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| Aufgabe | Geben Sie die Komposition für [mm] g\circ [/mm] f , soweit sie definiert werden können, expliziet an für:
f(x) = [mm] x^2 [/mm] - 1
g(x) = x+2. |
Hallo zusammen,
die oben aufgeführte Aufgabe ist eine von vieren, bei denen das selbe Vorgehen für drei weitere Verknüfungsarten von f und g gefordert wird.
Leider verursachen Aufgaben dieser Art bei mir einen akuten Hirnkrampf.
Zuerst verstehe ich nicht so ganz was da eigendlich von mir gefordert wird.
Meine vorgehensweise bisher:
g(f(x)) = [mm] (x^2-1)+2 [/mm] = [mm] x^2+1.
[/mm]
Meine Überlegung dazu:
Der Definitionsbereich von f liegt in [mm] \IR.
[/mm]
Der Bildbereich von f liegt in [mm] \IR, [/mm] wobei x [mm] \ge [/mm] (-1).
Nun kommt mein Problem:
Der Bildbereich von f wäre nun nur eine Teilmenge des Definitionsbereiches von g, und somit würde ein Teil des möglichen Definitionsbereiches von g garkeine Beachtung finden.
Nun glaube ich, dass damit die Komposition nicht definiert ist, bin mir aber sehr unsicher.
Würde man nun aber davon ausgehen, dass dies kein Problem ist, und g anwenden erhält man eine Bildmenge von g im Bereich [mm] \IR^{+}.
[/mm]
Liege ich mit meiner Annahme richtig, habe ich mich da evtl. total verrant.
Im Netzt finde ich leider keine Beispiel die eine Aufgabe dieser Art mal wirklich genau seziert.
Ich bin für jede Hilfe wirklich sehr dankbar, da ich hier schon weit Tagen nicht wirklich weiterkomme. Ich vermute das es mir da an einem grundlegenden Verständniss fehlt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Fr 21.10.2016 | | Autor: | fred97 |
Damit die Verkettung $g [mm] \circ [/mm] f$ definiert ist, muss der Bildbereich von f eine Teilmenge des Definitionsbereichs von g sein.
Das ist bei Deinen Funktionen der Fall. Wo ist das Problem ?
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Danke Dir,
da war ich mir eben unsicher, ob es reicht, dass es sich um eine Teilmenge handelt.
Fällt es mir nach wie vor schwer dies zu realisieren.
Irgendwie "fühlt es sich eben falsch an", wenn nicht das gesamte Potential der Definitionsmenge der zweiten Funktion genutzt wird.
Ich habe da einfach die Vorstellung, wenn bei der zweiten Funktion ein bestimmter Definitionsbereich angegeben ist, muss diese auch komplett betrachtet werden.
Aber wenn die Einschränkung kein Problem darstellt muss ich dass erstmal so annehmen, wengleich es sich einfach falsch anfühlt ( ich weiss auf das Gefühl sollte man sich bei Mathe nicht unbedingt verlassen  ).
Auf jeden Fall danke ich dir für deine Hilfe
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Hiho,
> Aber wenn die Einschränkung kein Problem darstellt muss
> ich dass erstmal so annehmen, wengleich es sich einfach
> falsch anfühlt ( ich weiss auf das Gefühl sollte man sich
> bei Mathe nicht unbedingt verlassen ).
ganz im Gegenteil: Viele Mathematiker verlassen sich auf ihr Gefühl… du solltest nur dringend an deinem arbeiten.
Für mich fühlt sich die Definition völlig richtig an, das kann ich sogar begründen:
In deinem Fall:
i) Sei [mm] $g:\IR \to \IR$ [/mm] gegeben und
ii) [mm] $\tilde{g} [/mm] = [mm] g|_{[-1,\infty)}$ [/mm] die Einschränkung von g auf [mm] $[-1,\infty)$
[/mm]
Warum sollte man nun die Verknüpfung von Funktionen den (trivialen) Schritt ii) fordern, wenn man die selben Ergebnisse mit der (allgemeineren) Voraussetzung i) auch erhält?
Du forderst also eigentlich 2 Dinge:
i) Fordere einen trivialen Schritt
ii) Schränke eine Definition unnötig ein
Beides widerspricht der Mathematik grundlegend.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:19 Mo 07.11.2016 | | Autor: | Windbeutel |
Danke für deine Ausführung, das hat mir weitergeholfen
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