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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 So 08.10.2006 | | Autor: | blank |
| Aufgabe | fa(x)=e^(2x)-2ae^(x)+(3/4)a²
Weisen Sie nach, dass in Abhängigkeit vom Wert des parameters a für a>0 jede reelle Zahl Nullstelle einer funktion fa sein kann |
Hoffe mir kann einer dabei helfen
dank im vorraus an alle die sich daran versuchen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 So 08.10.2006 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, musst du die Funktion gleich null setzen - aber ich denke, dass weißt du  .
Deine Funkion kannst du mit der pq-Formel bearbeiten, vorher lohnt sich jedoch eine Substitution.
[mm] f_a(x)=e^{2x}-2a*e^x+\bruch{3}{4}a^2=(e^x)^2+2a*e^x+\bruch{3}{4}a^2[/mm]
Durch diese Umformung wird es deutlicher, dass du die pq-Formel anwenden kannst. Nun musst du noch definieren [mm]e^x=z[/mm]:
[mm] f_a(x)=z^2-2a*z+\bruch{3}{4}a^2=0[/mm]
Diese Gleichung müsstest du nun selbst lösen können.
Gruß, zetamy.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 So 08.10.2006 | | Autor: | blank |
Wie ich auf die Nullstelle komme hatte ich auch schon herrausgefunen. hätte ich vieleicht dazuschreiben sollen... aber damit ist der Nachweiß ja leider noch nicht erklärt und da komme ich nicht weiter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 So 08.10.2006 | | Autor: | zetamy |
Du musst die Werte für die Nullstellen natürlich wieder re-substituieren:
[mm]z_1=\bruch{3}{2}*a \Rightarrow e^{x_1}=\bruch{3}{2}*a[/mm]
[mm]z_2=\bruch{1}{2}*a \Rightarrow e^{x_2}=\bruch{1}{2}*a[/mm]
Wenn du nun die einzelnen Gleichungen logarithmierst, erhälst du
[mm]x_1=ln(\bruch{3}{2}*a)[/mm] und [mm]x_2=ln(\bruch{1}{2}*a)[/mm]; mit a>0, da die Logarithmusfunktionen (log(x)) nur für x>0 definiert sind.
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