Funktionsgleichung mit a,b&x < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Mo 20.02.2006 | | Autor: | abi06 |
| Aufgabe | | Bestimme eine Funktion f mit f(x)=a(x)+ [mm] \bruch{x-1}{bx^2}, [/mm] so dass der Punkt P(2|4) zum Graphen von f gehört und die Funktion a mit a(x)=3 lineare Näherungsfunktion für sehr große bzw. für sehr kleine Werte des Definitionsbereichs von f ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
moin moin!
das is jetz zu krasses fachchinesisch... da kommt doch kein gk'ler mehr mit. bitten um hilfe...
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo,
nicht verwirren lassen - ist mal wieder viel Lärm um (fast) nichts... 
> Bestimme eine Funktion f mit f(x)=a(x)+ [mm]\bruch{x-1}{bx^2},[/mm]
> so dass der Punkt P(2|4) zum Graphen von f gehört und die
> Funktion a mit a(x)=3 lineare Näherungsfunktion für sehr
> große bzw. für sehr kleine Werte des Definitionsbereichs
> von f ist.
Zunächst mal: $a(x)=3$ ist fest, d.h. die Funktion heißt [mm] $f(x)=3+\bruch{x-1}{bx^{2}}$, [/mm] und es gibt nur einen Parameter, nämlich $b$, oder?
Der Punkt (2,4) soll zum Graphen gehören. Das heißt also $f(2)=4$ - allein mit dieser Gleichung kannst du $b$ bestimmen!
Jetzt ist aber noch die Information gegeben, dass $f(x)$ sowohl für [mm] $x\to -\infty$ [/mm] als auch für [mm] $x\to\infty$ [/mm] gegen $3$ streben soll.
Da wir an der Funktion nichts mehr drehen können (der Parameter $b$ ist durch den Punkt (2,4) bereits festgelegt), können wir nur noch überprüfen, ob dem so ist oder nicht. Gilt es, so haben wir die gesuchte Funktion gefunden - gilt es nicht, so gibt es keine solche Funktion...
Ich hoffe, ich habe die Aufgabenstellung richtig interpretiert?!
Falls noch irgendetwas unklar ist, bitte nochmal nachfragen, ok?
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mo 20.02.2006 | | Autor: | abi06 |
soweit schon mal recht vielen dank
wir ham dann b=- [mm] \bruch{3}{16} [/mm] raus...
ist das richtig? uns verwundert das "schiefe" ergebnis...
un ab dem [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] peiln wir voll gar nix mehr... aber gut, lim war noch nie unsere stärke...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo,
> wir ham dann b=- [mm]\bruch{3}{16}[/mm] raus...
Ich komme auf [mm] b=\bruch{1}{4} [/mm] - das ist nicht ganz so schief...
Ihr müsst [mm] $f(2)=3+\bruch{1}{4b}=4$ [/mm] nach $b$ auflösen - überprüft das nochmal...
> un ab dem [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] peiln wir voll gar
> nix mehr... aber gut, lim war noch nie unsere stärke...
Betrachten wir doch mal [mm] $\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\left(3+\bruch{x-1}{bx^{2}}\right)$.
[/mm]
Man könnte den Bruch ja mal durch $x$ kürzen, dann hätten wir
[mm] $\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\left(3+\bruch{1-\bruch{1}{x}}{bx}\right)$.
[/mm]
Wird nun $x$ unendlich groß, so strebt der Zähler gegen $1$ und der Nenner wird unendlich (das gilt sogar für beliebiges konstantes $b>0$). Also strebt der Bruch gegen $0$ und somit $f(x)$ gegen $3$. (Für [mm] $x\to -\infty$ [/mm] geht das genauso.)
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mo 20.02.2006 | | Autor: | abi06 |
| Aufgabe | aufgabe 2: gib monotonieintervalle von f an.
aufgabe 3: gesucht ist eine ganzrationale funktion g zweiten grades, die dieselben nullstellen wie f hat und deren graph den graphen f im punkt p(-2|y) berührt. |
hi!
wir hatten x=4 gesetzt... ups :-[
aber jetz hörts voll auf... was is um alles in der welt ein monotonieintervall???
un wie macht man das bei der aufgabe 3?
bitten um hilfe... sind zu dumm dazu... voll peinlich...
grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo,
> aufgabe 2: gib monotonieintervalle von f an.
Vielleicht wisst ihr, dass eine Funktion $f(x)$ in einem Intervall $(a,b)$ genau dann streng monoton steigend ist, wenn ihre Ableitung $f'(x)$ in diesem Intervall größer Null ist. (Das ganze gilt auch umgekehrt: Streng monoton fallend genau dann, wenn $f'(x)<0$ in dem Bereich.)
Ein Monotonieintervall ist also ein Intervall, in dem sich die Monotonie der Funktion $f$ nicht ändert (also z.B. nur streng monoton steigt).
Ihr müsst zunächst die erste Ableitung $f'(x)$ bilden und auch die Nullstellen von $f'(x)$ ausrechnen. Anschließend schaut ihr euch an, was vor und hinter den Nullstellen "los ist", d.h. ob die Ableitung dort größer oder kleiner Null ist.
Vorsicht bei $x=0$: Dort liegt eine Polstelle vor!
> aufgabe 3: gesucht ist eine ganzrationale funktion g
> zweiten grades, die dieselben nullstellen wie f hat und
> deren graph den graphen f im punkt p(-2|y) berührt.
Ihr müsst natürlich zunächst mal die Nullstellen von $f(x)$ ausrechnen (das sollten genau zwei sein: [mm] $n_{1}$ [/mm] und [mm] $n_{2}$).
[/mm]
Dann sollt ihr eine Parabel finden, d.h. eine Funktion [mm] $g(x)=rx^{2}+sx+t$, [/mm] für die gilt
[mm] $g(n_{1})=rn_{1}^{2}+sn_{1}+t=0$
[/mm]
[mm] $g(n_{2})=rn_{2}^{2}+sn_{2}+t=0$
[/mm]
[mm] $g(-2)=r\cdot(-2)^{2}+s\cdot(-2)+t=f(-2)$
[/mm]
(schließlich sollen sich die Funktionen $f$ und $g$ in $x=-2$ berühren!).
Damit habt ihr drei Informationen - und genau so viele braucht man auch um eine ganzrationale Funktion zweiten Grades eindeutig zu bestimmen.
Ich hab allerdings gerade gemerkt, dass $x=-2$ auch eine Nullstelle von $f(x)$ ist, d.h. zwei der obigen Gleichungen sind identisch.
Man muss daher noch eine weitere Information berücksichtigen: Die Funktionen $f$ und $g$ sollen sich in $x=-2$ berühren, d.h. auch die Ableitungen müssen dort gleich sein: [mm] $g'(-2)=2r\cdot(-2)+s=f'(-2)$.
[/mm]
Das wäre dann die dritte Gleichung!
Wir haben damit ein lineares Gleichungssystem mit den drei Unbekannten $r,s,t$. Das müsst ihr lösen, und dann habt ihr die Parabelfunktion $g(x)$ gefunden!
Viel Spaß!
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Mo 20.02.2006 | | Autor: | abi06 |
$ [mm] g(n_{1})=rn_{1}^{2}+sn_{1}+t=0 [/mm] $
was ist denn dann das [mm] {1}^{2} [/mm] ?
ansonsten hilft das echt gut!
nur da steigen wir aus.
un wir kriegen immer nen anderen wp raus, als das vorschlagsergebnis...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Yuma |
> [mm]g(n_{1})=rn_{1}^{2}+sn_{1}+t=0[/mm]
>
> was ist denn dann das [mm]{1}^{2}[/mm] ?
Sorry , das sollte [mm] $g(n_{1})=r\cdot(n_{1})^{2}+s\cdot n_{1}+t=0$ [/mm] heißen. Mit [mm] $n_{1}$ [/mm] und [mm] $n_{2}$ [/mm] habe ich die Nullstellen bezeichnet, die ihr aber zuerst berechnen müsst. Habt ihr dafür schon etwas raus?
> un wir kriegen immer nen anderen wp raus, als das
> vorschlagsergebnis...
Hatte ich einen Wendepunkt vorgeschlagen???
Und wozu wollt ihr den wissen?
Von Wendepunkten ist doch in dieser Aufgabe gar keine Rede...
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Mo 20.02.2006 | | Autor: | abi06 |
wir müssen ne gesamte kurvendiskussion nebenbei noch machen, aber das trauen wir uns soweit zu. nur am wp passt es überhaupt net...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo,
> wir müssen ne gesamte kurvendiskussion nebenbei noch
> machen, aber das trauen wir uns soweit zu. nur am wp passt
> es überhaupt net...
Wahrscheinlich stimmt eure zweite Ableitung nicht - die müsste lauten:
[mm] $f''(x)=\bruch{8(x-3)}{x^{4}}$, [/mm] so dass nur an der Stelle $x=3$ ein Wendepunkt vorliegen kann.
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Di 21.02.2006 | | Autor: | abi06 |
fragen uns jetzt, was die ableitung f' ist. da haben wir [mm] \bruch{-x+2}{ \bruch{1}{4}x^3}
[/mm]
stimmt denn die?
zumindest stimmt das ergebnis ja schon ma... also scheint die richtig, allerdings könnte es ja im nenner anders sein, was erklären würde, wieso wir als f'' [mm] \bruch{2x-6}{x^4} [/mm] haben.
kann uns jemand noch dringend helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:50 Di 21.02.2006 | | Autor: | abi06 |
vielen dank für die hilfe ;)
wir hätten es wohl heut net mehr geschafft. sind echt gespannt, ob das morgen irgendwer hat. da gibt es ja keine großen leuchten bei uns...
du bist genial als lehrer. viel glück auf deinem weg dorthin!!!
un bis wohl sehr bald zum nächsten problem :) (morgen kommt das wohl)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 Di 21.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo,
freut mich, wenn ich euch (wie viele seit ihr eigentlich?) helfen konnte! 
Also dann viel Spaß morgen und bis bald!
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Mi 22.02.2006 | | Autor: | abi06 |
wir sind 2 mädels ;)
so, die kurvendiskussion is nu fertig un wir sind es auch...
danke nochmals
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mo 20.02.2006 | | Autor: | abi06 |
wir ham jetz
g( [mm] \bruch{2}{3})= \bruch{4}{9}r+ \bruch{2}{3}s+t=0
[/mm]
g(-2)=4r-2+t=0 für [mm] n_{2} [/mm] und auch noch für das letzte vorgeschlagene... was heißt, dass wir 2 ma dasselbe ham...
ham für heute erst ma resigniert... machen morgen weiter...
danke für alle hilfe von dir, yuma!
vielleicht kannste uns das prob auch noch beseitigen ;)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo,
> wir ham jetz
>
> g( [mm]\bruch{2}{3})= \bruch{4}{9}r+ \bruch{2}{3}s+t=0[/mm]
>
> g(-2)=4r-2+t=0 für [mm]n_{2}[/mm] und auch noch für das letzte
> vorgeschlagene... was heißt, dass wir 2 ma dasselbe ham...
Das ist beides richtig, [mm] $\bruch{4}{9}r+\bruch{2}{3}s+t=0$ [/mm] und $4r-2s+t=0$.
Und dass zweimal dieselbe Gleichung herauskommt, liegt daran, dass der Punkt $(-2,f(-2))$ eben eine dieser beiden Nullstellen ist, d.h. wir haben nur zwei Punkte von $g$ (bräuchten aber drei).
Ich hatte das in meiner Antwort noch ergänzt, aber das habt ihr vielleicht nicht mehr gelesen:
Man muss hier noch die Information verwenden, dass die Funktionen $f$ und $g$ sich in $x=-2$ berühren sollen, d.h. auch die Ableitungen müssen dort gleich sein: [mm] $g'(-2)=2r\cdot(-2)+s=f'(-2)$.
[/mm]
Das wäre dann die dritte Gleichung!
Zur Kontrolle gebe ich euch mal die Lösung des linearen Gleichungssystems an: [mm] $r=\bruch{3}{4},\\ s=1,\\ [/mm] t=-1$.
Dann wünsche ich euch mehr Erfolg morgen!
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Mi 22.02.2006 | | Autor: | abi06 |
> aufgabe 2: gib monotonieintervalle von f an.
ist das intervall dann x=2 oder wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo,
> > aufgabe 2: gib monotonieintervalle von f an.
>
> ist das intervall dann x=2 oder wie?
Nein, $2$ ist ein Punkt und kein Intervall!
Es geht darum, zu zeigen, in welchen Intervallen $f(x)$ streng monoton steigt bzw. fällt. Ich sagte ja schon, dass man dazu die erste Ableitung untersuchen muss (ich mach jetzt mal etwas schneller, denn ich will gleich ins Bett!).
Für $x<0$ ist $f'(x)<0$, also ist $f(x)$ streng monoton fallend im Intervall [mm] $]-\infty,0[$.
[/mm]
Für $0<x<2$ ist $f'(x)>0$, also ist $f(x)$ streng monoton steigend im Intervall $]0,2]$.
Für $x>2$ ist $f'(x)<0$, also ist $f(x)$ streng monoton fallend im Intervall [mm] $[2,\infty[$.
[/mm]
Das ist mit Monotonieintervallen gemeint - macht euch aber nochmal klar, warum das alles gilt, also z.B. warum ist $f'(x)<0$ für $x<0$ ?
Wenn ich ein negatives $x$ in den Term [mm] $f'(x)=-4\cdot\bruch{x-2}{x{^3}}$ [/mm] einsetze, wird der Zähler des Bruchs negativ und der Nenner auch! Das heißt Zähler durch Nenner (negativ durch negativ) ist positiv. Durch die $-4$ wird der Term aber insgesamt negativ, also $f'(x)<0$.
Bei den beiden anderen Intervallen muss man genauso argumentieren!
Gute Nacht!
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:37 Mi 22.02.2006 | | Autor: | abi06 |
gute nacht und danke
vielleicht klappt das noch, aber um die zeit wohl eher net mehr. den rest ham wir ja :)
danke danke
gute nacht :)
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