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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Di 21.02.2006 | | Autor: | Lars_B. |
| Aufgabe | 1) Diskutieren Sie die Funktion
y(x) = [mm] \bruch{e^x}{x^2-1}
[/mm]
1.1 Berechnen Sie mögliche Null- und Polstellen.
1.2 Bestimmen Sie den Definitionsbereich.
1.3 Untersuchen Sie die Funktion auf Extremwerte.
1.4 Untersuchen Sie Die Funktion am Rand des Definitionsbereiches.
1.5 Fertigen Sie eine Skizze der Funktion in einem geeigneten Koordinatensystem an. |
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1.1 y(x) = [mm] \bruch {e^x} {x^2-1}
[/mm]
g(x) = [mm] e^x [/mm] g'(x) = [mm] e^x
[/mm]
h(x) = [mm] x^2-1 [/mm] h'(x) = 2x
Die Funktion hat keine Nullstelle, weil [mm] e^x [/mm] nicht Null wird.
Polstellen... also Nenner = Null, Zähler [mm] \not= [/mm] Null
Gilt hier für {1,-1}
Weiss leider da nicht weiter :(
1.2
D = [mm] \IR [/mm] \ {1,-1}
1.3
y'(x) = [mm] \bruch{e^x * (x^2-1) - e^x * 2x}{(x^2-1)^2}
[/mm]
y'(x) = [mm] \bruch{e^x*(x^2-2x-1)}{(x^2-1)^2}
[/mm]
Und nun Nullstellen berechnen (hier nur Zähler):
[mm] x^2-2x-1 [/mm] = 0
[mm] x^2-2x+1-2 [/mm] = 0
[mm] (x-1)^2-2 [/mm] = 0
[mm] (x-1)^2=2
[/mm]
x-1 = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] x_1= [/mm] 1 + [mm] \wurzel{2} x_2 [/mm] = 1 - [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Nach l'Hospital (Zähler und Nenner getrennt differenzieren):
y''(x) = [mm] \bruch{e^x}{2}
[/mm]
y''(1+ [mm] \wurzel{2}) [/mm] = 5,6 > 0 also mininum
y''(1- [mm] \wurzel{2}) [/mm] = 0.33 > 0 hmm macht keinen Sinn ???
1.4 ? wie soll das gemeint sein ?
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Grenzwertsatz nach de l'Hospital