 | | Autor: | Stephi3103 |
Hi,
vielen Dank für deine Mühe, ich habe es hinbekommen.
Wie das mit [mm] f_{2} [/mm] ist, frag ich einfach noch mal bei meinem Lehrer nach.
Nochmals vielen Dank
Stephi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Do 24.03.2005 | | Autor: | Mehmet |
Hallo Stephi,
Also diese Art von Aufgaben, sind ja jene, welche man wie schon oft erwähnt, über LGS löst. Das Prinzip ist das gleiche wie bei LGS mit zwei unbekannten, nur dass es hier etwas umständlicher ist. ich denke dass es vielmehr darum geht das Prinzip zu verstehen. Da deine gegeben Werte ohne Parameter sind ist es möglich dieses LGS über GTR (Graphikfähige Taschenrechner) oder
CAS (Computer-Algebra Systeme) zu lösen.
Ein Beispiel für diese Rechner ist der CASIO CFX-9850 GB PLUS.
Gruß Mehmet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Do 24.03.2005 | | Autor: | Stephi3103 |
Aber 2cx ist doch abgeleitet dann 2c, weil man sich doch 2cx als [mm] 2cx^1 [/mm] vorstellt, die 1 dann nach vorne zieht und dann noch 2c hat, oder?
Sicher bin ich mir auch nicht, aber nach der Erklärung von Christian scheint es zu stimmen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Do 24.03.2005 | | Autor: | Disap |
Also das Problem ist folgendes:
Der gute Mehmet hat folgenden Ansatz gegeben:
[mm] f_{1}(x)=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
leitet man diese Funktionsgleich ab, so erhält man:
[mm] f_{1}'(x)= 3ax^2+2bx+1c [/mm]
Du hast bei deiner Ableitung das c unter den Tisch fallen lassen und Christian hats als richtig anerkannt. Ist es aber nicht, denn sie müsste lauten, wie der Hobbymathematiker gesagt hat.
[mm] f_{1}'(x)= 3ax^2+2bx+c [/mm]
Grüße Disap
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Do 24.03.2005 | | Autor: | Christian |
Alldieweil die Frage, auf die ich geantwortet hab, mit dem restlichen Strang eigentlich nichts zu tun hatte, hab ich es leider versäumt, den Rest des Strangs durchzulesen und daher die erste Ableitung als richtig vorausgesetzt.
Das ändert natürlich das Endergebnis, nicht jedoch die Gültigkeit meiner Antwort.
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Do 24.03.2005 | | Autor: | Disap |
> Alldieweil die Frage, auf die ich geantwortet hab, mit dem
> restlichen Strang eigentlich nichts zu tun hatte, hab ich
> es leider versäumt, den Rest des Strangs durchzulesen und
> daher die erste Ableitung als richtig vorausgesetzt.
> Das ändert natürlich das Endergebnis, nicht jedoch die
> Gültigkeit meiner Antwort.
>
Stephi schrieb in der Frage ("Ableitungen & Frage"):
> Abl.1: [mm] f_{1}(x)= 3ax^2 [/mm] + 2bx + 1
Und du schriebst, dass das richtig wäre und setzt ein dahinter.
Darum geht es mir. Du hast es als richtig markiert => das ist natürlich ein Rechenfehler und somit ein Grund (für mich persönlich) deine Antwort als falsch zu markieren, vor allem da der Hobbymathematiker so korrekt war und das Problem schilderte.
Gruß Disap
> Gruß,
> Christian
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Do 24.03.2005 | | Autor: | Christian |
Hallo disap.
Habe meinen "Fehler" doch erläutert...
Habe aber der correctness halber den wegeditiert, denn der ist das einzige, was im Gesamtzusammenhang falsch ist.
Gruß,
Christian
|
|
|
|
