GLM Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Di 11.11.2014 | | Autor: | arraneo |
Hallo, ich habe diese Aufgabe gelöst, oder so denke ich zumindest. Könnte jemanden bitte das überprüfen? danke !
1. für [mm] n\ge [/mm] 1sei [mm] f_n:[0,\infty)\t \mathbb{R} [/mm] definiert durch:
[mm] f_n(x):= \frac{x}{n^2}e^{-\frac{x}{n}}
[/mm]
Man zeige, dass [mm] (f_n) [/mm] aud [mm] [0,\infty) [/mm] gleichmäßig gegen 0 konvergiert , aber [mm] \limes_{n\infty} \integral_{0}^{\infty}f_n(x) [/mm] dx=1 ist.
Beweise:
i) Glm. Konvergänz lautet per Definition: [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists n_0\in [/mm] N, so dass :
[mm] \Big| \frac{x}{n^2}e^{-\frac{x}{n}}-0 \Big| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] , [mm] \forall x\in [0,\infty) ,\forall n\in [/mm] N : [mm] n\ge n_0 [/mm]
[mm] \iff \Big| \frac{x}{n^2}e^{-\frac{x}{n}} \Big|<\varepsilon [/mm] , [mm] \forall x\in [0,\infty) ,\forall n\in [/mm] N : [mm] n\ge n_0 [/mm]
[mm] \iff \Big| \frac{x}{n^2} \Big| \Big| e^{-\frac{x}{n}} \Big|<\varepsilon [/mm] , [mm] \forall x\in [0,\infty) ,\forall n\in [/mm] N : [mm] n\ge n_0 [/mm]
Wir wissen, dass die Reihe exp(x'):= [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \frac{x'^n}{n!} [/mm] absolut konvergiert, für alle [mm] x'\in [/mm] R, insbesondere x'= -x/n.
Außerdem gilt:
[mm] \limes_{n\to\infty} \Big| \frac{x}{n^2}\Big| \longrightarrow [/mm] 0, wenn [mm] n\to\infty, [/mm] für alle [mm] x\in [0,\infty) [/mm] .
Insgesamt gilt also:
[mm] \Big| \frac{x}{n^2} \Big| \Big| e^{-\frac{x}{n}} \Big|<\varepsilon [/mm] , [mm] \forall x\in [0,\infty) ,\forall n\in [/mm] N : [mm] n\ge n_0 [/mm]
und somit konvergiert die Funktionenfolge [mm] (f_n) [/mm] auf [mm] [0,\infty) [/mm] gleichmäßig.
ii) [mm] \limes_{n\in\infty} \integral_0^{\infty}f_n(x)dx=1. [/mm]
[mm] \limes_{n\in\infty} \integral_0^{\infty}f_n(x)dx=\limes_{n\in\infty} \integral_0^{\infty} \frac{x}{n^2}e^{-\frac{x}{n}} [/mm] dx
Für die partielle Integration, sei f(x):= [mm] -\frac{x}{n} [/mm] und g'(x):= [mm] -\frac{1}{n}e^{-\frac{x}{n}} [/mm] , woraus folgt: [mm] f'(x)=-\frac{1}{n} [/mm] und [mm] g(x)=e^{-\frac{x}{n}}
[/mm]
Dann ist:
[mm] \limes_{n\in\infty} \integral_0^{\infty} \frac{x}{n^2}e^{-\frac{x}{n}} [/mm] dx= [mm] \limes_{n\in\infty} -\frac{x}{n} \cdot e^{-\frac{x}{n}} \Big|_0^{\infty} [/mm] - [mm] \integral_0^{\infty} e^{-\frac{x}{n}} \cdot -\frac{1}{n} [/mm]
= [mm] \limes_{n\in\infty} -\frac{x}{n} \cdot e^{-\frac{x}{n}} \Big|_0^{\infty} [/mm] - [mm] e^{-\frac{x}{n}} \Big|_0^{\infty} [/mm]
Hier komme ich irgendwie nicht weiter, denn ich würde -1 rauskriegen, wenn [mm] n\to \infty [/mm] läuft, wo ich eigentlich 1 bekommen sollte, also irgendwie habe ich bestimmt was blödes gemacht.
Vielen Dank für die Hilfe !!
lg
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Hiho,
> Wir wissen, dass die Reihe exp(x'):= [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \frac{x'^n}{n!}[/mm] absolut konvergiert, für alle [mm]x'\in[/mm] R, insbesondere x'= -x/n.
Dein Laufindex ist i, der taucht in der Summe aber gar nicht auf, also vermutlich meinst du:
> Wir wissen, dass die Reihe exp(x'):= [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \frac{x'^i}{i!}[/mm] absolut konvergiert, für alle [mm]x'\in[/mm] R, insbesondere x'= -x/n.
Das wäre dann korrekt. Aber obs was bringt....
> Außerdem gilt:
>
> [mm]\limes_{n\to\infty} \Big| \frac{x}{n^2}\Big| \longrightarrow[/mm]
> 0, wenn [mm]n\to\infty,[/mm] für alle [mm]x\in [0,\infty)[/mm] .
Ja.
>
> Insgesamt gilt also:
>
> [mm]\Big| \frac{x}{n^2} \Big| \Big| e^{-\frac{x}{n}} \Big|<\varepsilon[/mm]
> , [mm]\forall x\in [0,\infty) ,\forall n\in[/mm] N : [mm]n\ge n_0[/mm]
Nein.
Bewiesen hast du bisher noch gar nichts, sondern nur das hingeschrieben, was zu zeigen ist.
Dir bringt die absolute Konvergenz der e-Reihe gar nix bei der Aufgabe.
Zeige:
[mm] $\lim_{n\to\infty} ||f_n||_\infty [/mm] = 0$
Für das Integral: Ziehe [mm] \bruch{1}{n} [/mm] vor den Bruch und substituiere dann $y = [mm] \bruch{x}{n}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Di 11.11.2014 | | Autor: | arraneo |
hey, danke !!
nur mal ganz kurze dumme Frage: wenn die Reihe konvergiert, in diesem Fall auch absolut, was ich da eigentlich auch habe, heißt es nicht, dass sie also beschränkt ist?
Wenn , dann konvergiert diese beschränkte Reihe multipliziert mit einer Nullfolge nicht gegen 0 ?
Also sprich, wie bei Folgen? wenn man eine beschränkte Folge hat mal eine Nullfolge, kommt die Nullfolge raus.
Das hatte ich mir überlegt, ist anscheinend falsch, aber könntest du mir bitte erklären, warum?
vielen Dank.
demnächst werde ich dann aber natürlich deinen Vorschlag ausprobieren und mich hier mit den Ergebnissen wieder melden.
nochmals vielen vielen Dank !
lg.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:13 Mi 12.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> hey, danke !!
>
> Also sprich, wie bei Folgen? wenn man eine beschränkte
> Folge hat mal eine Nullfolge, kommt die Nullfolge raus.
>
Eine analoge Aussage ist auch hier richtig: Ist [mm] $(f_n)$ [/mm] glm. beschränkt und [mm] $(g_n)$ [/mm] glm. konvergent gegen 0, so konvergiert [mm] $((f*g)_n)$ [/mm] gegen 0.
Du hast behauptet, dass die Funktionenfolge [mm] $(g_n)$ [/mm] mit [mm] $g_n(x)=\frac{x}{n^2}$, $x\in \mathbb{R}^+$ [/mm] glm. gegen 0 konvergiert. Das ist aber falsch. Die Konvergenz ist nur punktweise.
Liebe Grüße
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Hiho,
> nur mal ganz kurze dumme Frage: wenn die Reihe konvergiert,
> in diesem Fall auch absolut, was ich da eigentlich auch
> habe, heißt es nicht, dass sie also beschränkt ist?
doch, das bringt dir hier aber nichts.
Denn deine Reihe ist zwar für jedes x beschränkt, aber in Bezug auf x unbeschränkt. Du bräuchtest aber gleichmäßige Beschränktheit, d.h:
[mm] $\summe_{i=1}^\infty \bruch{x^i}{i!} [/mm] < c$ für alle x
Und das ist nunmal falsch, das [mm] $e^x \to \infty$ [/mm] für [mm] $x\to\infty$
[/mm]
Andererseits steht da ja auch [mm] $e^{-x}$ [/mm] und das ist sogar gleichmäßig beschränkt für den Bereich, den du betrachten sollst, also [mm] $[0,\infty)$, [/mm] wodurch?
> Wenn , dann konvergiert diese beschränkte Reihe
> multipliziert mit einer Nullfolge nicht gegen 0 ?
Doch, aber selbst das würde nicht reichen, wie andyv dir bereits begründet hat.
Du bräuchtest dann noch die gleichmäßige Konvergenz der Restfolge, aber das ist sie nicht.
Für deinen Weg kannst du dir merken: Wenn dass du das x weg abschätzen kannst und du nur noch einen Ausdruck bekommst, der nur noch von n abhängt und gegen Null geht. DANN hast du gleichmäßige Konvergenz.
Gruß,
Gono.
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