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| Aufgabe | | Für K [mm] \in \IR [/mm] sei fk(x) = x³ + (k-4)x² + (4-4k)x + 4k. Zeige, dass bis auf einen alle Funktionsgraphen an der Stelle 2 die 1. Achse berühren. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Durch Ausprobieren stellt man fest, das diese Aussage stimmt, die Ausnahme bildet k=0 ! Wie wird dies denn jetzt mathematisch bewiesen? Vielen dank schon mal im vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Di 09.05.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hey du!
Hmmm... selbst für k=0 berührt der Graph bei x=2 die x-Achse.
Offensichtlich hast du da etwas falsch ausprobiert ... Hier die mathematische Begründung:
Aus f(k,x)=0 folgt: x = -t [mm] \vee [/mm] x = 2.
Damit ist f1(k,2) = 0 (schonmal gut) und zusätzlich ist f2(k,2) = 2*k+4.
Nun muss man wie folgt argumentieren:
Ist [mm] f2(k,2)\not=0, [/mm] so hat die Funktion an dieser Stelle einen Hoch- oder Tiefpunkt, d.h. die Funktion berührt dort die x-Achse.
Ist f2(k,2)=0 an dieser Stelle, so hat die Funktion dort einen Terassenpunkt und schneidet dort die x-Achse.
Da f2(k,2)=2*k+4 eine lineare Funktion ist, wird sie nur für ein k zu Null ... Für k=-2.
Im Klartext: Nur für k=-2 schneidet der Graph die x-Achse bei x=2, für alle anderen k berührt sie sie dort.
Ich hoffe diese Argumentation über das Krümmungsverhalten der Kurve ist dir verständlich!
Viel Spaß noch beim Rechnen!
Lg, Kübi
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Danke für die schnelle Antwort! Ich steh hier grad aber irgendwie aufm Schlauch! Wie komme ich denn auf "Aus f(k,x)=0 folgt: x = -t x = 2." ?? Meintest du -t oder -k ?? Mit f2 und f3 sind jeweils zweite und dritte ableitung gemeint?!
Danke!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Di 09.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin stephan,
um die schnittpunkte mit der x-achse (1. Achse ??!!) zu bestimmen setze ich
[mm] f_{k}= [/mm] 0
0 = [mm] x^3 [/mm] + (k-4) [mm] x^2 [/mm] + (4-4k) x + 4k
1. eine Nullstelle raten
x=2
2. Polynomdivision machen
[mm] [x^3 [/mm] + (k-4) [mm] x^2 [/mm] + (4-4k) x + 4k] : (x-2) = [mm] x^2 [/mm] + (k-2) x - 2k
- [mm] (x^3 [/mm] -2 [mm] x^2)
[/mm]
-------------------
(k-4+2) [mm] x^2 [/mm]
bzw. (k-2) [mm] x^2 [/mm]
- [(k-2) [mm] x^2 [/mm] - 2(k-2) x]
----------------------------
+(2k-4+4-4k) x
bzw. (-2k) x + 4k
- [(-2k) x + 4k]
---------------------
0
3. Ich erhalte eine quadratische Gleichung
von der ich die beiden (weiteren) Nullstellen bestimmen kann.
[mm] x^2 [/mm] + (k-2) x -2k
hat die Lösungen
x1,2 = - (k-2) / 2 [mm] \pm \wurzel{ \bruch{k^2-4k+4+8k}{4}}
[/mm]
x1,2 = (-k+2) / 2 [mm] \pm [/mm] (k+2) / 2
x1=2
x2=-k-2
hier gibt es keine einschränkungen für k!
ok. also nochmal der andere lösungsversuch.
wenn an der stelle x=2 ein lokales maximum bzw. ein lokales minimum existiert, dann "berührt" der graph die x-achse an der stelle 2.
[dass er die x-achse für jedes k an der stelle 2 schneidet, habe ich oben gezeigt]
f'(x)= 3 [mm] x^2 [/mm] + 2(k-4) x + 4 - 4k
0 = 3 [mm] x^2 [/mm] + 2(k-4) x + 4 -4k
x1,2 = - (k-4) / 3 [mm] \pm \wurzel{\bruch{(k-4)^2}{9} + \bruch{12-12k}{9}}
[/mm]
Diskriminante D = [mm] (k^2 [/mm] -20k +28) / 9
zu prüfen wäre jetzt, wann die diskriminante kleiner als null wird; für diesen fall gäbe es dan keine lösungen für k1,k2 => und auch keine lösungen für x1, x2 !
muss ins bett...
gruss
w.
:
bis später.
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