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| Aufgabe | | Sind alle [mm] f_{n} [/mm] unstetig und konvergiert [mm] (f_{n}) [/mm] gleichmäßig gegen f, dann ist f (die Grenzfunktion) unstetig. Wahr oder falsch? |
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
Hallo,
also ich bin mir bei der Aussage nicht sicher. Ein Gegenbeispiel ist mir nicht eingefallen und ein Beweis will mir nicht gelingen.
Nach Vorraussetzung gilt ja:
[mm] \parallel f_{n}(x) [/mm] - [mm] f_{n}(a) \paralell \ge [/mm] e, wenn [mm] \paralell [/mm] x - a [mm] \paralell [/mm] < [mm] \delta.
[/mm]
--> die Unstetigkeit
und
[mm] \paralell [/mm] f(x) - f [mm] \paralell [/mm] < e für ein n [mm] \ge n_{0}
[/mm]
und zeigen müsste ich, die Unstetigkeit von f. Bin mir über den Weg nicht ganz klar. Vielleicht kann mir jemand helfen.
Steffen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Di 12.12.2006 | | Autor: | Guerk |
Hallo!
Die Aussage ist nicht richtig. Also bemüh dich nicht, sie zu beweisen. 
Nimm dir lieber eine stetige Funktion und eine Folge von unstetigen Funktionen, die dagegen konvergiert. Was passiert, wenn sich die unstetigen Funktionen z.B. von ihrem Grenzwert überhaupt nur an endlich vielen Stellen unterscheiden?
Viele Grüße,
Olaf
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