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Forum "Schul-Analysis" - Funktionsuntersuchung
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Funktionsuntersuchung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:28 Sa 21.05.2005
Autor: Magnia

Hallo
Folgendes :

f(x)=  [mm] \bruch{x^3}{x^2-4} [/mm]

ich habe Ableitung gebildet und erhallte für die 1 :

[mm] \bruch{x^4-12x^3}{(x^2-4)^2} [/mm]

und für die 2. :

[mm] \bruch{8x^5+64x^3-384x}{(x^2-4)^4} [/mm]

nun zur analyse :

ich würd sagen keine symetrie wegen den verschiedenen exponenten ;

verhallten im unendlichen ist etwas merkwürdig
denn wenn x gegen  [mm] \infty [/mm] dann geht f(x) auch gegen  [mm] \infty [/mm]
doch im kleinen bereich wie 1;3 usw. gegen  [mm] -\infty [/mm]

bei x gegen - [mm] \infty [/mm] kann es ja eigentlich nur f(x) gegen  [mm] -\infty [/mm] sein weil der zähler immer negativ wird.

achsenschnittpunkte mit y achse bei p (0/0)

doch bei der x Achse harpert es

0=  [mm] \bruch{x^3}{x^4-4} [/mm]
wie bekomme ich den bruch da hoch damit ich x ausklammern kann ?

genauso bei extrema

[mm] \bruch{x^4-12x^2}{(x^2-4)^2} [/mm] = 0      x1= 0 aber die anderen ????


achso def. bereich x  [mm] \not= [/mm] 2, -2

ich hoffe jemand kann mir ein bisschen auf die Sprünge helfen
danke
        
Bezug
Funktionsuntersuchung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:44 Sa 21.05.2005
Autor: Magnia

omg hab nochmal nachgedacht und erhallte nun
x achsen schnittpunkt bei P (0/0)

mögl. extrema bei x1 = 0 ; x2 =  [mm] \wurzel{2} [/mm] und x3 =  [mm] -\wurzel{2} [/mm]
aber wie siehts mit dem rest aus...
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Funktionsuntersuchung: Nullstelle stimmt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:03 Sa 21.05.2005
Autor: Loddar

Hallo ...

> omg hab nochmal nachgedacht und erhallte nun
> x achsen schnittpunkt bei P (0/0)

[daumenhoch]


> mögl. extrema bei x1 = 0 ; x2 =  [mm]\wurzel{2}[/mm] und x3 =  
> [mm]-\wurzel{2}[/mm]

[notok] Aber das wird an Deiner fehlerhaften Ableitung $f'(x)$ liegen ...

Ich erhalte als Nullstellen der 1. Ableitung:

[mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$   [mm] $x_{2,3} [/mm] \ = \ [mm] \pm \wurzel{12} [/mm] \ = \ [mm] \pm 2\wurzel{3}$ [/mm]


Gruß
Loddar

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Bezug
Funktionsuntersuchung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Sa 21.05.2005
Autor: Magnia

hallo
ja meine erste Ableitung war
[mm] \bruch{x^4-12x^2}{(x^2-4)^2} [/mm]

hatte mich nur vertippt mit dem ^3
genauso wie die extrema hatte auch  +/- [mm] \wurzel{12} [/mm]
nur die 1 vergessen gehabt :)

gut dann ist soweit alles klar.

nur die 2 abl.
[mm] \bruch{8x^5+64x^3-384x}{(x^2-4)^4} [/mm] erscheint mir komisch

würde ja ein wp bei :

x1= 0   x2= 2   x3=  -2 ergeben  
x1 = 0 tauchte bei mögl. extremas auf also liegt bei p(0/0) ein sattelpunkt
da 2 außerhalb des def. liegt gibt es nur 1 sattelpunkt

für die beiden extremas bekomme ich jeweils nen tp und nen hp

also mir erscheint das eigentlich recht logisch von den ergebnissen her also denke ich ist die 2 abl. richtig
danke
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Bezug
Funktionsuntersuchung: Du hast Recht!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:01 Sa 21.05.2005
Autor: Loddar

Hallo Magnia!


> ja meine erste Ableitung war [mm]\bruch{x^4-12x^2}{(x^2-4)^2}[/mm]
>  
> hatte mich nur vertippt mit dem ^3
> genauso wie die extrema hatte auch  +/- [mm]\wurzel{12}[/mm]
> nur die 1 vergessen gehabt

[ok] OK, aber das kann ich natürlich nicht riechen ;-) ...


> nur die 2 abl.
> [mm]\bruch{8x^5+64x^3-384x}{(x^2-4)^4}[/mm] erscheint mir komisch
>  
> würde ja ein wp bei :
>  
> x1= 0   x2= 2   x3=  -2 ergeben  
> x1 = 0 tauchte bei mögl. extremas auf also liegt bei p(0/0)
> ein sattelpunkt
> da 2 außerhalb des def. liegt gibt es nur 1 sattelpunkt

Das gleiche gilt natürlich für -2.


> für die beiden extremas bekomme ich jeweils nen tp und nen
> hp
>  
> also mir erscheint das eigentlich recht logisch von den
> ergebnissen her also denke ich ist die 2 abl. richtig

[sorry] Du hast Recht, Deine 2. Ableitung ist richtig (habe es gerade nochmal nachgerechnet).

Aber wie oben bereits erwähnt: mit Kürzen ergibt sich für die 2. Ableitung:

$f''(x) \ = \ [mm] \bruch{8x^3+96x}{\left(x^2-4\right)^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{8x*\left(x^2+12\right)}{\left(x^2-4\right)^3}$ [/mm]


Gruß
Loddar

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Funktionsuntersuchung: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 Sa 21.05.2005
Autor: Loddar

Hallo Magnia!


> [mm]f(x)=\bruch{x^3}{x^2-4}[/mm]
>  
> ich habe Ableitung gebildet und erhallte für die 1 :
>  
> [mm]\bruch{x^4-12x^3}{(x^2-4)^2}[/mm]

[notok] Hier erhalte ich etwas anderes (oder hast du Dich "nur" vertippt?):

[mm]f'(x) \ = \ \bruch{x^4-12x^{\red{2}}}{\left(x^2-4\right)^2}[/mm]



> und für die 2. :
>  
> [mm]\bruch{8x^5+64x^3-384x}{(x^2-4)^4}[/mm]

[notok] Wahrscheinlich Folgefehler durch die falsche 1. Ableitung!

[aufgemerkt] Außerdem immer darauf achten bei gebrochen-rationalen Funktionen:

Spätestens mit der 2. Ableitung kann man eine Term des Nenners kürzen. Das vereinfacht so einen Ausdruck doch erheblich.


> nun zur analyse :
>  
> ich würd sagen keine symetrie wegen den verschiedenen
> exponenten

[notok] Betrachte Dir mal die eigenschaft für Punktsymmetrie zum Ursprung:  $-f(-x) \ = \ f(x)$   (siehe auch MBSymmetrie).

  
> verhallten im unendlichen ist etwas merkwürdig
> denn wenn x gegen  [mm]\infty[/mm] dann geht f(x) auch gegen [mm]\infty[/mm]

[daumenhoch]


> bei x gegen - [mm]\infty[/mm] kann es ja eigentlich nur f(x) gegen  
> [mm]-\infty[/mm] sein weil der zähler immer negativ wird.

[daumenhoch]


>  doch im kleinen bereich wie 1;3 usw. gegen  [mm]-\infty[/mm]

Du mußt ja unterscheiden für das Verhalten im [mm] $\pm [/mm] \ [mm] \infty$. [/mm] Das hast du ja richtig gemacht.

Wenn Du eine MBPolynomdivision durchführst, erhältst Du auch die Funktion, der sich unsere Funktion $f(x)$ im Umendlichen immer mehr annähert.


Deine "kleinen Bereiche" mit dem Verhalten zu $+ [mm] \infty$ [/mm] oder $- [mm] \infty$ [/mm] entstehen ja durch die beiden Definitionslücken (siehe unten).

Denn hier liegen ja sogenannte "Polstellen" vor!


> achsenschnittpunkte mit y achse bei p (0/0)

[daumenhoch]

  
> doch bei der x Achse harpert es
> 0=  [mm]\bruch{x^3}{x^4-4}[/mm]
> wie bekomme ich den bruch da hoch damit ich x ausklammern
> kann ?

Brauchst du ja nicht. Die Nullstellen sind ja die Nullstellen des Zählers.

Du brauchst also "nur" zu untersichen: [mm] $x_N^3 [/mm] \ = \ 0$


> genauso bei extrema
>
> [mm]\bruch{x^4-12x^2}{(x^2-4)^2}[/mm] = 0      x1= 0 aber die
> anderen ????
>  
>
> achso def. bereich x  [mm]\not=[/mm] 2, -2

[ok] Besser so schreiben: $D \ = \ [mm] \IR [/mm] \ [mm] \backslash [/mm] \ [mm] \{-2; 2\}$ [/mm]


Hier mal eine Skizze zur Kontrolle Deiner Rechnungen:

[Dateianhang nicht öffentlich]



> ich hoffe jemand kann mir ein bisschen auf die Sprünge helfen


Und, bereits ein paar Hüpfer gemacht? ;-)

Gruß
Loddar

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
        
Bezug
Funktionsuntersuchung: Hinweis auf MatheBank
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:10 Sa 21.05.2005
Autor: informix

Hallo Magnia,

kennst du schon unsere Anleitung zur MBFunktionsuntersuchung ?

du solltest dir gleich das Schema einprägen mit den 7-8 Unterpunkten, an denen man bei jeder Aufgabe sich entlang hangeln kann. .. und schreibe bei jedem Schritt die "Überschrift" dazu, was du so gerade untersuchst. Du wirst merken, dann verliert man weniger schnell den Überblick und macht daher auch weniger Fehler!

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