GLS mit 4 Unbekannten < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Fr 04.04.2008 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | Bestimme die 4 Unbekannten des LGS:
[mm] \alpha [/mm] - [mm] \delta [/mm] = [mm] -\bruch{1}{5} [/mm] (1)
[mm] \beta [/mm] + [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{1}{5} [/mm] (2)
[mm] \alpha [/mm] + [mm] \gamma [/mm] = [mm] -\bruch{1}{5} [/mm] (3)
[mm] -\beta [/mm] - [mm] \gamma [/mm] = [mm] \bruch{1}{5} [/mm] (4) |
Hallo zusammen, das GLS sieht eigentlich ziemlich einfach aus.
Ich konnte zumindest durch Gleichsetzen von (1) und (3) herausfinden:
[mm] \gamma [/mm] + [mm] \delta [/mm] = 0
Das Gleichsetzen von (2) und (4) erbrachte mir:
[mm] 2\beta [/mm] = [mm] -\delta -\gamma
[/mm]
Stimmt das soweit bzw. wie geht's weiter?
Viele Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Fr 04.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das sieht soweit gut aus. Ich würde aber direkt das Additionsverfahren nutzen.
Also:
[mm] \vmat{\alpha+0\beta+0\gamma-\delta=-\bruch{1}{5}\\0\alpha+\beta+0\gamma+\delta=\bruch{1}{5}\\\alpha+0\beta+\gamma+0\delta=-\bruch{1}{5}\\0\alpha-\beta-\gamma+0\delta=-\bruch{1}{5}}
[/mm]
Sortieren (Alles mit [mm] \alpha [/mm] untereienander)
[mm] \gdw\vmat{\alpha+0\beta+0\gamma-\delta=-\bruch{1}{5}\\\alpha+0\beta+\gamma+0\delta=-\bruch{1}{5}\\0\alpha+\beta+0\gamma+\delta=\bruch{1}{5}\\0\alpha+\beta+\gamma+0\delta=+\bruch{1}{5}} [/mm]
GL1-GL2:
[mm] \gdw\vmat{\alpha+0\beta+0\gamma-\delta=-\bruch{1}{5}\\0\alpha+0\beta-\gamma-\delta=0\\0\alpha+\beta+0\gamma+\delta=\bruch{1}{5}\\0\alpha+\beta+\gamma+0\delta=+\bruch{1}{5}}
[/mm]
Sortieren: (alles mit [mm] \beta [/mm] untereinander)
[mm] \gdw\vmat{\alpha+0\beta+0\gamma-\delta=-\bruch{1}{5}\\0\alpha+\beta+0\gamma+\delta=\bruch{1}{5}\\0\alpha+\beta+\gamma+0\delta=+\bruch{1}{5}\\0\alpha+0\beta-\gamma-\delta=0}
[/mm]
GL2-GL3
[mm] \gdw\vmat{\alpha+0\beta+0\gamma-\delta=-\bruch{1}{5}\\0\alpha+\beta+0\gamma+\delta=\bruch{1}{5}\\0\alpha+0\beta-\gamma+\delta=0\\0\alpha+0\beta-\gamma-\delta=0}
[/mm]
GL3-GL4
[mm] \gdw\vmat{\alpha+0\beta+0\gamma-\delta=-\bruch{1}{5}\\0\alpha+\beta+0\gamma+\delta=\bruch{1}{5}\\0\alpha+0\beta-\gamma+\delta=0\\0\alpha+0\beta+0\gamma+2\delta=0}
[/mm]
Jetzt kannst du "Rückwärts einsetzen, damit bekommst du dann die Lösungen für [mm] \delta, \gamma, \beta [/mm] und zuletzt [mm] \alpha.
[/mm]
Marius
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Hallo ebarni!
Aus der dritten Zeile folgt doch dass [mm] \gamma=\delta
[/mm]
Aus der vierten Zeile folgt dass [mm] \delta=0 [/mm] und demnach auch [mm] \gamma [/mm] dann 0 sein muss.
Nun schauen wir uns [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] an:
Aus der 1 Zeile folgt dann dass [mm] \alpha=-\bruch{1}{5} [/mm] ist und
aus der zweiten dann dass [mm] \beta=\bruch{1}{5} [/mm] ist.
Hmm jetzt sehe ich es auch dass dort 3 mal [mm] -\bruch{1}{5} [/mm] ist.
Also ich rechne es nochmal 
[mm] \pmat{1 & 0 & 0 & -1 | & -\bruch{1}{5} \\ 0 & 1 & 0 & 1 | & \bruch{1}{5} \\ 1 & 0 & 1 & 0 | & -\bruch{1}{5} \\ 0 & -1 & -1 & 0 | & \bruch{1}{5}} \to \pmat{5 & 0 & 0 & -5 | & -1 \\ 0 & 5 & 0 & 5 | & 1 \\ 5 & 0 & 5 & 0 | & -1 \\ 0 & -5 & -5 & 0 | & 1} \to \pmat{5 & 0 & 0 & -5 | & -1 \\ 0 & 5 & 0 & 5 | & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 5 | & 0 \\ 0 & -5 & -5 & 0 | & 1} \to \pmat{5 & 0 & 0 & -5 | & -1 \\ 0 & 5 & 0 & 5 | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 | & 0 \\ 0 & -5 & -5 & 0 | & 1} \to \pmat{5 & 0 & 0 & -5 | & -1 \\ 0 & 5 & 0 & 5 | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 | & 0 \\ 0 & 0 & -5 & 5 | & 2} \to \pmat{5 & 0 & 0 & -5 | & -1 \\ 0 & 5 & 0 & 5 | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 10 | & 2} \to \pmat{5 & 0 & 0 & -5 | & -1 \\ 0 & 5 & 0 & 5 | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 | & 1} \to \pmat{5 & 0 & 0 & 0 | & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 | & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 5 | & 1} \to \pmat{1 & 0 & 0 & 0 | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 | & -\bruch{1}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 | & \bruch{1}{5}}
[/mm]
Demnach ist bei mir jetzt [mm] \delta=\bruch{1}{5} [/mm] , [mm] \gamma=-\bruch{1}{5} [/mm] , [mm] \alpha=\beta=0
[/mm]
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Fr 04.04.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo Tyskie, hallo Loddar,
vielen lieben Dank für eure Ausführungen, damit hat sich ja jetzt alles aufgeklärt.
Bin jetzt extrem ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Ich schicke euch meine besten Grüße verbunden mit einem:
Schönes Wochenende!
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
Ziemlich schnell bist Du hier am Ziel, wenn Du Gleichung (1) und (2) addierst und anschließend die anderen beiden Gleichungen ebenfalls addierst.
Die Addition dieser beiden neuen Gleichungen liefert Dir dann [mm] $\alpha$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]"){kind=small}
![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]"){kind=small}
