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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Juli17 |
| Aufgabe | Gegeben ist für t(ungleich 0) die Funktion ft(x)=tx³/x²-t
a)Wir sollen den maxilmalen Definitionsbereich bestimmen und auf Symmetrie untersuchen.
b)Gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen bestimmen.
Auf Asymptoten und Extrempunkte untersuchen.
c)Nun sei t>0, der Punkt Pt(u;v) mit u>Wurzel aus t ist ein Punkt des Schaubildes Kt. Die Koordinatenachsen und ihre Parallelen durch Pt begrenzen ein Rechteck. Bestimmen sie die Abszisse des Punktes Pt, für den das Rechteck einen minimalen Flächeninhalt hat. Geben sie diesen Flächeninhalt an. Für welchen Wert von t ist dieses Rechteck ein Quadrat. |
a)Definitionsbereich: x ist Element der reellen Zahlen, habe ich da was vergessen?
Symmetrie: Liege ich in der Annahme richtig, dass keine Symmetrie zur y-Achse besteht und die Funktion auch nicht punktsymmetrisch zum Ursprung ist?
b)Habe da den gemeinsamen Punkt(0;0) herausbekommen.
Asymptoten: Mit der 2. Ableitung und der notwendigen Bedingung bin ich auf: x1= -Wurzel aus t
x2=Wurzel aus t
waagrechte Asymptote: gegen unendlich und gegen minus Unendlich
Extrempunkte:
Musste erstmal die ersten beiden Ableitungen auftsellen und wollte fragen ob diese richtig sind:
[mm] f`(x)=-2tx^{4}/(x²-t)²
[/mm]
[mm] f``(x)=-16tx^{4}/(x²-t)³
[/mm]
Erst wenn die Ableitungen fertig sind, kann ich mit der rechnung fortfahren.
Und zu der nächsten Aufgabe habe ich eine Skizze erstellt. Kann ich davon ausgehen das ein Punkt des Rechtecks (0;0) ist und der andere schräg nach rechts oben liegt und der Punkt P ist? Wie muss ich nun weiter fortfahren?
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Hallo Juli17,
> Gegeben ist für [mm] $t\neq [/mm] 0$ die Funktion [mm] $f_t(x)=\frac{tx^3}{x^2-t}$
[/mm]
>
> a)Wir sollen den maxilmalen Definitionsbereich bestimmen
> und auf Symmetrie untersuchen.
>
> b)Gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen bestimmen.
> Auf Asymptoten und Extrempunkte untersuchen.
>
> c)Nun sei $t>0$, der Punkt [mm] $P_t(u;v)$ [/mm] mit [mm] $u>\sqrt{t}$ [/mm] ist ein
> Punkt des Schaubildes [mm] $K_t$. [/mm] Die Koordinatenachsen und ihre
> Parallelen durch [mm] $P_t$ [/mm] begrenzen ein Rechteck. Bestimmen sie
> die Abszisse des Punktes [mm] $P_t$, [/mm] für den das Rechteck einen
> minimalen Flächeninhalt hat. Geben sie diesen Flächeninhalt
> an. Für welchen Wert von t ist dieses Rechteck ein
> Quadrat.
> a)Definitionsbereich: x ist Element der reellen Zahlen,
> habe ich da was vergessen?
Ja, der Bruch ist nicht definiert, wenn der Nenner 0 ist, durch 0 teilen ist strafbar 
Also [mm] $x^2-t=0\Rightarrow x^2=t$
[/mm]
Jetzt gibt es dafür Lösungen, abhängig davon, ob $t>0$ oder $t<0$ ist ...
>
> Symmetrie: Liege ich in der Annahme richtig, dass keine
> Symmetrie zur y-Achse besteht und die Funktion auch nicht
> punktsymmetrisch zum Ursprung ist?
Nein, setze mal [mm] $f_t(\red{-x})$ [/mm] ein, ich bekomme heraus, dass das [mm] $=\red{-}f_t(x)$ [/mm] ist, also Punktsymmetrie zum Ursprung
>
> b)Habe da den gemeinsamen Punkt(0;0) herausbekommen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Asymptoten: Mit der 2. Ableitung und der notwendigen
> Bedingung bin ich auf: [mm] $x_1=-\sqrt{t}, x_2=\sqrt{t}$
[/mm]
Was bezeichnen [mm] $x_1, x_2$ [/mm] ??
Um die Asymptoten zu bestimmen, schaue dir an, was der Graph von [mm] $f_t(x)$ [/mm] für [mm] $x\to\pm\infty$ [/mm] treibt
Mache eine Polynomdivision Zähler:Nenner, also [mm] $tx^3:(x^2-t)=...$
[/mm]
Damit bekommst du die Asymptote(n) heraus
>
> waagrechte Asymptote: gegen unendlich und gegen minus
> Unendlich
Das ist doch keine waagerechte Asymptote ...
Du hast recht, dass [mm] $f_t(x)\rightarrow \infty$ [/mm] für [mm] $x\to\infty$
[/mm]
Was passiert aber für [mm] $x\to\red{-}\infty$ [/mm] mit [mm] $f_t(x)$ [/mm] ?
Rechne das nochmal nach oder denke scharf nach, was aus der Punktsymmetrie des Graphen [mm] $K_t$ [/mm] folgt ...
Außerdem könntest du dir noch anschauen, wie es mit den senkrechten Asymptoten=Polstellen=Nullstellen des Nenners aussieht
>
> Extrempunkte:
> Musste erstmal die ersten beiden Ableitungen auftsellen
> und wollte fragen ob diese richtig sind:
>
> [mm]f'(x)=-2tx^{4}/(x²-t)²[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du musst gemäß der Quotientenregel ableiten !
> [mm]f''(x)=-16tx^{4}/(x²-t)³[/mm]
Folgefehler ...
>
> Erst wenn die Ableitungen fertig sind, kann ich mit der
> rechnung fortfahren.
>
> Und zu der nächsten Aufgabe habe ich eine Skizze erstellt.
> Kann ich davon ausgehen das ein Punkt des Rechtecks (0;0)
> ist und der andere schräg nach rechts oben liegt
und zwar auf dem Graphen von [mm] $f_t$ [/mm]
> und der Punkt P ist? Wie muss ich nun weiter fortfahren?
Wie berechnet sich denn für solch einen allg. Punkt der Flächeninhalt des beschriebenen Rechtecks?
Den gilt es zu maximieren.
Was weißt du über die Seitenlängen eines Quadrates ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Juli17 |
Gut bin alles nochmal durchgegangen:
a) Beim Definitionsbereich bin ich darauf gekommen dass x ungleich Wurzel aus t und minus Wurzel aus t ist.
Bei der Symmetrie bin ich auf das Gleiche Ergebnis gekommen.
b) Bei den Asymptoten: Die schräge: ist Y=tx-t²x/x²-t(Richtig?)
Sekrechte Asymptote ist x=Wurzel t und x = - Wurzel t
waagrechte Asymtote: Bei x gegen minus Unendlich: kommt Unendlich raus
Ableitungen: [mm] f´(x)=t*x^{4}-3t²x²/(x²-t)²
[/mm]
f´´(x)=-10t²x³+12x²t²-6t³x/4x(x²-t)³
Ich hab ein Talent dafür, lauter Flüchtigkeitsfehler zu machen und bin mir beim letzteren totoal unsicher.
Hab mir nochmal Gedanken zur letzeren Aufgabe gemacht:
Um den Flächeninhalt eines Rechtecks herauszubekommen müsste man u und v so einsetzen das folgende Gleichung entsteht:
A(u,v)=u*v was die Hauptbedingung wäre.
In der Nebenbedingung stellt man ja um (da man weiß wie der Flächeninhalt lautet)...was hier nicht der Fall ist.
Normalerweise käme man dann zu einer Zielfunktion und könnte mit hilfe dieser notwenidge und hinreichende Bedingung aufstellen und somit käme ein Maximum oder Minimum heraus. Aber das hilft mir nicht ganz weiter.
PS: Habe mir eine Zeichnung von der Funktion gemacht und bin dort ebenfalls auf die senkrechten Asymptoten gekommen, sehe auch dass es eine schräge geben muss. Und man erkennt dass die Funktion punktsymmetrisch ist.
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Hallo Juli17,
> Zu Der Aufgabe
> Gut bin alles nochmal durchgegangen:
>
> a) Beim Definitionsbereich bin ich darauf gekommen dass x
> ungleich Wurzel aus t und minus Wurzel aus t ist.
>
> Bei der Symmetrie bin ich auf das Gleiche Ergebnis
> gekommen.
>
> b) Bei den Asymptoten: Die schräge: ist
> Y=tx-t²x/x²-t(Richtig?)
Hier ist gefragt, wie sich die Funktion für [mm]x \to \pm \infty[/mm] verhält.
Genauer: Welcher Funktion nähert sich die gegebene Funktion an, wenn [mm]x \to \pm \infty[/mm]?
Hier in diesem Fall ist das eine Gerade [mm]y=tx[/mm]
>
> Sekrechte Asymptote ist x=Wurzel t und x = - Wurzel t
>
> waagrechte Asymtote: Bei x gegen minus Unendlich: kommt
> Unendlich raus
Hier muß doch nach dem Parameter t unterschieden werden.
>
> Ableitungen: [mm]f´(x)=t*x^{4}-3t²x²/(x²-t)²[/mm]
> f´´(x)=-10t²x³+12x²t²-6t³x/4x(x²-t)³
Die zweite Ableitung mußt Du nochmal nachrechnen.
>
> Ich hab ein Talent dafür, lauter Flüchtigkeitsfehler zu
> machen und bin mir beim letzteren totoal unsicher.
>
> Hab mir nochmal Gedanken zur letzeren Aufgabe gemacht:
>
> Um den Flächeninhalt eines Rechtecks herauszubekommen
> müsste man u und v so einsetzen das folgende Gleichung
> entsteht:
>
> A(u,v)=u*v was die Hauptbedingung wäre.
> In der Nebenbedingung stellt man ja um (da man weiß wie
> der Flächeninhalt lautet)...was hier nicht der Fall ist.
Man weiß aber, daß (u,v) ein Punkt auf f ist.
>
> Normalerweise käme man dann zu einer Zielfunktion und
> könnte mit hilfe dieser notwenidge und hinreichende
> Bedingung aufstellen und somit käme ein Maximum oder
> Minimum heraus. Aber das hilft mir nicht ganz weiter.
>
> PS: Habe mir eine Zeichnung von der Funktion gemacht und
> bin dort ebenfalls auf die senkrechten Asymptoten gekommen,
> sehe auch dass es eine schräge geben muss. Und man erkennt
> dass die Funktion punktsymmetrisch ist.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 So 18.01.2009 | | Autor: | Juli17 |
Ach... jetzt erinner ich mich wieder wie man die letze Aufgabe löst. Aber erstmal zu den Extremwerten: Lautet die 2. Ableitung zufällig:
[mm] 4tx³+6t²x³+6t³x-4tx^5/(x²-t)³???
[/mm]
Zumindest konnte ich die hinreichende Bedingun aufstellen:
[mm] 0=tx^4-3t²x²
[/mm]
Habe für x²=z eingesetzt
Habe dann durch t gerechnet und bin auf die Gleichung:
0=z²-3tz gekommen.
Die Lösungsformel angewendet und bin einmal für z auf 0 und einmal für z auf 3t gekommen.
Aus beiden die Wurzel gezogen kommt x=0 und x=Wurzel aus 3t raus.
Richtig soweit?
Zur letzten Aufgabe:
Habe in die Nebenbedingung die Funktion eingesesetzt, dazu noch u und v. Dann habe ich in der Zielfunktion die Funktion nach v umgestellt eingesetzt und bin auf: [mm] tu^4/u²-t [/mm] gekommen.
Davon habe ich die Ableitungen gebildet:
[mm] A´(u)=2tu^5+4t²u³/(u²-t)²
[/mm]
[mm] A´´(u)=10tu^4-4t²u^4-8u^6t/(u²-t)³
[/mm]
Sind die Ableitungen richtig?
Dann müsste man bei der notwendigen Bedingen [mm] 0=2tu^5+4t²u³ [/mm] aufstellen
U herausbekommen, in die hinreichende Bedingung einsetzen. MaximumPunkt oder Minimumpunkt herausbekommen. Richtig?
Dann kann man v herausbekommen und den Flächeninhalt berechnen. Ja und der Punkt wäre dann auch da.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:07 So 18.01.2009 | | Autor: | moody |
> Zur Aufgabe
> Ach... jetzt erinner ich mich wieder wie man die letze
> Aufgabe löst. Aber erstmal zu den Extremwerten: Lautet die
> 2. Ableitung zufällig:
> [mm]4tx³+6t²x³+6t³x-4tx^5/(x²-t)³???[/mm]
Ich bekomme da [mm] \bruch{2t^2(x^3+3tx)}{(t-x^2)^3} [/mm] heraus.
Vielleicht schreibst du mal deinen Rechnenweg. Benutze doch auch den Formeleditor:
\bruch{3}{4} ergibt [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
lg moody
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 So 18.01.2009 | | Autor: | Juli17 |
Ok...komme jetzt auch auf das Ergebnis, aber bei der letzten Aufgabe, weiß ich nicht so recht weiter. Also habe ja jetzt schon alles, bräuchte nur ne Antwort ob ich auf den richtigen Weg bin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 So 18.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Juli!
Ja: $O \ (0;0)$ ist eine Ecke des Rechteckes und $P_$ eine weitere Ecke.
Auch $A(u) \ = \ u*v$ ist korrekt.
Als Nebenbedingung gilt hier $v \ = \ [mm] f_t(u) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{t*u^3}{u^2-t}$ [/mm] .
So ergibt sich als Zielfunktion:
$$A(u) \ = \ [mm] u*\bruch{t*u^3}{u^2-t} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{t*u^4}{u^2-t}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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