Funktionsuntersuchung II < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Wo können mögliche Extremstellen liegen?
a.) f (x) = x³-3x³
b.) f (x) = sin x - x
c.) f (x) = (1)/(4)x² - [mm] \wurzel{x}
[/mm]
d.) f (x) = [mm] x^4-2x²+3
[/mm]
e.) f (x) = x² + (2)/(x)
f.) f (x) = cos x + (x)/( [mm] \wurzel{2}) [/mm] |
Am Anfang ist mal wieder zu sagen das ich keine Ahnung habe und nicht weiter komme :(
a.) f' (x) = 3x² - 9x²
f' [mm] (x_E) [/mm] = 0
3x² -9x² = 0
3x (x-3x) = 0
[mm] x_E [/mm] = 0
Eine mögliche Extremstelle liegt bei 0.
So, das ist dann auch die einzige Aufgabe die ich bis zum Ende geschafft habe, ob es richtig ist sei mal dahin gestellt ;)
b.) f'(x) = cos x - 1
f' [mm] (x_E) [/mm] = 0
cos x - 1 = 0
Aber wie mache ich jetzt weiter?
Kann die - 1 zwar auf die andere Seite holen sodass es heißt :
cos x = 1
Aber das würde mir doch auch nichts bringen. Wie befreie ich das Cosinus vom x? Also das x alleine dort steht?
c.) f'(x) = (1)/(2) x - (1)/(2* [mm] \wurzel{x})
[/mm]
f' [mm] (x_E) [/mm] = 0
(1)/(2) x - (1)/(2* [mm] \wurzel{x}) [/mm] = 0
Hier habe ich wirklich keine Ahnung was ich machen kann :(
Komme jetzt gar nicht mehr weiter :(
d.) f'(x) = 4x³-4x
f' [mm] (x_E) [/mm] = 0
4x³ -4x = 0 | + 4x
4x³ = 4x | x
4x² = 4 | : 4
x² = 1 | [mm] \wurzel
[/mm]
x = [mm] \wurzel{1}
[/mm]
x = 1
Eine mögliche Extremstelle liegt bei 1. Aber ist das auch richtig? Sicher nicht was? :(
e.) f'(x) = 2x - (2)/(x²)
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
2x - (2)/(x²) = 0 | -2x
- (2)/(x²) = - 2x | x²
- 2 = -2x³ | : -2
1 = x³ [mm] |\wurzel[3]{}
[/mm]
[mm] \wurzel[3]{1} [/mm] = x
x = 1
Eine mögliche Extremstelle liegt bei 1.
f.) Hier bekomme ich die Ableitung nicht einmal hin :(
Also cos x kann ich noch Ableiten das wäre - sin x aber das andere versteh ich ja mal gar nicht :((
Wäre lieb wenn ihr mir mal wieder, wie so oft, helfen könntet.
Mit freundlichen Grüßen
Kristof
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Sa 29.04.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Kristof,
[übrigens kannst Du Potenzen besser so schreiben: z.B. x^3, das wird dann zu [mm] $x^3$ [/mm] ]
> a.) f (x) = x³-3x³
Mit ziemlicher Sicherheit ist die falsch aufgeschrieben, denn hier könntest Du die beiden [mm] $x^3$ [/mm] doch zu [mm] $-2x^3$ [/mm] zusammenfassen.
Es ist sicherlich gemeint: $f(x) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] 3x^2$ [/mm] - oder?
> b.) f (x) = sin x - x
> c.) f (x) = (1)/(4)x² - [mm]\wurzel{x}[/mm]
> d.) f (x) = [mm]x^4-2x²+3[/mm]
> e.) f (x) = x² + (2)/(x)
> f.) f (x) = cos x + (x)/( [mm]\wurzel{2})[/mm]
> Am Anfang ist mal wieder zu sagen das ich keine Ahnung
> habe und nicht weiter komme :(
>
> a.) f' (x) = 3x² - 9x²
>
> f' [mm](x_E)[/mm] = 0
> 3x² -9x² = 0
>
> 3x (x-3x) = 0
>
> [mm]x_E[/mm] = 0
>
> Eine mögliche Extremstelle liegt bei 0.
> So, das ist dann auch die einzige Aufgabe die ich bis zum
> Ende geschafft habe,
vom Zusammenfassen (siehe Anmerkung oben) abgesehen, am Besten hättest Du hier gleich [mm] $x^2$ [/mm] ausgeklammert.
Aber mit der "korrigierten" Funktion sieht's folgendermaßen aus:
$f'(x) = [mm] 3x^2-6x [/mm] = 3x (x-6) = 0$
Also $3x = 0 [mm] \gdw x_1 [/mm] = 0$
oder $x - 6 = 0 [mm] \gdw x_2 [/mm] = 6$ !!
> b.) f'(x) = cos x - 1
>
> f' [mm](x_E)[/mm] = 0
> cos x - 1 = 0
>
> Aber wie mache ich jetzt weiter?
> Kann die - 1 zwar auf die andere Seite holen sodass es
> heißt :
>
> cos x = 1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber das würde mir doch auch nichts bringen. Wie befreie
> ich das Cosinus vom x? Also das x alleine dort steht?
Na? Wovon ist der Kosinus gleich 1? Von 0° bzw. von 180° etc. - oder im Bogenmaß: von 0 bzw. von [mm] $2\pi$ [/mm] etc.
Auf dem Taschenrechner ist das dieses ominöse (mathematisch nicht ganz korrekt geschriebene) [mm] $\cos^{-1}$ [/mm] Korrekt nennt sich das Arcuskosinus, kurz arccos, also:
$x = [mm] \arccos{1}$
[/mm]
Jetzt muss ich leider ganz flott weg.
Vielleicht später merh.
Oder jemand anders.
Schöne Grüße,
ardik
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Xartes |
> c.) f'(x) = (1)/(2) x - (1)/(2* [mm]\wurzel{x})[/mm]
>
> f' [mm](x_E)[/mm] = 0
> (1)/(2) x - (1)/(2* [mm]\wurzel{x})[/mm] = 0
>
> Hier habe ich wirklich keine Ahnung was ich machen kann :(
> Komme jetzt gar nicht mehr weiter :(
>
Naja, du könntest du einfach mal versuchen die gleichung aufzulösen ^^.
Den zweiten Summand also erst mal auf die andere Seite, dann sieht das ganze so aus:
(1)/(2) x = (1)/(2* [mm]\wurzel{x})[/mm]
Dann mit (2* [mm]\wurzel{x})[/mm] multiplizieren und einfach nach x auflösen. Kriegst du das hin? Ich denke schon.
> d.) f'(x) = 4x³-4x
>
> f' [mm](x_E)[/mm] = 0
> 4x³ -4x = 0 | + 4x
> 4x³ = 4x | x
> 4x² = 4 | : 4
> x² = 1 | [mm]\wurzel[/mm]
> x = [mm]\wurzel{1}[/mm]
> x = 1
>
> Eine mögliche Extremstelle liegt bei 1. Aber ist das auch
> richtig? Sicher nicht was? :(
>
Doch, es ist zumindest teilweise richtig ^^. Erste Sache: du teilst einmal durch x, bist du dir da auch sicher, dass x ungleich null ist ;).
Und zweitens: was ergibt -1 denn zum quadrat ;). Bei Wurzelziehen auch die negative Zahl beachten.
> e.) f'(x) = 2x - (2)/(x²)
>
> [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
> 2x - (2)/(x²) = 0 | -2x
> - (2)/(x²) = - 2x | x²
>
> - 2 = -2x³ | : -2
> 1 = x³ [mm]|\wurzel[3]{}[/mm]
> [mm]\wurzel[3]{1}[/mm] = x
>
> x = 1
>
> Eine mögliche Extremstelle liegt bei 1.
>
Richtig ;)
> f.) Hier bekomme ich die Ableitung nicht einmal hin :(
> Also cos x kann ich noch Ableiten das wäre - sin x aber das
>andere versteh ich ja mal gar nicht :((
-sin x ist doch schon mal richtig und das zweite ist doch das gleiche wie
x* 1 / ( [mm] \wurzel{2}), [/mm] sprich beim Ableiten bleibt nur noch 1 / ( [mm] \wurzel{2}) [/mm] übrig und dann kannst du die gleichung ähnlich wie in b) auflösen.
Also, viel Spaß beim Lösen noch.
Gruß Xartes
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 So 30.04.2006 | | Autor: | Kristof |
> Hallo Kristof,
>
> [übrigens kannst Du Potenzen besser so schreiben: z.B.
> [mm][code]x^3[/code],[/mm] das wird dann zu [mm]x^3[/mm] ]
>
> > a.) f (x) = x³-3x³
>
> Mit ziemlicher Sicherheit ist die falsch aufgeschrieben,
> denn hier könntest Du die beiden [mm]x^3[/mm] doch zu [mm]-2x^3[/mm]
> zusammenfassen.
> Es ist sicherlich gemeint: [mm]f(x) = x^3 - 3x^2[/mm] - oder?
Nein habe die schon richtig Aufgeschrieben. Aber an das Zusammenfassen habe ich natürlich nicht gedacht :( ...
> > b.) f (x) = sin x - x
> > c.) f (x) = (1)/(4)x² - [mm]\wurzel{x}[/mm]
> > d.) f (x) = [mm]x^4-2x²+3[/mm]
> > e.) f (x) = x² + (2)/(x)
> > f.) f (x) = cos x + (x)/( [mm]\wurzel{2})[/mm]
> > Am Anfang ist mal wieder zu sagen das ich keine Ahnung
> > habe und nicht weiter komme :(
> >
> > a.) f' (x) = 3x² - 9x²
> >
> > f' [mm](x_E)[/mm] = 0
> > 3x² -9x² = 0
> >
> > 3x (x-3x) = 0
> >
> > [mm]x_E[/mm] = 0
> >
> > Eine mögliche Extremstelle liegt bei 0.
> > So, das ist dann auch die einzige Aufgabe die ich bis
> zum
> > Ende geschafft habe,
>
> vom Zusammenfassen (siehe Anmerkung oben) abgesehen, am
> Besten hättest Du hier gleich [mm]x^2[/mm] ausgeklammert.
> Aber mit der "korrigierten" Funktion sieht's
> folgendermaßen aus:
>
> [mm]f'(x) = 3x^2-6x = 3x (x-6) = 0[/mm]
>
> Also [mm]3x = 0 \gdw x_1 = 0[/mm]
> oder [mm]x - 6 = 0 \gdw x_2 = 6[/mm]
Da dies nicht die Aufgabenstellung ist (was du ja nicht wusstest, hatte zuerst den gleichen gedanken) habe ich sie nochmal Versucht für mich zu rechnen.
f'(x) = 0
[mm] -6x^2 [/mm] = 0 | : -6
x² = 0 | [mm] \wurzel{}
[/mm]
x = [mm] \wurzel{0}
[/mm]
[mm] x_E [/mm] = 0
Also ist die Extremstelle oder der Extremwert weiß nicht wie man das nennt bei 0 oder?
> > b.) f'(x) = cos x - 1
> >
> > f' [mm](x_E)[/mm] = 0
> > cos x - 1 = 0
> >
> > Aber wie mache ich jetzt weiter?
> > Kann die - 1 zwar auf die andere Seite holen sodass es
> > heißt :
> >
> > cos x = 1
>
>
>
> > Aber das würde mir doch auch nichts bringen. Wie befreie
> > ich das Cosinus vom x? Also das x alleine dort steht?
>
> Na? Wovon ist der Kosinus gleich 1? Von 0° bzw. von 180°
> etc. - oder im Bogenmaß: von 0 bzw. von [mm]2\pi[/mm] etc.
> Auf dem Taschenrechner ist das dieses ominöse
> (mathematisch nicht ganz korrekt geschriebene) [mm]\cos^{-1}[/mm]
> Korrekt nennt sich das Arcuskosinus, kurz arccos, also:
>
> [mm]x = \arccos{1}[/mm]
Okay hier nochmal die Rechnung von mir :
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
cos x -1 = 0 | +1
cos x = 1 | cos^-1
x = cos^-1*(1)
x = 0
[mm] x_E [/mm] = 0
Das würde bedeuten das die Extremstelle hier ebenfalls 0 ist nicht wahr?
> > c.) f'(x) = (1)/(2) x - (1)/(2* [mm]\wurzel{x})[/mm]
> >
> > f' [mm](x_E)[/mm] = 0
> > (1)/(2) x - (1)/(2* [mm]\wurzel{x})[/mm] = 0
> >
> > Hier habe ich wirklich keine Ahnung was ich machen kann :(
> > Komme jetzt gar nicht mehr weiter :(
> >
> Naja, du könntest du einfach mal versuchen die gleichung
> aufzulösen ^^.
> Den zweiten Summand also erst mal auf die andere Seite,
> dann sieht das ganze so aus:
> (1)/(2) x = (1)/(2* [mm]\wurzel{x})[/mm]
>
> Dann mit (2* [mm]\wurzel{x})[/mm] multiplizieren und einfach nach x
> auflösen. Kriegst du das hin? Ich denke schon.
Habe es probiert, jedoch nicht ganz zum Ende geschafft.
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
(1)/(2)*x - (1)/(2* [mm] \wurzel{x}) [/mm] = 0 | + (1)/(2* [mm] \wurzel{x}) [/mm]
(1)/(2)*x = (1)/(2* [mm] \wurzel{x}) [/mm] | [mm] 2*\wurzel{x}
[/mm]
x * [mm] \wurzel{x} [/mm] = 1
Nun komme ich nicht weiter, wie bekomme ich dieses Wurzel x dort weg? Also das das x einfach nur da steht?
Wäre super wenn ich dort hilfe bekäme.
> > d.) f'(x) = 4x³-4x
> >
> > f' [mm](x_E)[/mm] = 0
> > 4x³ -4x = 0 | + 4x
> > 4x³ = 4x | x
> > 4x² = 4 | : 4
> > x² = 1 | [mm]\wurzel[/mm]
> > x = [mm]\wurzel{1}[/mm]
> > x = 1
> >
> > Eine mögliche Extremstelle liegt bei 1. Aber ist das auch
> > richtig? Sicher nicht was? :(
> >
>
> Doch, es ist zumindest teilweise richtig ^^. Erste Sache:
> du teilst einmal durch x, bist du dir da auch sicher, dass
> x ungleich null ist ;).
> Und zweitens: was ergibt -1 denn zum quadrat ;). Bei
> Wurzelziehen auch die negative Zahl beachten.
Habe es einfach nochmal durchgerechnet :
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
[mm] 4x^3-4x [/mm] = 0 | +4x
[mm] 4x^3 [/mm] = 4x | : 4x
[mm] x^2 [/mm] = 1
Daraus erkenne ich ja das [mm] x_E [/mm] = 1 oder [mm] x_E [/mm] = -1 sein muss.
Wie meintest du es aber mit dem
"Bei Wurzelziehen auch die negative Zahl beachten." ?
Das verstehe ich irgendwie nicht.
> > e.) f'(x) = 2x - (2)/(x²)
> >
> > [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
> > 2x - (2)/(x²) = 0 | -2x
> > - (2)/(x²) = - 2x | x²
> >
> > - 2 = -2x³ | : -2
> > 1 = x³ [mm]|\wurzel[3]{}[/mm]
> > [mm]\wurzel[3]{1}[/mm] = x
> >
> > x = 1
> >
> > Eine mögliche Extremstelle liegt bei 1.
> >
> Richtig ;)
Hier muss ich nichts mehr machen? Auch die Umformungen usw. alles richtig?
> > f.) Hier bekomme ich die Ableitung nicht einmal hin :(
> > Also cos x kann ich noch Ableiten das wäre - sin x aber
> das
> >andere versteh ich ja mal gar nicht :((
>
> -sin x ist doch schon mal richtig und das zweite ist doch
> das gleiche wie
> x* 1 / ( [mm]\wurzel{2}),[/mm] sprich beim Ableiten bleibt nur noch
> 1 / ( [mm]\wurzel{2})[/mm] übrig und dann kannst du die gleichung
> ähnlich wie in b) auflösen.
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
- sin x + [mm] (1)/(\wurzel{2}) [/mm] | + sin x
[mm] (1)/(\wurzel{2}) [/mm] = sin x | sin ^-1
45 = x
Das bedeutet hier muss die Extremstelle bei [mm] x_E [/mm] = 45 liegen. Aber das müssten doch Grad sein nicht wahr?
> Also, viel Spaß beim Lösen noch.
>
> Gruß Xartes
Vielen Dank für eure bisher geleistete Hilfe,
und auch Danke schonmal im Voraus für die neuen Fragen.
Mit freundlichen Grüßen
Kristof
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 So 30.04.2006 | | Autor: | Kristof |
War meine Verbesserung zu unübersichtlich?
Mit freundlichen Grüßen
Kristof
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 So 30.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Kristof
>
> Da dies nicht die Aufgabenstellung ist (was du ja nicht
> wusstest, hatte zuerst den gleichen gedanken) habe ich sie
> nochmal Versucht für mich zu rechnen.
>
> f'(x) = 0
> [mm]-6x^2[/mm] = 0 | : -6
> x² = 0 | [mm]\wurzel{}[/mm]
> x = [mm]\wurzel{0}[/mm]
>
> [mm]x_E[/mm] = 0
>
> Also ist die Extremstelle oder der Extremwert weiß nicht
> wie man das nennt bei 0 oder?
richtig, aber du musst mögliche extrematelle sagen weil f'=0nicht reicht. (hier ist es keine)
> > > b.) f'(x) = cos x - 1
> > > cos x = 1
> Okay hier nochmal die Rechnung von mir :
>
> [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
> cos x -1 = 0 | +1
> cos x = 1 | cos^-1
> x = cos^-1*(1)
> x = 0
Es fehlen die Stellen [mm] x=n*2\pi, [/mm] nganz
> [mm]x_E[/mm] = 0
>
> Das würde bedeuten das die Extremstelle hier ebenfalls 0
> ist nicht wahr?
Wieder mögliche! aber hier ists auch eine.
> > > c.) f'(x) = (1)/(2) x - (1)/(2* [mm]\wurzel{x})[/mm]
> > >
> > > f' [mm](x_E)[/mm] = 0
> > > (1)/(2) x - (1)/(2* [mm]\wurzel{x})[/mm] = 0
> > >
> > > Hier habe ich wirklich keine Ahnung was ich machen kann :(
> > > Komme jetzt gar nicht mehr weiter :(
> > >
> > Naja, du könntest du einfach mal versuchen die gleichung
> > aufzulösen ^^.
> > Den zweiten Summand also erst mal auf die andere Seite,
> > dann sieht das ganze so aus:
> > (1)/(2) x = (1)/(2* [mm]\wurzel{x})[/mm]
> >
> > Dann mit (2* [mm]\wurzel{x})[/mm] multiplizieren und einfach nach x
> > auflösen. Kriegst du das hin? Ich denke schon.
>
> Habe es probiert, jedoch nicht ganz zum Ende geschafft.
>
> [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
> (1)/(2)*x - (1)/(2* [mm]\wurzel{x})[/mm] = 0 | + (1)/(2*
> [mm]\wurzel{x})[/mm]
> (1)/(2)*x = (1)/(2*
> [mm]\wurzel{x})[/mm] | [mm]2*\wurzel{x}[/mm]
>
> x * [mm]\wurzel{x}[/mm] = 1
eigentlich kann man direkt sehen [mm] x^{3/2}=1 [/mm]
damit [mm] x=1^{2/3}=1
[/mm]
oder du quadrierst, wie immer bei wurzln und hast [mm] x^{3}=1
[/mm]
> Nun komme ich nicht weiter, wie bekomme ich dieses Wurzel x
> dort weg? Also das das x einfach nur da steht?
> Wäre super wenn ich dort hilfe bekäme.
>
> > > d.) f'(x) = 4x³-4x
> [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
>
> [mm]4x^3-4x[/mm] = 0 | +4x
> [mm]4x^3[/mm] = 4x | : 4x
> [mm]x^2[/mm] = 1
>
> Daraus erkenne ich ja das [mm]x_E[/mm] = 1 oder [mm]x_E[/mm] = -1 sein muss.
> Wie meintest du es aber mit dem
> "Bei Wurzelziehen auch die negative Zahl beachten." ?
> Das verstehe ich irgendwie nicht.
im vorigen post hattest du nur x=1 !
ausserdem hast du noch immer nicht die telle x=0
mit [mm]4x^3-4x[/mm] = 0 gilt [mm] 4x*(x^2-1)=0 [/mm] also entweder 4x=0 oder [mm] x^{2}=1
[/mm]
wenn du durch einen Ausdruck mit x drin dividierst, darfst du das nur, wenn [mm] x\ne0 [/mm] ist. sonst machst du Fehler ooder verlierst Lösungen!
Hier beachten nur definiert, wenn [mm] x\ne0 [/mm]
> > > e.) f'(x) = 2x - (2)/(x²)
> > >
> > > [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
> > > 2x - (2)/(x²) = 0 | -2x
> > > - (2)/(x²) = - 2x | x²
> > >
> > > - 2 = -2x³ | : -2
> > > 1 = x³ [mm]|\wurzel[3]{}[/mm]
> > > [mm]\wurzel[3]{1}[/mm] = x
> > >
> > > x = 1
> > >
> > > Eine mögliche Extremstelle liegt bei 1.
> > >
> > Richtig ;)
>
> Hier muss ich nichts mehr machen? Auch die Umformungen usw.
> alles richtig?
Alles richtig bis [mm] x\ne0
[/mm]
> > > f.) Hier bekomme ich die Ableitung nicht einmal hin :(
> > > Also cos x kann ich noch Ableiten das wäre - sin x
> aber
> > das
> > >andere versteh ich ja mal gar nicht :((
> >
> > -sin x ist doch schon mal richtig und das zweite ist doch
> > das gleiche wie
> > x* 1 / ( [mm]\wurzel{2}),[/mm] sprich beim Ableiten bleibt nur noch
> > 1 / ( [mm]\wurzel{2})[/mm] übrig und dann kannst du die gleichung
> > ähnlich wie in b) auflösen.
>
> [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
>
> - sin x + [mm](1)/(\wurzel{2})[/mm] | + sin x
> [mm](1)/(\wurzel{2})[/mm] = sin x | sin ^-1
> 45 = x
Im Allgemeinen gibt man x nicht in Grad an, sondern im Bogenmass, also hier [mm] x=\pi/4
[/mm]
und dann noch weil sin ja periodisch ist [mm] x=\pi/4\pmn*2\pi [/mm]
> Das bedeutet hier muss die Extremstelle bei [mm]x_E[/mm] = 45
> liegen. Aber das müssten doch Grad sein nicht wahr?
Wieder: extremstellen sind möglich, da du die 2. Ableitung ja nicht untersucht hast.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Kristof |
> > f'(x) = 0
> > [mm]-6x^2[/mm] = 0 | : -6
> > x² = 0 | [mm]\wurzel{}[/mm]
> > x = [mm]\wurzel{0}[/mm]
> >
> > [mm]x_E[/mm] = 0
> >
> > Also ist die Extremstelle oder der Extremwert weiß nicht
> > wie man das nennt bei 0 oder?
> richtig, aber du musst mögliche extrematelle sagen weil
> f'= 0nicht reicht. (hier ist es keine)
Also hier ist an der Rechnung nichts falsch sondern nur an der Formulierung das Antwortsatzes oder wie?
> > > > b.) f'(x) = cos x - 1
> > > > cos x = 1
> > Okay hier nochmal die Rechnung von mir :
> >
> > [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
> > cos x -1 = 0 | +1
> > cos x = 1 | cos^-1
> > x = cos^-1*(1)
> > x = 0
> Es fehlen die Stellen [mm]x=n*2\pi,[/mm] nganz
> > [mm]x_E[/mm] = 0
Wo fehlt das?
Ist das auch eine mögliche Extremstelle?
Versteh ich irgendwie nicht.
> > Das würde bedeuten das die Extremstelle hier ebenfalls 0
> > ist nicht wahr?
> Wieder mögliche! aber hier ists auch eine.
Okay, also [mm] x_E [/mm] = 0 wäre eine mögliche Nullstelle. Aber das andere verstehe ich nicht. Wo kommt denn dort [mm]x=n*2\pi,[/mm] vor oder hin?
> > > > c.) f'(x) = (1)/(2) x - (1)/(2* [mm]\wurzel{x})[/mm]
> > > >
> > > > f' [mm](x_E)[/mm] = 0
> > > > (1)/(2) x - (1)/(2* [mm]\wurzel{x})[/mm] = 0
> > > >
> > > > Hier habe ich wirklich keine Ahnung was ich machen kann :(
> > > > Komme jetzt gar nicht mehr weiter :(
> > > >
> > > Naja, du könntest du einfach mal versuchen die gleichung
> > > aufzulösen ^^.
> > > Den zweiten Summand also erst mal auf die andere
> Seite,
> > > dann sieht das ganze so aus:
> > > (1)/(2) x = (1)/(2* [mm]\wurzel{x})[/mm]
> > >
> > > Dann mit (2* [mm]\wurzel{x})[/mm] multiplizieren und einfach nach x
> > > auflösen. Kriegst du das hin? Ich denke schon.
> >
> > Habe es probiert, jedoch nicht ganz zum Ende geschafft.
> >
> > [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
> > (1)/(2)*x - (1)/(2* [mm]\wurzel{x})[/mm] = 0 | + (1)/(2*
> > [mm]\wurzel{x})[/mm]
> > (1)/(2)*x = (1)/(2*
> > [mm]\wurzel{x})[/mm] | [mm]2*\wurzel{x}[/mm]
> >
> > x * [mm]\wurzel{x}[/mm] = 1
> eigentlich kann man direkt sehen [mm]x^{3/2}=1[/mm]
> damit [mm]x=1^{2/3}=1[/mm]
> oder du quadrierst, wie immer bei wurzln und hast
> [mm]x^{3}=1[/mm]
> > Nun komme ich nicht weiter, wie bekomme ich dieses
> Wurzel x
> > dort weg? Also das das x einfach nur da steht?
> > Wäre super wenn ich dort hilfe bekäme.
Okay habe an der Stelle
x * [mm] \wurzel{x} [/mm] = 1 | ² (quadriert)
x² * x = 1
x³ = 1
Also ist hier eine mögliche Extremstelle [mm] x_E [/mm] = 1
Oder?
> > > > d.) f'(x) = 4x³-4x
> > [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
> >
> > [mm]4x^3-4x[/mm] = 0 | +4x
> > [mm]4x^3[/mm] = 4x | : 4x
> > [mm]x^2[/mm] = 1
> >
> > Daraus erkenne ich ja das [mm]x_E[/mm] = 1 oder [mm]x_E[/mm] = -1 sein muss.
> > Wie meintest du es aber mit dem
> > "Bei Wurzelziehen auch die negative Zahl beachten." ?
> > Das verstehe ich irgendwie nicht.
> im vorigen post hattest du nur x=1 !
> ausserdem hast du noch immer nicht die telle x=0
> mit [mm]4x^3-4x[/mm] = 0 gilt [mm]4x*(x^2-1)=0[/mm] also entweder 4x=0 oder
> [mm]x^{2}=1[/mm]
> wenn du durch einen Ausdruck mit x drin dividierst, darfst
> du das nur, wenn [mm]x\ne0[/mm] ist. sonst machst du Fehler ooder
> verlierst Lösungen!
> Hier beachten nur definiert, wenn [mm]x\ne0[/mm]
Was meinst du mit dem nur definiert wenn x ist ungleich 0?
Achso,
Stimmt.
Habe es nochmal so gerechnet _
4x³-4x = 0
4x(x²-1) = 0
Dann sind mögliche Extremstellen [mm] x_E [/mm] = 1 u. [mm] x_E [/mm] = -1 nicht wahr?
> > > > e.) f'(x) = 2x - (2)/(x²)
> > > >
> > > > [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
> > > > 2x - (2)/(x²) = 0 | -2x
> > > > - (2)/(x²) = - 2x | x²
> > > >
> > > > - 2 = -2x³ | : -2
> > > > 1 = x³ [mm]|\wurzel[3]{}[/mm]
> > > > [mm]\wurzel[3]{1}[/mm] = x
> > > >
> > > > x = 1
> > > >
> > > > Eine mögliche Extremstelle liegt bei 1.
> > > >
> > > Richtig ;)
> >
> > Hier muss ich nichts mehr machen? Auch die Umformungen usw.
> > alles richtig?
> Alles richtig bis [mm]x\ne0[/mm]
Wieso [mm]x\ne0[/mm] ?
Wie mach ich's denn anders?
> > > > f.) Hier bekomme ich die Ableitung nicht einmal hin
> :(
> > > > Also cos x kann ich noch Ableiten das wäre - sin x
> > aber
> > > das
> > > >andere versteh ich ja mal gar nicht :((
> > >
> > > -sin x ist doch schon mal richtig und das zweite ist doch
> > > das gleiche wie
> > > x* 1 / ( [mm]\wurzel{2}),[/mm] sprich beim Ableiten bleibt nur noch
> > > 1 / ( [mm]\wurzel{2})[/mm] übrig und dann kannst du die gleichung
> > > ähnlich wie in b) auflösen.
> >
> > [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
> >
> > - sin x + [mm](1)/(\wurzel{2})[/mm] | + sin x
> > [mm](1)/(\wurzel{2})[/mm] = sin x | sin ^-1
> > 45 = x
> Im Allgemeinen gibt man x nicht in Grad an, sondern im
> Bogenmass, also hier [mm]x=\pi/4[/mm]
> und dann noch weil sin ja periodisch ist [mm]x=\pi/4\pmn*2\pi[/mm]
> > Das bedeutet hier muss die Extremstelle bei [mm]x_E[/mm] = 45
> > liegen. Aber das müssten doch Grad sein nicht wahr?
Okay 45° = [mm] \pi/4
[/mm]
Aber wieso dann noch [mm] \pi/4*2 [/mm] ?
Wären dann also mögliche Nullstellen [mm] x_E [/mm] = [mm] \pi/4 [/mm] und [mm] x_E [/mm] = [mm] \pi/4*2?
[/mm]
> Wieder: extremstellen sind möglich, da du die 2. Ableitung
> ja nicht untersucht hast.
> Gruss leduart
Naja, die Aufgabe lässt mir einfach keine ruhe.
Sorry ;(
Danke schonmal im Voraus für eure Hilfe
MFG
Kristof
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Mo 01.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
Moin kristof,
> > f'(x) = 0
> > = 0 | : -6
> > x² = 0 |
> > x =
> >
> > = 0
> >
> > Also ist die Extremstelle oder der Extremwert weiß nicht
> > wie man das nennt bei 0 oder?
> richtig, aber du musst mögliche extrematelle sagen weil
> f'= 0nicht reicht. (hier ist es keine)
Also hier ist an der Rechnung nichts falsch sondern nur an der Formulierung das Antwortsatzes oder wie?
Die Rechnung ist ok, aber nicht ausreichend, um aussagen zu können, bei x=0 liegt ein extremwert vor. dazu müßtest du außerdem noch f''(x=0) untersuchen!
> > > > b.) f'(x) = cos x - 1
> > > > cos x = 1
> > Okay hier nochmal die Rechnung von mir :
> >
> > = 0
> > cos x -1 = 0 | +1
> > cos x = 1 | cos^-1
> > x = cos^-1*(1)
> > x = 0
> Es fehlen die Stellen nganz
> > = 0
Wo fehlt das?
Ist das auch eine mögliche Extremstelle?
Versteh ich irgendwie nicht.
ohne mich nun stundenlang mit der aufgabe zu beschäftigen; da es sich bei den trigonometrischen fuinktionen um zyklische funktionen handelt, gibt es hier weitere Nullstellen der ersten Ableitung immer, wenn man einen weiteren kreis durchlaufen hat. x=0, x= [mm] 2\pi, [/mm] x= 2* [mm] 2\pi [/mm] usw.
> > > > c.) f'(x) = (1)/(2) x - (1)/(2*
> > > >
> > > > f' = 0
> > > > (1)/(2) x - (1)/(2* = 0
> > > >
> > > > Hier habe ich wirklich keine Ahnung was ich machen kann :(
> > > > Komme jetzt gar nicht mehr weiter :(
> > > >
> > > Naja, du könntest du einfach mal versuchen die gleichung
> > > aufzulösen ^^.
> > > Den zweiten Summand also erst mal auf die andere
> Seite,
> > > dann sieht das ganze so aus:
> > > (1)/(2) x = (1)/(2*
> > >
> > > Dann mit (2* multiplizieren und einfach nach x
> > > auflösen. Kriegst du das hin? Ich denke schon.
> >
> > Habe es probiert, jedoch nicht ganz zum Ende geschafft.
> >
> > = 0
> > (1)/(2)*x - (1)/(2* = 0 | + (1)/(2*
> >
> > (1)/(2)*x = (1)/(2*
> > |
> >
> > x * = 1
> eigentlich kann man direkt sehen
> damit
> oder du quadrierst, wie immer bei wurzln und hast
>
> > Nun komme ich nicht weiter, wie bekomme ich dieses
> Wurzel x
> > dort weg? Also das das x einfach nur da steht?
> > Wäre super wenn ich dort hilfe bekäme.
Okay habe an der Stelle
x * = 1 | ² (quadriert)
x² * x = 1
x³ = 1
Also ist hier eine mögliche Extremstelle = 1
Oder?
Korrekt. Auch hier müßtest du noch betrachten, wie sich die zweite Ableitung an der stelle x=1 verhält, um ganz sicher zu sein, ob und welche art von extremum dort vorliegt.
> > > > d.) f'(x) = 4x³-4x
> > = 0
> >
> > = 0 | +4x
> > = 4x | : 4x
> > = 1
> >
> > Daraus erkenne ich ja das = 1 oder = -1 sein muss.
> > Wie meintest du es aber mit dem
> > "Bei Wurzelziehen auch die negative Zahl beachten." ?
> > Das verstehe ich irgendwie nicht.
> im vorigen post hattest du nur x=1 !
> ausserdem hast du noch immer nicht die telle x=0
> mit = 0 gilt also entweder 4x=0 oder
>
> wenn du durch einen Ausdruck mit x drin dividierst, darfst
> du das nur, wenn ist. sonst machst du Fehler ooder
> verlierst Lösungen!
> Hier beachten nur definiert, wenn
Was meinst du mit dem nur definiert wenn x ist ungleich 0?
Achso,
Stimmt.
Habe es nochmal so gerechnet _
4x³-4x = 0
4x(x²-1) = 0
Dann sind mögliche Extremstellen = 1 u. = -1 nicht wahr?
korrekt.
> > > > e.) f'(x) = 2x - (2)/(x²)
> > > >
> > > > = 0
> > > > 2x - (2)/(x²) = 0 | -2x
> > > > - (2)/(x²) = - 2x | x²
> > > >
> > > > - 2 = -2x³ | : -2
> > > > 1 = x³
> > > > = x
> > > >
> > > > x = 1
> > > >
> > > > Eine mögliche Extremstelle liegt bei 1.
> > > >
> > > Richtig ;)
> >
> > Hier muss ich nichts mehr machen? Auch die Umformungen usw.
> > alles richtig?
> Alles richtig bis
Wieso ?
Wie mach ich's denn anders?
deine funktion ist doch von vornherein an der stelle x=0 nicht definiert. der kommentar soll dies vermutlich nur noch einmal verdeutlichen...
> > > > f.) Hier bekomme ich die Ableitung nicht einmal hin
> :(
> > > > Also cos x kann ich noch Ableiten das wäre - sin x
> > aber
> > > das
> > > >andere versteh ich ja mal gar nicht :((
> > >
> > > -sin x ist doch schon mal richtig und das zweite ist doch
> > > das gleiche wie
> > > x* 1 / ( sprich beim Ableiten bleibt nur noch
> > > 1 / ( übrig und dann kannst du die gleichung
> > > ähnlich wie in b) auflösen.
> >
> > = 0
> >
> > - sin x + | + sin x
> > = sin x | sin ^-1
> > 45 = x
> Im Allgemeinen gibt man x nicht in Grad an, sondern im
> Bogenmass, also hier
> und dann noch weil sin ja periodisch ist
> > Das bedeutet hier muss die Extremstelle bei = 45
> > liegen. Aber das müssten doch Grad sein nicht wahr?
Okay 45° =
Aber wieso dann noch ?
Wären dann also mögliche Nullstellen = und =
> Wieder: extremstellen sind möglich, da du die 2. Ableitung
> ja nicht untersucht hast.
> Gruss leduart
Naja, die Aufgabe lässt mir einfach keine ruhe.
Sorry ;(
Danke schonmal im Voraus für eure Hilfe
MFG
Kristof
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Mo 01.05.2006 | | Autor: | ardik |
> b.) f'(x) = cos x - 1
[...]
> > Es fehlen die Stellen [mm]x=n*2\pi,[/mm] nganz
> > > [mm]x_E[/mm] = 0
>
> Wo fehlt das?
> Ist das auch eine mögliche Extremstelle?
Schau Dir (z.B.) mal den Graphen zu f(x) = sin x an. Wieviele Extrempunkte hat der? Und wo?
Unendlich viele. Der nächste mmer im Abstand von [mm] $\pi$ [/mm] zum vorherigen.
> d.) f'(x) = 4x³-4x
[...]
> > du das nur, wenn [mm]x\ne0[/mm] ist. sonst machst du Fehler oder verlierst Lösungen!
> > Hier beachten nur definiert, wenn [mm]x\ne0[/mm]
> Was meinst du mit dem nur definiert wenn x ist ungleich 0?
[...]
> 4x³-4x = 0
> 4x(x²-1) = 0
>
> Dann sind mögliche Extremstellen [mm]x_E[/mm] = 1 u. [mm]x_E[/mm] = -1 nicht
> wahr?
Ja. Und natürlich:
[mm] $x_E [/mm] = 0$ !!
Schöne Grüße,
ardik
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