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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 So 19.02.2006 | | Autor: | arab |
| Aufgabe | [mm] F_{a}(x) [/mm] = 10x e^-ax² (= Soll "e hoch -ax²" bedeuten)
a)
Ermitteln sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktionschar [mm] F_{a}, [/mm] sowie die Schnittpunkte der Funktionschar [mm] F_{a} [/mm] mit den Koordinatenachsen.
b)
Untersuchen sie die Graphen der [mm] F_{a} [/mm] auf Symetrie und Asymptoten.
c)
Ermitteln sie die Extrem- und Wendepunkte von [mm] F_{a}.
[/mm]
d)
Zeigen sie dass [mm] F_{a}(x) [/mm] = - [mm] \bruch{5}{a} [/mm] e^-ax² eine Stammfunktion von [mm] F_{a} [/mm] ist. |
Hallo zusammen
Wir haben das Thema vor kurzem aufgegriffen und ich muss ehrlich sagen, dass ich einfach nicht weiß, wie ich bei einer solchen Aufgabe beginnen soll. (Probleme beim Erstellen von Ableitungen, einer "e-Funktion")
Wäre echt genial, wenn mir jemand als Hilfe einige Lösungsansätze (Am liebsten natürlich eine Musterlösung  ) geben und erklären könnte, damit ich die Aufgabe als Hilfestellung für weitere verwenden kann.
Vielen Dank im Voraus
Gruß
Arab
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 So 19.02.2006 | | Autor: | Pi3141 |
Ich gebe dir jetzt eine Lösungsansätze:
a) Bei der Suche nach dem Definitionsbereich, musst du schauen, was du einsetzten darfst. Bei e-Funktionen sind das immer alle Zahlen, also ist hier der Definitionsbereich [mm] \IR.
[/mm]
Beim Definitionsbereich musst du prinzipiell nur aufpassen, dass keine Nenner 0 werden (hier einfach, da es keine Nenner gibt) und dass unter Wurzeln und Logarithmen nichts negatives steht. e-Funktionen sind, wie schon erwähnt unkritisch.
Bei dem Schnitt mit den Koordinatenachsen schaust du zuerst, wo trifft die Funktion die y-Achse, d.h. was passiert bei x=0. (Hier: 0) Danach schaust du nach Schnittpunkten mit der x-Achse, also wo x=0 ist. Du setzt dabei [mm] f_a(x)=0 [/mm] und schust nach Lösungen. Du weisst, dass die e-Funktion nicht 0 werden kann, deshalb müssen bei diesem Produkt die 10x 0 ergeben, was natürlich nur bei x=0 erfüllt ist.
b) Bei den Symetrien setzt du -x in f ein und schaust, ob wieder f(x) => Achsensymetrisch oder -f(x)=> Punktsymetrisch herauskommt. Sollte weder noch herauskommen, hat die Funktion keine einfache Symetrie. Diese Funktion ist Punktsymetrisch, wie du leicht nachrechnen kannst.
Bei Asymptoten musst du nachschauen, wohin die Funktion geht, wenn x ins Unendliche geht. Betrachte hierzu die Funktion wieder als Produkt zwischen 10x und [mm] e^{-ax^2}. [/mm] Wenn x gegen [mm] +\infty [/mm] geht, geht 10x auch gegen [mm] \infty, [/mm] aber die e-Funktion nimmt schneller ab, deshalb geht die Funktion gegen 0.
Wenn x gegen [mm] -\infty [/mm] geht, geht der e-Teil wieder gegen 0, wegen dfem [mm] x^2, [/mm] der 10x-Teil gegen [mm] -\infty. [/mm] Das e fällt wieder schneller und die Funktion geht wieder gegen 0.
[mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty}f_{a}(x)=0
[/mm]
C) Extrem- und Wendepunkte:
Hier bildest du die Ableitung und setzt sie 0. Bei dieser Aufgabe brauchst du Ketten- und Produktregel. Bei e-Funktionen musst du bei der Produktregel immer nur die Ableitung von dem Zeug, das oben beim e steht mit der ursprünglichen e-Funktion multiplizieren. Ich heb die innere Ableitung mal zwischen die grün-Tags gesetzt.
f(x)=10x [mm] e^{-ax^2}
[/mm]
[mm] f_{a}'(x)=10*e^{-ax^2}+10x*[green](-a*2x)[/green]*e^{-ax^2}
[/mm]
Am Besten du vereinfachst das noch zu [mm] f_{a}'(x)=(10-20ax^2)e^{-ax^2}.
[/mm]
Zum Nullsetzten einfach wieder den e-Teil vernachlässigen (der wird ja nie Null) und nur [mm] 10-20ax^2 [/mm] Null setzten. Das ergibt dann [mm] \pm \bruch{\wurzel{2a}}{2a}. [/mm] Das musst du jetzt nur noch in die Ausgangsfunktion einsetzten und dann hast du die Koordinaten. Um herauszufinden, ob es ein Hoch- oder ein Tiefpunkt ist, verwendest du beim Hochpunkt rechts am besten den Vorzeichenwechsel und am Tiefpunkt links sagst du, dass der Graf punbktsymetrisch ist, und deshalb im Negativen ein Tiefpunkt existiert.
Analog gehen die Wendepunkte.
d)
Die Funktion, die du hier hast, musst du nur ableiten. Wenn es sich um eine Stammfunktion handelt, kommt bei der Ableitung deine ursprüngliche Funktion heraus.
Hoffe du das alles verstanden. Wünsche dir dann noch viel Glück bei der Abi-Vorbereitung (worum es hier ja sicherlich geht).
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