Funktionsschar untersuchen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f_{k}: [/mm] x -> [mm] X^4 [/mm] - [mm] k*x^2 [/mm] mit x [mm] \in \IR [/mm] und k > 0
a) Zeigen Sie, dass sich alle Funktionen der Funktionsschar im Ursprung berühren.
b) Untersuchen Sie die Funktionsschar [mm] f_{k} [/mm] allgemein nach dem zuvor angegebenen Schema und skizzieren Sie die Funktion der Schar für k=1 und k=2 gemeinsam in einem Koordinatensystem.
(Das Schema ist: Definitionsmenge, globales Verhalten, Symmetrie, Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-Achse, Ableitungen, Extrempunkte, Wendepunkte, Wertemenge, Wertetabelle, Graph) |
Mein Lösungsansatz:
a) [mm] f_{k}(x) [/mm] = [mm] x^4 [/mm] - [mm] kx^2
[/mm]
[mm] f_{k}'(x) [/mm] = [mm] 4x^3 [/mm] - 2kx
[mm] f_{k}(0) [/mm] = [mm] 0^4 [/mm] - [mm] k*0^2 [/mm] = 0
[mm] f_{k}'(0) [/mm] = [mm] 4*0^3 [/mm] - 2k*0 = 0
b) 1. Definitionsmenge:
[mm] D_{fk} [/mm] = [mm] \IR
[/mm]
2. Globales Verhalten:
Für x -> [mm] +\infty [/mm] geht f(x) -> [mm] +\infty
[/mm]
Für x -> [mm] -\infty [/mm] geht f(x) -> [mm] -\infty
[/mm]
3. Symmetrie:
Der Graph von f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da alle Potenzen von x gerade sind.
4. Nullstellen:
Bedingung: [mm] f_{k}(x) [/mm] = 0
[mm] x^4 [/mm] - [mm] kx^2 [/mm] = 0
[mm] x^2 (x^2 [/mm] - k) = 0
[mm] x^2 [/mm] = 0 [mm] |\wurzel{}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = 0
[mm] x^2 [/mm] - k = 0 |+k
[mm] x^2 [/mm] = k [mm] |\wurzel{} [/mm]
[mm] x_{2}=\wurzel{k} [/mm]
[mm] x_{3}=-\wurzel{k} [/mm]
[mm] N_{1}(0/0), N_{2} (\wurzel{k}/0), N_{3} (-\wurzel{k}/0)
[/mm]
5. Schnittpunkt mit der y-Achse:
ist wegen [mm] f_{k}(0) [/mm] = [mm] 0^4 [/mm] - [mm] k*0^2 [/mm] = 0 stets nur der Punkt (0/0)
6. Ableitungen:
[mm] f_{k}(x) [/mm] = [mm] x^4 [/mm] - [mm] k*x^2
[/mm]
[mm] f_{k}'(x) [/mm] = [mm] 4x^3 [/mm] - 2kx
[mm] f_{k}''(x) [/mm] = [mm] 12x^2 [/mm] - 2k
[mm] f_{k}'''(x) [/mm] = 24x
7. Extrempunkte:
Notwendige Bedingung: [mm] f_{k}'(x) [/mm] = 0
[mm] 4x^3 [/mm] - 2kx = 0
x [mm] (4x^2 [/mm] - 2k) = 0
[mm] x_{1} [/mm] = 0
[mm] 4x^2 [/mm] - 2k = 0 |+2k
[mm] 4x^2 [/mm] = 2k |:4
[mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{k}{2} |\wurzel{} [/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{k}{2}} [/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] -\wurzel{\bruch{k}{2}} [/mm]
Hinreichende Bedingung: [mm] f_{k}''(x) [/mm] < 0 -> Hochpunkt, [mm] f_{k}''(x) [/mm] > 0 -> Tiefpunkt
[mm] f_{k}''(x_{1}) [/mm] = 12 * [mm] 0^2 [/mm] - 2k
= 0 - 2k
= -2k < 0, also Hochpunkt an der Stelle x = 0
Bestimmung der y-Koordinate des Hochpunktes:
weiß ich leider nicht, wie ich das machen soll
[mm] f_{k}''(x_{2,3}) [/mm] = 12 * [mm] \pm\wurzel{\bruch{k}{2}}^2 [/mm] - 2k
= 12 * [mm] \bruch{k}{2} [/mm] - 2k
= 6k - 2k
= 4k > 0, also Tiefpunkt an der Stelle x = [mm] \pm\wurzel{\bruch{k}{2}}
[/mm]
Bestimmung der y-Koordinate des Tiefpunktes:
weiß ich also auch nicht
8. Wendepunkte:
Notwendige Bedingung: [mm] f_{k}''(x) [/mm] = 0
[mm] 12x^2 [/mm] - 2k = 0 |+2k
[mm] 12x^2 [/mm] = 2k |:12
[mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{k}{6} |\wurzel{} [/mm]
x = [mm] \pm\wurzel{\bruch{k}{6}}
[/mm]
Hinreichende Bedingung: [mm] f_{k}'''(x) \not= [/mm] 0
[mm] f_{k}'''(x) [/mm] = 24x
[mm] f_{k}'''(x) [/mm] = 24 * [mm] (\pm\wurzel{\bruch{k}{6}}) [/mm] -> [mm] \not= [/mm] 0 -> also Wendepunkt an der Stelle [mm] \pm\wurzel{\bruch{k}{6}}
[/mm]
Bestimmung der y-Koordinate:
weiß ich auch nicht
9./10./11. Wertemenge, Wertetabelle, Graph
hier kommt dann noch eine Zusammenfassung, wo ich für k=1 und k=2 die Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte bestimmen soll. Aber das geht ja nur, wenn ich oben allgemein die Punkte auch mit y-Koordinate habe?
Also Nullstellen wären dann bei k=1: [mm] N_{1}(0/0), N_{2}(\wurzel{1}/0), N_{3}(-\wurzel{1}/0)
[/mm]
bei k=2: [mm] N_{1}(0/0), N_{2}(\wurzel{2}/0), N_{3}(-\wurzel{2}/0)
[/mm]
Wertetabelle und Graph zeichnen bekomm ich dann auch wieder hin.
Wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, ob alles richtig ist, was ich gemacht habe und wie ich die fehlenden y-Koordinaten bestimmen kann.
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Sa 18.08.2018 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die Funktion [mm]f_{k}:[/mm] x -> [mm]X^4[/mm] - [mm]k*x^2[/mm] mit x [mm]\in \IR[/mm]
> und k > 0
>
> a) Zeigen Sie, dass sich alle Funktionen der Funktionsschar
> im Ursprung berühren.
>
> b) Untersuchen Sie die Funktionsschar [mm]f_{k}[/mm] allgemein nach
> dem zuvor angegebenen Schema und skizzieren Sie die
> Funktion der Schar für k=1 und k=2 gemeinsam in einem
> Koordinatensystem.
>
> (Das Schema ist: Definitionsmenge, globales Verhalten,
> Symmetrie, Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-Achse,
> Ableitungen, Extrempunkte, Wendepunkte, Wertemenge,
> Wertetabelle, Graph)
> Mein Lösungsansatz:
>
> a) [mm]f_{k}(x)[/mm] = [mm]x^4[/mm] - [mm]kx^2[/mm]
> [mm]f_{k}'(x)[/mm] = [mm]4x^3[/mm] - 2kx
>
> [mm]f_{k}(0)[/mm] = [mm]0^4[/mm] - [mm]k*0^2[/mm] = 0
> [mm]f_{k}'(0)[/mm] = [mm]4*0^3[/mm] - 2k*0 = 0
>
>
>
>
> b) 1. Definitionsmenge:
> [mm]D_{fk}[/mm] = [mm]\IR[/mm]
>
>
> 2. Globales Verhalten:
> Für x -> [mm]+\infty[/mm] geht f(x) -> [mm]+\infty[/mm]
O.k.
> Für x -> [mm]-\infty[/mm] geht f(x) -> [mm]-\infty[/mm]
Das stimmt nicht: richtig ist
Für x -> [mm]-\infty[/mm] geht f(x) -> [mm]\infty[/mm],
wegen [mm] x^4.
[/mm]
Zu Deinen restlichen Fragen:
Willst Du den Funktionswert an der Stelle [mm] x_0 [/mm] bestimmen, so berechne [mm] f_k(x_0).
[/mm]
>
>
> 3. Symmetrie:
> Der Graph von f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da alle
> Potenzen von x gerade sind.
>
>
> 4. Nullstellen:
> Bedingung: [mm]f_{k}(x)[/mm] = 0
>
> [mm]x^4[/mm] - [mm]kx^2[/mm] = 0
> [mm]x^2 (x^2[/mm] - k) = 0
>
> [mm]x^2[/mm] = 0 [mm]|\wurzel{}[/mm]
> [mm]x_{1}[/mm] = 0
>
> [mm]x^2[/mm] - k = 0 |+k
> [mm]x^2[/mm] = k [mm]|\wurzel{}[/mm]
> [mm]x_{2}=\wurzel{k}[/mm]
> [mm]x_{3}=-\wurzel{k}[/mm]
>
> [mm]N_{1}(0/0), N_{2} (\wurzel{k}/0), N_{3} (-\wurzel{k}/0)[/mm]
>
>
> 5. Schnittpunkt mit der y-Achse:
> ist wegen [mm]f_{k}(0)[/mm] = [mm]0^4[/mm] - [mm]k*0^2[/mm] = 0 stets nur der Punkt
> (0/0)
>
>
> 6. Ableitungen:
> [mm]f_{k}(x)[/mm] = [mm]x^4[/mm] - [mm]k*x^2[/mm]
> [mm]f_{k}'(x)[/mm] = [mm]4x^3[/mm] - 2kx
> [mm]f_{k}''(x)[/mm] = [mm]12x^2[/mm] - 2k
> [mm]f_{k}'''(x)[/mm] = 24x
>
>
> 7. Extrempunkte:
> Notwendige Bedingung: [mm]f_{k}'(x)[/mm] = 0
> [mm]4x^3[/mm] - 2kx = 0
> x [mm](4x^2[/mm] - 2k) = 0
>
> [mm]x_{1}[/mm] = 0
>
> [mm]4x^2[/mm] - 2k = 0 |+2k
> [mm]4x^2[/mm] = 2k |:4
> [mm]x^2[/mm] = [mm]\bruch{k}{2} |\wurzel{}[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{k}{2}}[/mm]
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]-\wurzel{\bruch{k}{2}}[/mm]
>
> Hinreichende Bedingung: [mm]f_{k}''(x)[/mm] < 0 -> Hochpunkt,
> [mm]f_{k}''(x)[/mm] > 0 -> Tiefpunkt
>
> [mm]f_{k}''(x_{1})[/mm] = 12 * [mm]0^2[/mm] - 2k
> = 0 - 2k
> = -2k < 0, also Hochpunkt an der Stelle x = 0
>
> Bestimmung der y-Koordinate des Hochpunktes:
> weiß ich leider nicht, wie ich das machen soll
>
> [mm]f_{k}''(x_{2,3})[/mm] = 12 * [mm]\pm\wurzel{\bruch{k}{2}}^2[/mm] - 2k
> = 12 * [mm]\bruch{k}{2}[/mm] - 2k
> = 6k - 2k
> = 4k > 0, also Tiefpunkt an der Stelle x =
> [mm]\pm\wurzel{\bruch{k}{2}}[/mm]
>
> Bestimmung der y-Koordinate des Tiefpunktes:
> weiß ich also auch nicht
>
>
> 8. Wendepunkte:
> Notwendige Bedingung: [mm]f_{k}''(x)[/mm] = 0
> [mm]12x^2[/mm] - 2k = 0 |+2k
> [mm]12x^2[/mm] = 2k |:12
> [mm]x^2[/mm] = [mm]\bruch{k}{6} |\wurzel{}[/mm]
> x = [mm]\pm\wurzel{\bruch{k}{6}}[/mm]
>
> Hinreichende Bedingung: [mm]f_{k}'''(x) \not=[/mm] 0
> [mm]f_{k}'''(x)[/mm] = 24x
> [mm]f_{k}'''(x)[/mm] = 24 * [mm](\pm\wurzel{\bruch{k}{6}})[/mm] -> [mm]\not=[/mm] 0
> -> also Wendepunkt an der Stelle [mm]\pm\wurzel{\bruch{k}{6}}[/mm]
>
> Bestimmung der y-Koordinate:
> weiß ich auch nicht
>
>
> 9./10./11. Wertemenge, Wertetabelle, Graph
> hier kommt dann noch eine Zusammenfassung, wo ich für k=1
> und k=2 die Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte
> bestimmen soll. Aber das geht ja nur, wenn ich oben
> allgemein die Punkte auch mit y-Koordinate habe?
> Also Nullstellen wären dann bei k=1: [mm]N_{1}(0/0), N_{2}(\wurzel{1}/0), N_{3}(-\wurzel{1}/0)[/mm]
>
> bei k=2: [mm]N_{1}(0/0), N_{2}(\wurzel{2}/0), N_{3}(-\wurzel{2}/0)[/mm]
>
>
> Wertetabelle und Graph zeichnen bekomm ich dann auch wieder
> hin.
> Wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, ob alles
> richtig ist, was ich gemacht habe und wie ich die fehlenden
> y-Koordinaten bestimmen kann.
> Vielen Dank im Voraus!
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Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Also setze ich den Hochpunkt/Tiefpunkt/Wendepunkt jeweils in die Gleichung ein und habe dann die jeweilige y-Koordinate?
Für den Hochpunkt wäre das:
[mm] f_{k}(x) [/mm] = [mm] x^4 [/mm] - [mm] kx^2 [/mm]
[mm] f_{k}(0) [/mm] = [mm] 0^4 [/mm] - [mm] k*0^2 [/mm] = 0
Also ist der Hochpunkt an der Stelle H(0/0)
Tiefpunkt:
[mm] f_{k}(x) [/mm] = [mm] x^4 [/mm] - [mm] kx^2
[/mm]
[mm] f_{k}(\wurzel{\bruch{k}{2}}) [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{k}{2}}^4 [/mm] - k * [mm] (\wurzel{\bruch{k}{2}})^2
[/mm]
= [mm] ({\bruch{k}{2}})^2 [/mm] - k * [mm] ({\bruch{k}{2}})
[/mm]
= [mm] \bruch{k^2}{4} [/mm] - [mm] \bruch{k^2}{2} [/mm] = [mm] -\bruch{k^2}{4}
[/mm]
Tiefpunkt an der Stelle [mm] T(\wurzel{\bruch{k}{2}}/-\bruch{k^2}{4})
[/mm]
Wendepunkt:
[mm] f_{k}(x) [/mm] = [mm] x^4 [/mm] - [mm] kx^2
[/mm]
[mm] f_{k}(\wurzel{\bruch{k}{6}}) [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{k}{6}}^4 [/mm] - k * [mm] (\wurzel{\bruch{k}{6}})^2
[/mm]
= [mm] (\bruch{k}{6})^2 [/mm] - k * [mm] \bruch{k}{6}
[/mm]
= [mm] \bruch{k^2}{36} [/mm] - [mm] \bruch{k}{6}^2 [/mm] = [mm] \bruch{5k^2}{36}
[/mm]
Wendepunkt bei [mm] W(\wurzel{\bruch{k}{6}}/\bruch{5k^2}{36})
[/mm]
k=1: H(0/0), T(0,71/-0,25), [mm] W(0,41/-\bruch{5}{36})
[/mm]
k=2: H(0/0), T(1/-0,5), [mm] W(0,58/-\bruch{5}{9})
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Sa 18.08.2018 | | Autor: | abakus |
Nach deiner (richtigen) Aussage ist die Funktion symmetrisch zur y-Achse.
Wenn es also einen Tiefpunkt außerhalb der y-Achse gibt, muss es symmetrisch dazu einen zweiten Tiefpunkt geben.
Wenn du zwei Wendepunkte hast, müssen diese symmetrisch zur y-Achse liegen.
Überprüfe dahingehend deine bisherigen Rechnungen!
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Stimmt..
Hatte bei den x-Werten auch [mm] \pm [/mm] raus.
Also gibt es noch den Tiefpunkt [mm] T_{2}(-\wurzel{\bruch{k}{2}}/-\bruch{k^2}{4})
[/mm]
und den Wendepunkt [mm] W_{2}(-\wurzel{\bruch{k}{6}}/\bruch{5k^2}{36})
[/mm]
k=1 : [mm] T_{2}(-0,71/-0,25) [/mm] und [mm] W_{2}(-0,41/-\bruch{5}{36})
[/mm]
k=2: [mm] T_{2}(-1/-0,5) [/mm] und [mm] W_{2}(-0,58/-\bruch{5}{9})
[/mm]
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Hallo, soweit korrekt, überprüfe aber für k=2 den Tiefpunkt [mm] T_2(-1/-1), [/mm]
[mm] (-1)^4-2*(-1)^2=1-2=-1
[/mm]
Steffi
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