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| Aufgabe | Funktionsscharr: fa mit fa(x)=10x*e^-ax²
Ermittle Extrem-und Wendepunkte! |
Um die Extrem- und Wendestellen zu berechnen brauch ich ja erstmal die Ableiteunen. Doch wenn ich mit meiner ausgrechneten Ableitung die Extremstellen Ausrechne stimmen sie als Kontrolle mit der Zeichnung nicht überein. Ich weiß aber nicht, wo ich dann den Fehler hab.
Ich habe gerechnet:
f´(x)= 10*(e^-ax²) + 10x* ( -a*e^-ax²)
f´(x)= 10e^-ax² * (1+x*-a)
f´(x)= 10e^-ax²* (-ax+1)
Ist diese erste Ableitung richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo LittleBlondchen,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Deine Ableitung stimmt leider nicht, da Du bei der Ableitung der Teilfunktion [mm] $e^{-a*x^2}$ [/mm] die innere Ableitung nur halbherzig berücksichtigst.
Es muss heißen: [mm] $\left( \ e^{-a*x^2} \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] e^{-a*x^2}*\left( \ -a*x^2 \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{e^{-a*x^2}}_{\text{äußere Ableitung}} [/mm] * [mm] \underbrace{ \left(\red{-2a*x}\right)}_{\text{innere Ableitung}} [/mm] \ = \ [mm] -2a*x*e^{-a*x^2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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kann ich das nicht mit der Produktregel lösen, so haben wir es bei normelen Exponentialfunktionen gelert. f´(x)= u´*v + u * v´
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
Selbstverständlich musst Du bei der Ermittlung der Gesamtableitung mit der  Produktregel arbeiten.
Es muss also insgesamt heißen: [mm] $f_a'(x) [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{10}_{=u'}*\underbrace{e^{-a*x^2}}_{=v}+\underbrace{10x}_{=u}*\underbrace{\left(\red{-2ax*e^{-a*x^2}}\right)}_{=v'} [/mm] \ = \ [mm] e^{-a*x^2}*\left(10-20a*x^2\right)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Um die Extrempunkte zu berechnen muss ich ja nun die 1.Ableitung 0 setzen, aber ich schaff es nicht einen x - Wert rauszubekommen. Ich habe da auch leider keinen Ansatz.
Aber ich bedanke mirch schon mal bei Loddar, dass er mir bei der Ableitung weiterhelfen konnte. Ich weiß jetzt wo da mein Fehler liegt und damit konnt ich gleich eine weitere Aufgabe lösen. Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Littleblondchen!
Wir haben ja folgende Ableitung in einer faktorisierten Form:
[mm] $f_a'(x) [/mm] \ = \ [mm] e^{-a*x^2}*\left(10-20a*x^2\right) [/mm] \ = \ 0$
Nun gilt für ein Produkt: ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich null ist.
Damit ergibt sich also:
[mm] $e^{-a*x^2} [/mm] \ = \ 0$ oder [mm] $10-20a*x^2 [/mm] \ = \ 0$
Schaffst Du es nun, die Nullstellen der 1. Ableitung zu ermitteln?
Gruß
Loddar
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Ich brauch nun noch die 2. Ableitung. Mein Lösungsansatz:
f´´(x) = 2x*e^-ax² + (-2ax*e^-ax²) * (10-20a*x²)
f´´(x) = e^-ax² ( 2x -20ax+40a²*x³) -> kann ich da dann 2x ausklammern sodass
f´´(x) = 2xe^-ax² * (1-10a+20a²x²) entsteht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Sancho |
hallo Littelblondchen,
klar kannst du das, es ist dann
[mm] f_a''(x) = e^{-ax^2}(1-10a + 40a^2 x^2) \cdot 2x
[/mm]
Damit hat du ein Dreifaches Produkt und (für die Wendestellen) ist
das genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.
Viel Erfolg beim weiterrechnen.
Sancho
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ist die 2. Ableitung wie ich sie habe auch richtig? denn ich komm nicht auf die Extremstellen. Oder mach ich einen Fehler bei dem =0 setzen? Wenn ich einen Faktor Null setz hab ich ja eine Stelle der Wendepunkte. D.h. wenn ich 2x gleich null setz bekomm ich für x null raus, was auch nach der zeichnung richtig ist, aber es gibt 3 wendestellen, wie komm ich dann auf die anderen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Sancho |
Hi Littleblondchen,
du hast doch noch 2 weitere Faktoren in diesem Produkt.
Versuch mal den Faktor
[mm] 1-10a +20a^2x^2=0 [/mm] mit der Mitternachtsformel oder der p/q-
Formel nach x aufzulösen.
meine 2. Ableitung lautet
[mm] f_a''(x) =10 e^{-ax^2} (-1 -2ax^2) \cdot 2ax [/mm]
das ergibt dann nur 3 Wendestellen, falls a<0 ist, sonst bekommt man
komplexe Lösungen. Hoffe das hilft dir.
Gruß Sancho
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Kann es sein, das die Ableitung nicht ganz stimmt?
denn die 2. Ableitung setzt sich doch folgendermaßen zusammen:
f´´(x)= 2x*e^-ax² + (-2ax*e^-ax²) * 10-20a*x²
f´´(x)= e^-ax²* ( 2x - 20ax + 40a²x³)
dann kann ich 2x ausklammern:
f´´(x)= e^-ax² * (1- 10a + 20a²x²)
dann kann man doch nicht nochmal 10 ausklammern aufgrund der 1, oder?!
Mfg Littleblondchen
PS: Danke für die anderen Denkanstöße und Hilfen !!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 So 05.03.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo littleblondchen,
> Kann es sein, das die Ableitung nicht ganz stimmt?
> denn die 2. Ableitung setzt sich doch folgendermaßen
> zusammen:
> f´´(x)= 2x*e^-ax² + (-2ax*e^-ax²) * 10-20a*x²
> f´´(x)= e^-ax²* ( 2x - 20ax + 40a²x³)
> dann kann ich 2x ausklammern:
> f´´(x)= e^-ax² * (1- 10a + 20a²x²)
> dann kann man doch nicht nochmal 10 ausklammern aufgrund
> der 1, oder?!
Du hast recht. Deine Ableitung enthält noch einen Fehler.
Die 1. Ableitung ist ja:
[mm] $f_a'(x) [/mm] \ = \ [mm] e^{-a*x^2}*\left(10-20a*x^2\right) [/mm] $
Damit ist
[mm] $f_a''(x) [/mm] \ = -2ax\ [mm] e^{-a*x^2}*\left(10-20a*x^2\right) [/mm] \ + \ [mm] e^{-a*x^2}*\left(-40a*x\right)$ [/mm]
Gruß
Sigrid
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