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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Fr 14.05.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Die Funktion [mm] $f:y=\frac{ax^{2}+bx+c}{x+d}$ [/mm] besitzt im Punkt $M(4/6)$ ein Extremum. Zudem hat sie eine schiefe Asymptote mit Steigung 0.5 sowie eine Polstelle bei $x = 2$.
Bestimme $a,b,c$ und $d $und diskutiere anschliessend $f$ (Definitionsbereich Nullstellen, Extremalpunkte, Wendepunkte, Asymptoten, Graph). Falls $a,b,c$ und $d$ nicht berechnet werden können, verwende man für die Diskussion die Werte: $a = 0.5$, $b = 2$, $c = -4$ und $d = -2$ |
hallo,
das erste was man ablesen kann ist die Polstelle, das heisst schon mal $d=2$ bzw.
[mm] $f:y=\frac{ax^{2}+bx+c}{x-2}$ [/mm]
es gilt ja auch $f'(4)=0$:
[mm] \frac{16a-16a-2b-c}{(x-2)^{2}}=0
[/mm]
wobei der Nenner ja weggelassen werden kann, da es reicht, wenn der Zähler $0$ wird. Also:
[mm] $4x^{2}-16a-2b-c [/mm] = 0 $
$-c=2b$
und $f(4)=6$ gilt ja auch noch:
[mm] \frac{16a+4b+c}{2}=6
[/mm]
$16a+4b+c=12$
So, und was mir jetzt noch fehlt ist die Asymptotensteigung zu interpretieren!
Wie mache ich das?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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Hallo,
> Die Funktion [mm]f:y=\frac{ax^{2}+bx+c}{x+d}[/mm] besitzt im Punkt
> [mm]M(4/6)[/mm] ein Extremum. Zudem hat sie eine schiefe Asymptote
> mit Steigung 0.5 sowie eine Polstelle bei [mm]x = 2[/mm].
> Bestimme [mm]a,b,c[/mm] und [mm]d [/mm]und diskutiere anschliessend [mm]f[/mm]
> (Definitionsbereich Nullstellen, Extremalpunkte,
> Wendepunkte, Asymptoten, Graph). Falls [mm]a,b,c[/mm] und [mm]d[/mm] nicht
> berechnet werden können, verwende man für die Diskussion
> die Werte: [mm]a = 0.5[/mm], [mm]b = 2[/mm], [mm]c = -4[/mm] und [mm]d = -2[/mm]
> hallo,
>
>
> das erste was man ablesen kann ist die Polstelle, das
> heisst schon mal [mm]d=2[/mm]
Du meinst [mm] $d=\red{-2}$
[/mm]
> bzw.
>
> [mm]f:y=\frac{ax^{2}+bx+c}{x-2}[/mm]
>
> es gilt ja auch [mm]f'(4)=0[/mm]:
>
> [mm]\frac{16a-16a-2b-c}{(x-2)^{2}}=0[/mm]
>
> wobei der Nenner ja weggelassen werden kann, da es reicht,
> wenn der Zähler [mm]0[/mm] wird. Also:
>
> [mm]4x^{2}-16a-2b-c = 0[/mm]
>
> [mm]-c=2b[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
>
> und [mm]f(4)=6[/mm] gilt ja auch noch:
>
> [mm]\frac{16a+4b+c}{2}=6[/mm]
>
> [mm]16a+4b+c=12[/mm]
>
>
> So, und was mir jetzt noch fehlt ist die Asymptotensteigung
> zu interpretieren!
Was passiert denn mit f für [mm] $x\to\infty$?
[/mm]
Du hast bisher [mm] $f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x-2}=\frac{ax\cdot{}\left(x+\frac{b}{a}+\frac{c}{ax}\right)}{x\cdot{}\left(1-\frac{2}{x}\right)}$
[/mm]
Edit: vllt. schlauer, nur x auszuklammern:
[mm] $f(x)=\frac{x\cdot{}\left(ax+b+\frac{c}{x}\right)}{x\cdot{}\left(1-\frac{2}{x}\right)}$
[/mm]
>
> Wie mache ich das?
Wogegen strebt das für [mm] $x\to\infty$? [/mm] Gegen eine Gerade! Welche? Und die hat laut Vor. die Steigung [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ...
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und
> bin für jede Antwort dankbar.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Fr 14.05.2010 | | Autor: | kushkush |
hallo,
wenn x gegen [mm] \infty [/mm] strebt hätte ich gesagt dass $ax$ übrigbleibt... also dass a = [mm] \frac{1}{2} [/mm] sein muss!
Nur verwirrt mich das gerade weil man doch für die Asymptote die Polynomdivision durch den Nenner machen muss????
danke schachuzipus
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Hallo nochmal,
> hallo,
>
> wenn x gegen [mm]\infty[/mm] strebt hätte ich gesagt dass [mm]ax[/mm]
> übrigbleibt... also dass a = [mm]\frac{1}{2}[/mm] sein muss!
>
> Nur verwirrt mich das gerade weil man doch für die
> Asymptote die Polynomdivision durch den Nenner machen
> muss????
Ja, dann mache das doch mal...
[mm] $(ax^2+bx+c):(x-2)=ax+...$
[/mm]
Kommt doch auch ne Gerade mit Steigung a bei rum ...
>
>
>
> danke schachuzipus
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Fr 14.05.2010 | | Autor: | kushkush |
ok danke... wenn ich allgemein Asymptoten zu einer Funktion suche;
dann, wenn diese gebrochen ist:
Polynomdivision und den "Restterm" weglassen
und wenn sie nicht gebrochen ist:
grenzwertbetrachtung mit [mm] $-\infty$ [/mm] und [mm] $\infty$ [/mm] ?
doch wie erhalte ich die Asymptoten die waagrecht liegen? also wenn zum Beispiel x=0 eine Asymptote ist .... weil durch die Polynomdivision erhalte ich ja immer nur die y-Asymptote??
danke!!
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Hallo,
> ok danke... wenn ich allgemein Asymptoten zu einer Funktion
> suche;
>
>
> dann, wenn diese gebrochen ist:
>
> Polynomdivision und den "Restterm" weglassen
>
> und wenn sie nicht gebrochen ist:
>
> grenzwertbetrachtung mit [mm]-\infty[/mm] und [mm]\infty[/mm] ?
>
>
>
> doch wie erhalte ich die Asymptoten die waagrecht liegen?
Du meinst wohl senkrechte Asymptoten.
Also über Polstellen wissen wir doch Folgendes:
Ist [mm] x_{0} [/mm] Polstelle einer gebrochenrationalen Funktion f, dann gilt
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] |f(x)| = [mm] \infty [/mm] und die Gerade mit der Gleichung x= [mm] x_{0} [/mm] ist senkrechte Asymptote des Graphen von f. In dem Fall hast du also eine senkrechte Asymptote bei x=2.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Sa 15.05.2010 | | Autor: | kushkush |
danke schachuzipus und ms2008de
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