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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Do 10.02.2005 | | Autor: | Magnia |
Hallo
Habe mal wieder eine hübsche Aufgabe und wollte mal fragen ob es soweit richtig ist weil es mir etwas komisch vorkommt ( Tiefpunkte und Hochpunkte) da mein Zeichenprogramm etwas anderes sagt:
fk(x)= [mm] \bruch{1}{5k}x^5- \bruch{k}{3}x^3
[/mm]
erstmal zum Verhallten im Unendlichen:
für k>0 wenn x gegen + unendlich dann f(x) auch + unendlich
wenn x gegen - unendlich dann f(x) auch - unendlich
für k<0 wenn x gegen + unendlich dann f(x) gegen - unendlich
wenn x gegen - unendlich dann f(x) gegen + unendlich
bei den extremas habe ich x= k und x2= -k raus ( die x3 = 0 lass ich erstmal raus, da sie wendestelle + sattelpunkt ist )
nun habe ich eingesetzt
und rausbekommen
für k>0 TP ( K / [mm] -2K^4) [/mm] UND HP [mm] (-k/+2k^4)
[/mm]
für k>0 ist das selbe
mir kommt hier der y wert etwas komisch vor..... ?
nun zum wendepunkt :
habe natürlich bei P (0/0)
und +/- [mm] \wurzel{ \bruch{k}{2}}
[/mm]
doch wenn ich hier die y koordinate rausbekommen möchte komme ich bei
[mm] \wurzel{ \bruch{k}{2}} [/mm] irgend wann auf
[mm] \bruch{k^2}{20k} \wurzel{ \bruch{k}{2}} [/mm] - [mm] \bruch{k^2}{6}\wurzel{ \bruch{k}{2}}
[/mm]
und hier komme ich auch nicht weiter zumal ich nicht weiss ob dies stimmt
ich brauche aber den punkt um zu bestimmen auf welcher kurvre die wendepunkte aller Graphen der Funktion fk liegen.
ich hoffe ihr könnt mir nochmal helfen
danke
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Hallo Magnia,
Wir führen nun eine ausführliche Kurvendiskussion anhand der Funktion [mm] $f_k\left(x\right) [/mm] = [mm] \tfrac{x^5}{5k} [/mm] - [mm] \tfrac{kx^3}{3}$ [/mm] mit [m]k \ne 0[/m] durch:
Nullstellen:
[m]\frac{1}
{{5k}}x^5 - \frac{k}
{3}x^3 = x\left( {\frac{1}
{{5k}}x^4 - \frac{k}
{3}x^2 } \right) = 0[/m]
Sei $z := [mm] x^2$, [/mm] dann gilt:
[m]\frac{1}
{{5k}}z^2 - \frac{k}
{3}z = 0 \Leftrightarrow z^2 - \frac{{5k^2 }}
{3}z = 0\mathop \Rightarrow \limits^{{\text{p/q - Formel}}} z_{1;2} = \frac{{5k^2 }}
{6} \pm \sqrt {\frac{{25k^4 }}
{{36}}} = \frac{{5k^2 }}
{6} \pm \frac{{5k^2 }}
{6}[/m]
Damit erhalten wir eine uns bereits bekannte Nullstelle und den Ausdruck
[m]z_2 = \frac{{5k^2 }}
{3} \Rightarrow x_{2;3} = \pm \sqrt {\frac{{5k^2 }}
{3}} = \pm \frac{{\sqrt 5 k}}
{{\sqrt 3 }} = \pm \frac{{\sqrt {15} k}}
{3}[/m]
Extremstellen:
Zuerst bilden wir die 1te bis 3te Ableitung von [mm] $f_k\left(x\right)$:
[/mm]
[m]\begin{gathered}
f_k' \left( x \right) = \frac{{x^4 }}
{k} - kx^2 \hfill \\
f_k'' \left( x \right) = \frac{4}
{k}x^3 - 2kx \hfill \\
f_k'''\left( x \right) = \frac{{12}}
{k}x^2 - 2k \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Wir setzen [mm] $f_k'\left(x\right) [/mm] = 0$:
[m]\begin{gathered}
\frac{{x^4 }}
{k} - kx^2 = 0 \Rightarrow \frac{{z^2 }}
{k} - kz = 0 \Leftrightarrow z^2 - k^2 z = z\left( {z - k^2 } \right) = z\left( {\sqrt z - k} \right)\left( {\sqrt z + k} \right) = 0 \hfill \\
\Rightarrow x^2 \left( {x - k} \right)\left( {x + k} \right) = 0 \Rightarrow x = 0 \vee x = k \vee x = - k \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Wir überprüfen für jedes dieser Resultate, ob [m]f_k''\left(x_E\right) \ne 0[/m]:
Wir sehen sofort, daß bei $x = [mm] 0\!$ [/mm] ein möglicher Wendepunkt vorliegt. Für die anderen möglichen Extremstellen gilt:
[m]\begin{gathered}
\frac{4}
{k}k^3 - 2kk = 4k^2 - 2k^2 = 2k^2 > 0 \to {\texttt{Tiefpunkt}}\;\forall k \in \mathbb{R} - \left\{ 0 \right\} \hfill \\
\vee \frac{4}
{k}\left( { - k} \right)^3 - 2k\left( { - k} \right) = - 4k^2 + 2k^2 = - 2k^2 < 0 \to {\texttt{Hochpunkt}}\;\forall k \in \mathbb{R} - \left\{ 0 \right\} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Es gilt [m]f'''\left( 0 \right) = \tfrac{{12}}{k}0^2 - 2k = - 2k \ne 0[/m] und damit liegt bei $x = [mm] 0\!$ [/mm] tatsächlich eine Wendestelle vor.
Wir bestimmen die genauen Koordinaten der Extremstellen:
Es gilt [mm] $x_\text{Wendepunkt} [/mm] = [mm] \left(0, 0\right)$, [/mm] wie man sofort sieht. Für den Tiefpunkt gilt:
[m]x_{{\text{Tiefpunkt}}} = \left( {k,\frac{1}
{{5k}}k^5 - \frac{k}
{3}k^3 = \frac{{k^4 }}
{5} - \frac{{k^4 }}
{3} = \frac{{3k^4 - 5k^4 }}
{{15}} = \frac{{ - 2k^4 }}
{{15}}} \right)[/m]
Für den Hochpunkt gilt:
[m]x_{{\text{Hochpunkt}}} = \left( { - k,\frac{1}
{{5k}}\left( { - k} \right)^5 - \frac{k}
{3}\left( { - k} \right)^3 = - \frac{{k^4 }}
{5} + \frac{{k^4 }}
{3} = \frac{{ - 3k^4 + 5k^4 }}
{{15}} = \frac{{2k^4 }}
{{15}}} \right)[/m]
Monotonieverhalten:
Wir wissen jetzt also, daß [mm] $f_k$ [/mm] stetig differenzierbar ist. Außerdem hat sie eine Wendestelle, welche durch einen Hoch- & Tiefpunkt eingeschlossen ist. Für $k = [mm] 1\!$ [/mm] und $k = [mm] -1\!$ [/mm] können wir uns die Funktion ziemlich leicht skizzieren und können wegen der oberen Bedingungen davon ausgehen, daß diese Skizze auch für [mm] $k\!$ [/mm] und [mm] $-k\!$ [/mm] aussagekräftig bleibt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für positive [mm] $k\!$ [/mm] ist [mm] $f_k$ [/mm] für alle $x > [mm] x_\text{Tiefpunkt}$ [/mm] und für alle [m]x < x_\text{Hochpunkt}[/m] streng monoton steigend, ansonsten streng monoton fallend (Wendestelle ausgenommen).
Für negative [mm] $k\!$ [/mm] ist [mm] $f_k$ [/mm] für alle $x < [mm] x_\text{Tiefpunkt}$ [/mm] und für alle [m]x > x_\text{Hochpunkt}[/m] streng monoton fallend, ansonsten streng monoton steigend (Wendestelle ausgenommen).
Viele Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Do 10.02.2005 | | Autor: | Magnia |
hallo
kannst du mal bitte genau schreiben wie du auf die +/- [mm] \bruch{k}{ \wurzel{3} \wurzel{2}}
[/mm]
kommt ich komme immer auf das alte ergebniss...
ansonsten habe ich bis jetzt meine fehler gefunden hatte nicht erweitert gehabt :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Do 10.02.2005 | | Autor: | Magnia |
also habe als y koordinate für deinen angegebenen x wert nun -2 [mm] \bruch{k^4}{ 15\wurzel{2}} [/mm] raus.
aber beim errechnen des benutzen x werts klappt irgend etwas nicht:
ich habe 4 [mm] \bruch{1}{k}x^3 [/mm] - 2kx = 0
klammere ich aus x ( [mm] \bruch{1}{k}x^2 [/mm] - 2k) = 0
ergibt sich x1 = 0
nun muss ja [mm] \bruch{1}{k}x^2 [/mm] - 2k = 0 sein
ich hätte jetzt * k genommen sodass ich
[mm] 4x^2 [/mm] - [mm] 2k^2 [/mm] = 0 hätte
dann + [mm] 2k^2 [/mm] und :4
dann hätte ich da stehen
[mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{k}{2}
[/mm]
daraus dann natürlcih die wurzel
ich bin ratlos ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Do 10.02.2005 | | Autor: | Magnia |
genauso hier
auf welcher kurve liegen die wendepunkte aller Graphen der Funktion fk
wenn ich zb. den Wendepunkt [mm] \bruch{k}{\wurzel{2}} [/mm] / -2 [mm] \bruch{k^4}{15\wurzel{2}}
[/mm]
nehme dann ist ja
y = [mm] -2\bruch{k^4}{15\wurzel{2}}
[/mm]
x = [mm] \bruch{k}{\wurzel{2}}
[/mm]
dann hätte ich alsp
[mm] -2\bruch{k^4}{15\wurzel{2}} [/mm] = a ( [mm] \bruch{k}{\wurzel{2}} )^5 [/mm] - b [mm] (\bruch{k}{\wurzel{2}})^3
[/mm]
und für den anderen punkt genau das selbe
dies hilft mir aber nicht wirklich weiter
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Hallo Magnia,
>
> wenn ich zb. den Wendepunkt [mm]\bruch{k}{\wurzel{2}}[/mm] / -2
> [mm]\bruch{k^4}{15\wurzel{2}}[/mm]
> nehme dann ist ja
> y = [mm]-2\bruch{k^4}{15\wurzel{2}}[/mm]
> x = [mm]\bruch{k}{\wurzel{2}}[/mm]
> dann hätte ich alsp
> [mm]-2\bruch{k^4}{15\wurzel{2}}[/mm] = a ( [mm]\bruch{k}{\wurzel{2}} )^5[/mm]
> - b [mm](\bruch{k}{\wurzel{2}})^3[/mm]
>
Also, jetzt versteh ich nicht so ganz, was du da machst? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
ich erhalte: W [mm] $\left(\pm \bruch{k}{\wurzel{2}} | \bruch{-7\wurzel{2} k^4}{120}\right)$
[/mm]
Wenn du jetzt herausfinden sollst, auf welcher Kurve alle Wendepunkte liegen,
so musst du das "k" eliminieren.
$x = [mm] \pm \bruch{k}{\wurzel{2}} [/mm] $ und $y = [mm] \bruch{-7\wurzel{2} k^4}{120}$
[/mm]
jetzt löst du die erste Gleichung nach k auf und setzt das k in die zweite Gleichung ein
[mm] \Rightarrow [/mm] du bekommst eine Beziehung y= .... heraus, die die Gleichung für die gesuchte Kurve ist.
Jetzt klarer?
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Siehe die Werte von Karl Pech.
