Funktionsschar < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionsschar [mm] f_{k} [/mm] mit [mm] f_{k}(x)=\bruch{x}{e^{x²}-k} [/mm] mit k [mm] \varepsilon \IR
[/mm]
a) Analysieren Sie die Schar, und zeigen Sie, dass die Tiefpunkte der Kurvenschar auf einer Geraden liegen.
b) Für welche k schließen die Scharkurven mit der Geraden y=x eine Fläche mit endlichem Inhalt? |
Hallo,
habe echt keine Idee, wie ich die Aufgaben lösen soll.
Ein kleiner Tipp wäre echt toll.
Vielen Dank und ein schönes Wochenende noch.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 So 08.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
So etwas macht man in der 9. Klasse? ;)
Wie dem auch sei:
a)
Analysieren? Soll das Kurvendiskussion heißen?
Und für den 2. Teil musst du die Tiefpunkte in Abhängigkeit von k ausrechnen. Also einfach ableiten, 0 setzen, x-Werte erhalten und auch gucken, ob es wirklich Tiefpunkte sind.
Dann bekommst du T(x|y) raus, wobei x und y von k abhängen werden. Du kannst dann x oder y nach k umstellen und in die jeweils andere Variable einsetzen um eine Gleichung zu erhalten, in der nur x und y vorkommen. Das sollte dann wohl eine Geradengleichung der Form y=mx+n sein.
b)
Hier würde ich [mm] f_k(x)=x [/mm] setzen. Es muss dann mehr als ein Schnittpunkt rauskommen, sonst wird ja keine Fläche begrenzt.
Außerdem dürfen keine Polstellen auftreten, da sonst auch keine Fläche begrenzt werden würde.
Zeichne mal die Funktion für k=-1, k=0,5 und k=10, dann siehst du, was ich meine.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
| |
|
Wenn ich die 1.Ableitung gleich 0 setze und dann mit dem Nenner multipliziere erhalte ich:
[mm] -k-2e^{x²}x²+e^{x²}=0
[/mm]
doch wie löse ich nach x auf?
mit dem natürlich Logarithmus? und wie würde dies dann gehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 So 08.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Wenn ich die 1.Ableitung gleich 0 setze und dann mit dem
> Nenner multipliziere erhalte ich:
Sicher, dass die erste Ableitung richtig gebildet wurde? Mit Quotientenregel und Kettenregel?
Gruß Abakus
>
> [mm]-k-2e^{x²}x²+e^{x²}=0[/mm]
>
> doch wie löse ich nach x auf?
>
> mit dem natürlich Logarithmus? und wie würde dies dann
> gehen?
|
|
|
| |
|
Hallo,
die Ableitung ist korrekt gebildet worden, jedenfalls stimmt der Zähler. Jedoch sehe ich hier keine Möglichkeit nach x aufzulösen.
Ist die Aufgabe richtig gestellt? Musst du das wirklich für allgemeines k lösen? m.E. existieren Extremwerte sowieso nur für [mm] $k\le [/mm] 0$
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 So 08.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> die Ableitung ist korrekt gebildet worden, jedenfalls
> stimmt der Zähler. Jedoch sehe ich hier keine Möglichkeit
> nach x aufzulösen.
>
> Ist die Aufgabe richtig gestellt? Musst du das wirklich für
> allgemeines k lösen? m.E. existieren Extremwerte sowieso
> nur für [mm]k\le 0[/mm]
>
Hallo,
ich habe es mit Geogebra getestet. Extremwerte gibt es für k<1. Die Tiefpunkte liegen aber nicht auf einer Geraden. Vermutlich ist der Funktionsterm falsch.
Gruß Abakus
> Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 So 08.03.2009 | | Autor: | abakus |
> > Hallo,
> >
> > die Ableitung ist korrekt gebildet worden, jedenfalls
> > stimmt der Zähler. Jedoch sehe ich hier keine Möglichkeit
> > nach x aufzulösen.
> >
> > Ist die Aufgabe richtig gestellt? Musst du das wirklich für
> > allgemeines k lösen? m.E. existieren Extremwerte sowieso
> > nur für [mm]k\le 0[/mm]
> >
> Hallo,
> ich habe es mit Geogebra getestet. Extremwerte gibt es für
> k<1. Die Tiefpunkte liegen aber nicht auf einer Geraden.
> Vermutlich ist der Funktionsterm falsch.
Habs nochmal mit ... [mm] (e^x)^2 [/mm] ... getestet. Da sehen die Tiefpunkte besser aus.
Es war also ein Schreibfehler ( [mm] e^{x^2} =e^{(x^2)}\ne (e^x)^2 [/mm] !)
Gruß Abakus
> Gruß Abakus
> > Gruß Patrick
>
|
|
|
|
