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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Vilinja |
Wir sollen eine Funktion finden, die so aussieht wie die hier: (nur ne Skizze...)
[Dateianhang nicht öffentlich]
...wie ein "Geist".
Ich hab mir überlegt, das Koordinatensystem in die Mitte zu legen, so dass das ganze dann symmetrisch zur y-Achse ist. Dann sind in der Funktion ja nur gerade Hochzahlen.
Wenn ich dann den Hochpunkt in der Mitte z.B. auf [mm] H_{1} [/mm] (0/5) und die anderen Hochpunkte auf (2/3) und (-2/3), dann müsste ich doch mit f'(x) = 0 setzen und so auf ein paar Gleichungen kommen mit denen ich dann die Koeffizienten rausfinden müsste oder?
Aber ich weiß gar nicht wie denn die Funktion aussehen könnte?
Woher weiß ich, ob das nun
f(x) = ax² + [mm] bx^{4} [/mm] ist oder f(x) = ax² + [mm] bx^{4} [/mm] + [mm] cx^{6} [/mm] oder irgendwie anders??
Oder wie soll ich sonst an die Aufgabe rangehen?
Schonmal Danke im Vorraus für jede Hilfe
lg
Vilinja
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Mi 20.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Wir sollen eine Funktion finden, die so aussieht wie die
> hier: (nur ne Skizze...)
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> ...wie ein "Geist".
> Ich hab mir überlegt, das Koordinatensystem in die Mitte
> zu legen, so dass das ganze dann symmetrisch zur y-Achse
> ist. Dann sind in der Funktion ja nur gerade Hochzahlen.
> Wenn ich dann den Hochpunkt in der Mitte z.B. auf [mm]H_{1}[/mm]
> (0/5) und die anderen Hochpunkte auf (2/3) und (-2/3), dann
> müsste ich doch mit f'(x) = 0 setzen und so auf ein paar
> Gleichungen kommen mit denen ich dann die Koeffizienten
> rausfinden müsste oder?
> Aber ich weiß gar nicht wie denn die Funktion aussehen
> könnte?
> Woher weiß ich, ob das nun
> f(x) = ax² + [mm]bx^{4}[/mm] ist oder f(x) = ax² + [mm]bx^{4}[/mm] + [mm]cx^{6}[/mm]
> oder irgendwie anders??
>
> Oder wie soll ich sonst an die Aufgabe rangehen?
>
> Schonmal Danke im Vorraus für jede Hilfe
>
> lg
> Vilinja
>
Hallo Vilinja
Die Idee, das ganze achsensymmetrisch zu machen, ist super.
Da sie aber 5 Extrempunkte hat (drei Hoch- und zwei Tiefp.) brauchst du eine 1. Ableitung mit 5 Nullstellen, das heisst, sie muss vom Grad Fünf sein.
Da die Ableitung aber einen Grad tiefer als die Ausgangsfunkttion ist, muss f(x) vom Grad sechs sein, also, wie du schon richtig vermutest
f(x) = ax² + [mm] bx^{4} [/mm] + [mm] cx^{6} [/mm] Leider fehlt noch ein d dabei.
Ein Tipp noch. Normalerweise fängt man mit den höchsten Exponenten an, also f(x) = [mm] ax^{6}+bx^{4}+cx²+d
[/mm]
Jetzt brauchst du nur noch vier Konkrete Bedingungen, damit die Funktion eindeutig bestimmbar ist.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Aber mit 5 Extrempunkten könnte er 5 Gleichungen aufstellen und bräuchte dann 5 Variablen.
[mm] f(x)=ax^{8}+bx^{6}+cx{^4}+dx²+e
[/mm]
Aber ich glaube nicht, dass damit schon sichergestellt wäre, dass die Funktion wie ein Geist aussieht. Man könnte noch sagen, dass der Hochpunkt in der Mitte z.B. bei H(0|6) liegt und die anderen Hochpunkte nur noch bei H(x|3), und die Tiefpunkte bei T(x|0) damit die Funktion also mal richtig bergab gehen muss und wieder bergauf. Dsamit hätte man aber wieder mehr Gleichungen und mehr Variablen zu beachten und viel mehr zu rechnen...
NEIN
Quatsch, mir ist ja eben etwas aufgefallen. 3 Extrempunkt würden reichen, da die Achsensymmetrie ja dafür sorgt, dass die auf beiden Seiten vorhanden sind! Aber noch Punkte angeben, durch die der Graf laufen soll, kann nicht schaden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:53 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Karlchen |
Ich mein man müsste ein Funktion 4. Grades nehmen und da der Graph ja symmetrisch zur x-Achse sein soll, würde die Funktion [mm] f(x)=ax^{4}+cx^{2}+e [/mm] lauten. Um die Koeffizienten herauszubekommen kann man sich dann 3 Punkte suchen, die auf dem Graphen liegen sollen, ich würde die Extrempunkte wählen und dann ganz normal per Additionsverfahren berechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Wenn die Funktion 4. Grades wäre, könnte sie nicht insgesamt 5 Extremstellen haben. Abgeleitet wäre die Funktion nur noch Grad 3 und könnte damit nur 3 Extremstellen haben. Grad 6 ist mindestens erforderlich! Abgeleitet ist sie 5. Grades->5 Extremstellen.
Edit: Mit einer Funktion 6. Grades habe ich eben einen sehr guten Geist hinbekommen :)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aber keine Angst haben :D
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Do 21.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Vilinja!
Dass es sich bei der dargestellten Form um eine Funktion (mind.) 6. Grades handeln muss, wurde ja geklärt.
Um aber nun auch noch eine eindeutige Lösung für $f(x) \ = \ [mm] a*x^6+b*x^4+c*x^2+d$ [/mm] bestimmen zu können, benötigen wir z.B. noch die Lage der beiden Tiefpunkte bzw. deren Funktionswerte, da wir erst 3 Bestimmungsgleichungen haben mit:
$f(0) \ = \ 5$
$f'(0) \ = \ 0$ (geht aber bereits aus der Symmetrie hervor, von daher keine neue Erkenntnis)
$f(2) \ = \ f(-2) \ = \ 3$
$f'(2) \ = \ f'(-2) \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:04 Do 21.09.2006 | | Autor: | Vilinja |
Danke euch! Hab jetzt auch einen Geist :)
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