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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Mi 18.04.2007 | | Autor: | kev |
| Aufgabe | 1) Gegeben ist eine Funktion f mit f(x)= [mm] \bruch{1}{8} x^{4} [/mm] - 3x² + 10 .
a) untersuche die Funktion f
2) Die funktion f mit f(x) = x³ + ax + bx + c sei gegeben.
a) beweise: Der graph von f hat genau einen wendepunkt
b) beweise: es gibt 2 fälle, nämlich:
(1)Der Graph von f hat genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt und im wendepunkt negative steigung.
(2)Der Graph von f hat keine relativen Extremstellen und im wendepunkt eine nichtnegative steigung.
die zwei fälle liegen vor, je nachdem ob a² - 3b > 0
oder a² - 3b [mm] \le [/mm] 0 ist.
3) untersuche die funktion f mit f(x) = [mm] x^{4} [/mm] - 6x² + 8.
Die extrempunkte des Graphen von f [die wendetangenten und die 1. achse] bestimmen ein dreieck. berechne dessen flächeninhalt und seinen umfang. |
heyho! Ich habe mal wieder ein problem... und zwar schreiben wir bald unsere letzte klausur, aber ich habe diese aufgaben die da oben stehen absolut nicht gerallt (so wie immer halt...)... aber die werden essentiell in der klausur vorkommen, nur leider hab ich keine ahnung wie ich die lösen kann :(( erstmal sind sie nur als hausaufgabe auf, aber ich habe leider überhaupt keine ahnung davon... nichtmal wie ich anfangen soll, da ich nicht gerade ein blitzchecker in mathe bin... könnte mir vielleicht jemand helfen die aufgaben zu lösen.. aaah ichs ehe schon wieder schwarz für die nächste klausur :((( es ist zum mäuse melken.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Mi 18.04.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wo liegt genau das Problem? Ist es eher bei 1. oder bei 2. oder 3.?
Aber ich fang mal bei 1. an:
Ich mach es mal in der reihenfolge, in der wir das immer gemacht haben:
1. Ableitungen:
[mm] f'(x)=\bruch{4}{8}x³-6x=\bruch{1}{2}x³-6x
[/mm]
f''(x)=...
f'''(x)=...
2. Definitionsbereich:
[mm] D=\IR
[/mm]
3. Symmetrie:
Hier sollten dir die ausschließlich geraden Exponenten ins Auge fallen!
4. Nullstellen:
Hier musst du mit Substitution arbeiten.
x²=z bringt dich auf die Formel: [mm] 0=\bruch{1}{8}z²-3z+10
[/mm]
Von den Werten, die du für z erhälst, musst du dann wieder die Wurzel ziehen um deine xe zu erhalten.
5. Extrempunkte:
f'(x)=0
[mm] \bruch{1}{2}x³-6x=0
[/mm]
(x ausklammern und Fallunterscheidung! Also beide Faktoren 0 setzen)
x-Werte in 2. Ableitung einsetzen und prüfen, was für Extremstellen es sind.
6. Wendepunkte:
2. Ableitung 0 setzen und erhaltene x-Werte in die 3. Ableitung einsetzen und schauen, ob was anderes als 0 rauskommt.
7. Graf:
Zeichnen eben (Wertetabelle).
Hab es nur grob gemacht, wenn es Probleme dabei noch gibt, frag nach!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Mi 18.04.2007 | | Autor: | kev |
naja mein problem liegt eigtl bei allen aufgaben...
das was du dort geschrieben hast, hab ich mir auch in meinen block geschrieben... das hatte der lehrer im unterricht diktiert.
aber ich weiß nicht, wie ich aufgabe 3 lösen kann bzw da tun sich bei mir nur fragezeichen auf :(
eigtl ist das so bei allena ufgaben, weil da ja nicht einfach nur nach einer lösung nach dem schema von dir gefragt ist :'(
aber danke schonmal für deine antwort :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Mi 18.04.2007 | | Autor: | Teufel |
Achso!
Solche Aufgaben wie 3.) kommen recht häufig dran, deswegen helf ich dir da mal.
3) Untersuche die Funktion f mit [mm] f(x)=x^4-6x²+8.
[/mm]
Die Extrempunkte des Graphen von f [die Wendetangenten und die 1. Achse] bestimmen ein Dreieck. Berechne dessen Flächeninhalt und seinen Umfang.
Am besten ist immer: zeichnen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das Dreieck haben ich mal eingezeichnet.
Du stimmst mir sicher zu, dass wir irgendwie an die Seitenlängen kommen müssen. Das könnten wir, wenn wir die Koordinaten aller Extrempunkte hätten! Die musst du also berechnen. Danach kannst die Längen der Seiten mit dem Pythagoras berechnen (gibt's dazu Fragen?).
Wenn du die Seiten hast kannst du den Umfang leicht berechnen.
Und der Flächeninhalt ist eigentlich noch einfacher zu berechnen.
[mm] A=\bruch{1}{2}gh
[/mm]
Wenn du dir die Skizze anguckst: was ist h? und wie könnte man g, also die waagerechte untere Seite berechnen?
Wenn du das hast, können wir zum teil in den eckigen Klammern kommen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Mi 18.04.2007 | | Autor: | kev |
ahh dankeschön! Aber wie berechne ich denn die koordinaten der extrempunkte... dazu find ich irgendwie nichts in meinem buch :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Mi 18.04.2007 | | Autor: | Teufel |
Dazu musst du die Funktion ableiten und die Ableitungsfunktion 0 setzen! Das musst du immer machen, wenn du Extrempunkte suchst.
Die 1. Ableitung zeigt dir immer den Anstieg des Grafen an einer Stelle x. Bei einem Extrempunkt ist der Anstieg ja 0, und wenn du die 1. Ableitung 00 setzt, kriegst du eben diese Stellen raus!
[mm] f(x)=x^4-6x²+8
[/mm]
f'(x)=4x³-12x (ich hoffe du weißt, wie man ableitet!)
4x³-12x=0
Nun musst du ein x ausklammern, weil du sonst nicht so einfach weiterkommst.
Du erhälst die Gleichung: x(4x²-12)=0.
Die linke Seite der Gleichung sind ja 2 Faktoren, einmal das x und einmal (4x²-12). Und das Produkt dieser beiden Faktoren soll 0 ergeben. Und wann wird ein Produkt 0? Wenn ein Faktor 0 ist. (2*0=0, 0*5=0 etc.)
Also musst du schauen, wann beide Faktoren 0 werden. Beim 1. faktor geht das schnell, wenn du den 0 setzt steht ja nur da x=0. Damit hast du die x-Koordinate von deinem ersten Extrempunkt.
Jetzt musst du aber noch den anderen Faktor 0 setzen, denn der kann ja auch 0 werden.
4x²-12=0
4x²=12
x²=3
[mm] x=\pm \wurzel{3}
[/mm]
Damit hast du 2 andere Lösungen, also die anderen beiden x-Werte der anderen beiden Exrempunkte. (in der Skizze siehst du ja auch 3 Extrempunkte!)
Nun önntest du noch berechnen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, aber wenn du dir einfach eine grobe Skizze machst, reicht das hier auch vollkommen aus.
Fehlen nur noch die y-Koordinaten der ganzen Extrempunkte. Die erhälst du, wenn du die errechneten x-Werte wieder in f(x) einsetzt.
Dann hast du deine 3 Extrempunkte.
Weißt du nun wie du weiter kommst?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Mi 18.04.2007 | | Autor: | kev |
hm also bei den extremwerten habe ich nun
hochpunkt (0/8)
tiefpunkt [mm] (\wurzel{3}/-1)
[/mm]
tiefpunkt 2 [mm] (-\wurzel{3}/-1)
[/mm]
rausbekommen...
aber jetzt frag ich mich, wie ich das in den phythagoras einsetzen kann...
tut mir leid wenn ich so dumme fragen stelle... ich sag ja ich kann nichts ;(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Mi 18.04.2007 | | Autor: | Teufel |
Ist schon ok ;)
Vielleicht hilfts, wenn man sowas einfach mal etwas gründlicher durchgeht.
Die Punkte stimmen.
Strecken im Koordinatensystem kannst du so berechnen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die rote Strecke ist gesucht. Also kannst du dir noch die beiden grünen Strecken zudenken und hast ein rechtwinkliges Dreieck.
Ich nenne die rote Strecke mal s, die untere Kathete [mm] k_1 [/mm] und die rechts [mm] k_2.
[/mm]
Nach dem Pythagoras gilt ja: [mm] s²=k_1²+k_2² [/mm] bzw. dann [mm] s=\wurzel{k_1²+k_2²}.
[/mm]
Jetzt brauchst du nur noch die Längen von [mm] k_1 [/mm] und [mm] k_2. [/mm] Ideen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Mi 18.04.2007 | | Autor: | kev |
ohjeh... nein ich weiß garnicht wie ich das machen soll, außer vllt nachmessen??? (das ist sicher falsch)
oder irgendwie mit cosinus bla.. das ging doch so oder?
hfftl verlierst du nicht die geduld mit den antworten bei meiner doofheit :(((
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mi 18.04.2007 | | Autor: | Teufel |
Passt schon ;) wie du den Pythagoras normal anweden kannst, weißt du ja hoffentlich.
Gleich siehst du's auch bestimmt: Die untere Kathete lässt sich einfach mit 3-1=2LE berechnen. Der Abstand der beiden x-Werte der beiden Punkte!
Und die rechte Kathete funktionier fast genau so, nur eben mit den y-Werten.
Diese ist dann in meinem Beispiel 5-1=4LE lang.
Nachvollziehbar? Das bezieht sich jetzt alles nur auf meine Beispielzeichnung.
Wenn du also 2 Punkte [mm] A(x_A|y_A) [/mm] und [mm] B(x_B|y_B) [/mm] hast, lässt sich ihr Abstand mit [mm] s=\wurzel{(x_A-x_B)²+(y_A-y_B)²} [/mm] berechnen. Das haben wir eben auch schon gemacht, nur dass wir konkrete Zahlen genommen haben! Aber das kannst du nun auch auf andere Zahlen und auf deine Aufgabe anwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Mi 18.04.2007 | | Autor: | kev |
aehm... also ich hab nun mal versucht das für die beiden tiefpunkte aus der aufgabe von oben auszurechnen...
da kommt bei mir s = ungefähr - 3,5 raus...
ich weiß nicht so recht... diese methode habenw ir im unterricht noch nie durchgenommen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Mi 18.04.2007 | | Autor: | Teufel |
Jo, der Abstand ist ca. 3,5.
Aber hier hättest du es einfacher machen können: Die untere Seite ist ja nur der Abstand der beiden x-Werte der beiden Tiefpunkte, weil die untere Seite ja genau waagerecht ist und nicht schräg! Den Pythagoras hättest du nur bei den anderen beiden Seiten gebraucht (wobei die beiden Seiten gleich lang sind und du nur eine berechnen musst).
Wenn du waagerechte Strecken berechnen musst, musst du nur schauen, wie weit die x-Werte der Punkte auseinander liegen! Das sind in dem Fall [mm] 2*\wurzel{3}LE, [/mm] wenn man genau sein will :)
Naja, vielleicht wollte der Lehrer von euch, dass ihr mal drüber nachdenkt ;) aber nun weißt du's ja.
Also usst du noch die Länge einer schrägen Seite berechnen und dann kannst du schon den Umfang ermitteln!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Do 19.04.2007 | | Autor: | kev |
okay, wenni ch das ausrechne müsste ja eigtl einmal -7,3 und einmal 7,3 rauskommen.
aber... muss ich das dann noch mal 1/2 rechnen? damit ich dann ausrechnen kann was beim phythagoras rauskommt ansonsten geht es ja nicht irgendwie... weils kein rechtwinkliges 3eck ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Do 19.04.2007 | | Autor: | Teufel |
Ich komme ca. auf 9,17LE (genauer: [mm] \wurzel{84}LE).
[/mm]
Eine schräge Seite wird ja durch einen Tiefpunkt und den Hochpunkt begrenzt.
H(0|8), [mm] T(\wurzel{3}|-1)
[/mm]
[mm] s=\wurzel{(\wurzel{3}-0)²+(-1-8)²}=\wurzel{(3+81}=\wurzel{(84}LE
[/mm]
Wenn man die Formel nimmt.
Ich zeigs nochmal direkt an der Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das Pythagorasdreieck machst du dir immer selber, wenn du den Abstand von 2 Punkten berechnen willst. Das rote Dreieck hatte in dem Augenblick nichts damit zutun! Abstand zwischen 2 Punkte berechnen kannst du immer mit dem Pythagoras! Und du musst dir angewöhnen immer nur positive Längen zu schreiben :) Längen können nicht negativ sein.
Der Gesamtumfang vom dreieck wäre dann letztendlich die Grundseite (ca. 3,5LE) und 2mal die schräge Seite (2*9,17LE). Runden sollte man möglichst immer erst am Schluss, aber so gehts ja auch. Das rechnest du einfach nur noch aus und dann hast du deinen Umfang. Hoffe du hast den Weg dahin auch verstanden ;)
Übrig bleibt dann noch die Frage nach dem Flächeninhalt. Der lässt sich sogar ohne Pythagoras berechnen.
[mm] A=\bruch{1}{2}gh
[/mm]
Die Höhe h geht ja vom Hochpunkt bis zur Seite unten. Die Länge kann man eigentlich auch schon ablesen ;) Und die Grundseite g hast du ja schon berechnet!
Als Hilfe bei h: Guck dir mal die y-Koordinate vom Hochpunkt an. Diese beträgt 8. Also ist die Höhe schonmal 8LE, lang, aber da die Höhe nicht direkt auf der x-Achse aufhört, sondern noch ein kleines Stück weitergeht, ist sie etwas länger. Und dieses kleine Stück beträgt 1LE! Guck dir die Skizze und Tiefpunkttkoordinaten nochmal genau an und überleg, wieso! ;)
Nunja, du hast die Längen der Seiten und kannst in die Flächeninhaltsformel einsetzen, ausrechnen und bist fertig.
Dann gehst du am besten nochmal alles durch! Ich muss nun auch gehen und schau erst in ca. 16 Stunden wieder rein. Gute Nacht.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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