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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Zu untersuchen ist die Funktion f: (0,+ [mm] \infty) [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] f(x) = [mm] x^{\bruch{1}{x}}.
[/mm]
a) Bestimmen Sie über die Ableitung von f die Monotonie-Intervall und die lokalen Extrema von f.
b) Untersuchen Sie die Existenz und gegebenfalls die Werte der Limiten von f(x) für x -> 0 und x -> [mm] \infty.
[/mm]
c) Bestimmen Sie mit ausreichender Begründung das Maximum der Folge [mm] (n^{\bruch{1}{n}})_{n \in \IN}. [/mm] |
Guten Morgen,
ich würde mich freuen, wenn jemand Mal über meine Lösung drüber schauen würde.
habe hier folgendes gemacht:
Zu a): f ist als Komposition differenzierbarer Funktionen auf (0, + [mm] \infty) [/mm] wieder selbst differenzierbar.
Es gilt: f': (0,+ [mm] \infty) [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , f'(x) = [mm] x^{\bruch{(1-2x)}{x}}*(1-ln(x)).
[/mm]
Beh: f ist auf (0,e) streng monoton wachsend
Bew: [mm] x^{\bruch{(1-2x)}{x}} [/mm] > 0 für alle x [mm] \in [/mm] (0, e). ln(x) < 1 für alle x [mm] \in [/mm] (0, e). Also ist f'(x) > 0 für alle x [mm] \in [/mm] (0, e). [mm] \Righarrow [/mm] f ist streng monoton wachsend auf dem Intervall (0, [mm] e).(\*)
[/mm]
Beh: f ist auf (e, + [mm] \infty) [/mm] streng monoton fallend
Bew: [mm] x^{\bruch{(1-2x)}{x}} [/mm] > 0 für alle x [mm] \in [/mm] (e,+ [mm] \infty).
[/mm]
ln(x) > 1 für alle x [mm] \in [/mm] (e , + [mm] \infty). [/mm] Also f'(x) < 0 für alle x [mm] \in [/mm] (e , + [mm] \infty) \Rightarrow [/mm] f ist streng monoton fallend für alle x [mm] \in [/mm] (e , + [mm] \infty). (\*\*)
[/mm]
Aufgrund von [mm] (\*) [/mm] und [mm] (\*\*) [/mm] hat f bei x = e ein lokales Maximum.
Zu b): [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = 1 und [mm] \limes_{x>0}_{x\rightarrow 0} [/mm] f(x) = + [mm] \infty.
[/mm]
Zu c): Es ist [mm] 2^{\bruch{1}{2}} [/mm] < [mm] 3^{\bruch{1}{3}}. [/mm] Da nach a) die Funktion f auf dem Intervall (0,e) streng monoton wächst und auf dem Intervall (e , [mm] +\infty)streng [/mm] monoton fällt, liegt das Maximum der Folge bei n = 3.
LG Loriot95
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Hallo!
> Zu untersuchen ist die Funktion f: (0,+ [mm]\infty)[/mm] -> [mm]\IR,[/mm]
> f(x) = [mm]x^{\bruch{1}{x}}.[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie über die Ableitung von f die
> Monotonie-Intervall und die lokalen Extrema von f.
> b) Untersuchen Sie die Existenz und gegebenfalls die Werte
> der Limiten von f(x) für x -> 0 und x -> [mm]\infty.[/mm]
> c) Bestimmen Sie mit ausreichender Begründung das Maximum
> der Folge [mm](n^{\bruch{1}{n}})_{n \in \IN}.[/mm]
> Guten Morgen,
>
> ich würde mich freuen, wenn jemand Mal über meine Lösung
> drüber schauen würde.
> habe hier folgendes gemacht:
>
> Zu a): f ist als Komposition differenzierbarer Funktionen
> auf (0, + [mm]\infty)[/mm] wieder selbst differenzierbar.
> Es gilt: f': (0,+ [mm]\infty)[/mm] -> [mm]\IR[/mm] , f'(x) =
> [mm]x^{\bruch{(1-2x)}{x}}*(1-ln(x)).[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Beh: f ist auf (0,e) streng monoton wachsend
> Bew: [mm]x^{\bruch{(1-2x)}{x}}[/mm] > 0 für alle x [mm]\in[/mm] (0, e).
> ln(x) < 1 für alle x [mm]\in[/mm] (0, e). Also ist f'(x) > 0 für
> alle x [mm]\in[/mm] (0, e). [mm]\Righarrow[/mm] f ist streng monoton wachsend
> auf dem Intervall (0, [mm]e).(\*)[/mm]
> Beh: f ist auf (e, + [mm]\infty)[/mm] streng monoton fallend
> Bew: [mm]x^{\bruch{(1-2x)}{x}}[/mm] > 0 für alle x [mm]\in[/mm] (e,+
> [mm]\infty).[/mm]
> ln(x) > 1 für alle x [mm]\in[/mm] (e , + [mm]\infty).[/mm] Also f'(x) < 0
> für alle x [mm]\in[/mm] (e , + [mm]\infty) \Rightarrow[/mm] f ist streng
> monoton fallend für alle x [mm]\in[/mm] (e , + [mm]\infty). (\*\*)[/mm]
> Aufgrund von [mm](\*)[/mm] und [mm](\*\*)[/mm] hat f bei x = e ein lokales
> Maximum.
> Zu b): [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x) = 1 und
> [mm]\limes_{x>0}_{x\rightarrow 0}[/mm] f(x) = + [mm]\infty.[/mm]
Limes für x [mm] \to \infty [/mm] ist richtig, der für [mm] x\to [/mm] 0 ist falsch. (es muss 0 rauskommen).
Außerdem ist der Lösungsweg ziemlich kurz. Hast du das im Kopf ausgerechnet?
> Zu c): Es ist [mm]2^{\bruch{1}{2}}[/mm] < [mm]3^{\bruch{1}{3}}.[/mm]
Könnte man noch mit "Hoch-6-Nehmen" und der resultierenden äquivalenten Ungleichung 8 < 9 untermauern.
> Da nach
> a) die Funktion f auf dem Intervall (0,e) streng monoton
> wächst und auf dem Intervall (e , [mm]+\infty)streng[/mm] monoton
> fällt, liegt das Maximum der Folge bei n = 3.
... und weil 2 < e < 3.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:55 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Hallo!
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> > Zu untersuchen ist die Funktion f: (0,+ [mm]\infty)[/mm] -> [mm]\IR,[/mm]
> > f(x) = [mm]x^{\bruch{1}{x}}.[/mm]
> >
> > a) Bestimmen Sie über die Ableitung von f die
> > Monotonie-Intervall und die lokalen Extrema von f.
> > b) Untersuchen Sie die Existenz und gegebenfalls die
> Werte
> > der Limiten von f(x) für x -> 0 und x -> [mm]\infty.[/mm]
> > c) Bestimmen Sie mit ausreichender Begründung das
> Maximum
> > der Folge [mm](n^{\bruch{1}{n}})_{n \in \IN}.[/mm]
> > Guten
> Morgen,
> >
> > ich würde mich freuen, wenn jemand Mal über meine Lösung
> > drüber schauen würde.
> > habe hier folgendes gemacht:
> >
> > Zu a): f ist als Komposition differenzierbarer Funktionen
> > auf (0, + [mm]\infty)[/mm] wieder selbst differenzierbar.
> > Es gilt: f': (0,+ [mm]\infty)[/mm] -> [mm]\IR[/mm] , f'(x) =
> > [mm]x^{\bruch{(1-2x)}{x}}*(1-ln(x)).[/mm]
>
>
>
>
> > Beh: f ist auf (0,e) streng monoton wachsend
> > Bew: [mm]x^{\bruch{(1-2x)}{x}}[/mm] > 0 für alle x [mm]\in[/mm] (0, e).
> > ln(x) < 1 für alle x [mm]\in[/mm] (0, e). Also ist f'(x) > 0 für
> > alle x [mm]\in[/mm] (0, e). [mm]\Righarrow[/mm] f ist streng monoton wachsend
> > auf dem Intervall (0, [mm]e).(\*)[/mm]
>
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> > Beh: f ist auf (e, + [mm]\infty)[/mm] streng monoton fallend
> > Bew: [mm]x^{\bruch{(1-2x)}{x}}[/mm] > 0 für alle x [mm]\in[/mm] (e,+
> > [mm]\infty).[/mm]
> > ln(x) > 1 für alle x [mm]\in[/mm] (e , + [mm]\infty).[/mm] Also f'(x) <
> 0
> > für alle x [mm]\in[/mm] (e , + [mm]\infty) \Rightarrow[/mm] f ist streng
> > monoton fallend für alle x [mm]\in[/mm] (e , + [mm]\infty). (\*\*)[/mm]
>
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> > Aufgrund von [mm](\*)[/mm] und [mm](\*\*)[/mm] hat f bei x = e ein lokales
> > Maximum.
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> > Zu b): [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x) = 1 und
> > [mm]\limes_{x>0}_{x\rightarrow 0}[/mm] f(x) = + [mm]\infty.[/mm]
>
> Limes für x [mm]\to \infty[/mm] ist richtig, der für [mm]x\to[/mm] 0 ist
> falsch. (es muss 0 rauskommen).
> Außerdem ist der Lösungsweg ziemlich kurz. Hast du das
> im Kopf ausgerechnet?
Ja.
>
> > Zu c): Es ist [mm]2^{\bruch{1}{2}}[/mm] < [mm]3^{\bruch{1}{3}}.[/mm]
>
>
> Könnte man noch mit "Hoch-6-Nehmen" und der
> resultierenden äquivalenten Ungleichung 8 < 9
> untermauern.
>
> > Da nach
> > a) die Funktion f auf dem Intervall (0,e) streng monoton
> > wächst und auf dem Intervall (e , [mm]+\infty)streng[/mm] monoton
> > fällt, liegt das Maximum der Folge bei n = 3.
>
> ... und weil 2 < e < 3.
>
>
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> Grüße,
> Stefan
Danke.
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