GL(2,C), Untergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Mo 25.10.2010 | | Autor: | sorry_lb |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Untergruppe G der Gruppe GL(2;C), die von den Matrizen
A = [mm] \pmat{ 0 & i \\ i & 0 }
[/mm]
und B = [mm] \pmat{ \varepsilon & 0 \\ 0 & \varepsilon }
[/mm]
[mm] (\varepsilon^3 [/mm] = 1; [mm] \varepsilon \not= [/mm] 1) erzeugt wird, nicht abelsch ist
und die Ordnung 12 besitzt. Bestimmen Sie die Ordnungen der einzelnen Gruppenelemente.
Uberprufen Sie, ob die von B bzw. von A erzeugten zyklischen Untergruppen Normalteiler
von G sind. |
Huhu,
erzeugt habe ich die Matrizen
[mm] \pmat{ 0 & i \\ i & 0 }, \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ \varepsilon & 0 \\ 0 & \varepsilon }, \pmat{ \varepsilon^2 & 0 \\ 0 & \varepsilon^2 },\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } ,\pmat{ -\varepsilon^2 & 0 \\ 0 & -\varepsilon^2 }, \pmat{ -\varepsilon & 0 \\ 0 & -\varepsilon }
[/mm]
Das sind nun leider nur 8. Ich steh grad auf dem Schlauch, was ist denn das neutrale Element der Gruppe? Und momentan kann ich auch nicht erkennen, dass sie nicht abelsch sein soll. Ich hoffe ihr könnt mir einen Tipp geben,
Liebe Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Mo 25.10.2010 | | Autor: | wieschoo |
Hi,
> Zeigen Sie, dass die Untergruppe G der Gruppe GL(2;C), die
> von den Matrizen
> A = [mm]\pmat{ 0 & i \\
i & 0 }[/mm]
> und B = [mm]\pmat{ \varepsilon & 0 \\
0 & \varepsilon }[/mm]
>
> [mm](\varepsilon^3[/mm] = 1; [mm]\varepsilon \not=[/mm] 1) erzeugt wird,
> nicht abelsch ist
> und die Ordnung 12 besitzt. Bestimmen Sie die Ordnungen
> der einzelnen Gruppenelemente.
> Überprüfen Sie, ob die von B bzw. von A erzeugten
> zyklischen Untergruppen Normalteiler
> von G sind.
> Huhu,
>
> erzeugt habe ich die Matrizen
>
> [mm]\pmat{ 0 & i \\
i & 0 }, \pmat{ -1 & 0 \\
0 & -1 }, \pmat{ 0 & 0 \\
0 & 0 }, \pmat{ \varepsilon & 0 \\
0 & \varepsilon }, \pmat{ \varepsilon^2 & 0 \\
0 & \varepsilon^2 },\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 } ,\pmat{ -\varepsilon^2 & 0 \\
0 & -\varepsilon^2 }, \pmat{ -\varepsilon & 0 \\
0 & -\varepsilon }[/mm]
Wenn [mm]\pmat{ 0 & i \\
i & 0 }=:A[/mm] der Erzeuger sein soll, dann erhalte ich mit [mm]A^i[/mm] i=1,..
[mm] A^2=\left( \begin {array}{cc} -1&0\\
\noalign{\medskip}0&-1\end {array} \right) ,A^3 \left( \begin {array}{cc} 0&-i\\
\noalign{\medskip}-i&0\end {array} \right) ,A^4 \left( \begin {array}{cc} 1&0\\
\noalign{\medskip}0&1\end {array} \right) [/mm]
Wobei dann auch das neutrale Element leicht zu sehen wäre.
>
> Das sind nun leider nur 8. Ich steh grad auf dem Schlauch,
> was ist denn das neutrale Element der Gruppe? Und momentan
> kann ich auch nicht erkennen, dass sie nicht abelsch sein
> soll. Ich hoffe ihr könnt mir einen Tipp geben,
>
> Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Mo 25.10.2010 | | Autor: | sorry_lb |
aber wenn ich [mm] A^2 [/mm] mit A multipliziere, dann
[mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 } \pmat{ 0 & i \\ i & 0 }.... [/mm] ach jetz, so ein mist, ich hatte es erst so und beim drüberschauen war´s dann die Nullmatrix, dumm...
danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Mo 25.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass die Untergruppe G der Gruppe GL(2;C), die
> von den Matrizen
> A = [mm]\pmat{ 0 & i \\ i & 0 }[/mm]
> und B = [mm]\pmat{ \varepsilon & 0 \\ 0 & \varepsilon }[/mm]
>
> [mm](\varepsilon^3[/mm] = 1; [mm]\varepsilon \not=[/mm] 1) erzeugt wird,
> nicht abelsch ist
> und die Ordnung 12 besitzt. Bestimmen Sie die Ordnungen
> der einzelnen Gruppenelemente.
> Uberprufen Sie, ob die von B bzw. von A erzeugten
> zyklischen Untergruppen Normalteiler
> von G sind.
> Huhu,
>
> erzeugt habe ich die Matrizen
>
> [mm]\pmat{ 0 & i \\ i & 0 }, \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ \varepsilon & 0 \\ 0 & \varepsilon }, \pmat{ \varepsilon^2 & 0 \\ 0 & \varepsilon^2 },\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } ,\pmat{ -\varepsilon^2 & 0 \\ 0 & -\varepsilon^2 }, \pmat{ -\varepsilon & 0 \\ 0 & -\varepsilon }[/mm]
>
> Das sind nun leider nur 8. Ich steh grad auf dem Schlauch,
Die dritte Matrix ist falsch, das muss [mm] $A^3$ [/mm] sein.
Du hast $A*B$ und [mm] $A*B^2$ [/mm] vergessen, ebenso [mm] $A^3*B$ [/mm] und [mm] $A^3*B^2$.
[/mm]
> was ist denn das neutrale Element der Gruppe? Und momentan
> kann ich auch nicht erkennen, dass sie nicht abelsch sein
> soll.
Warum diese Gruppe nicht abelsch sein soll, weiss ich auch nicht: $B$ ist ein Vielfaches der Einheitsmatrix, daher vertauschen alle Potenzen von B mit allen Potenzen von A.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Di 26.10.2010 | | Autor: | sorry_lb |
Ach ich hab noch nen Fehler in der Aufgabenstellung drin. Die Matrizen lauten:
[mm] \pmat{ 0 & i \\ i & 0 } [/mm] und [mm] \pmat{ \varepsilon & 0 \\ 0 & \overline{\varepsilon} }
[/mm]
Jetzt habe ich fein gerechnet und komme auf 12 Matrizen....
A= [mm] \pmat{ 0 & i \\ i & 0 } [/mm] , [mm] A^2= \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] , [mm] A^3=\pmat{ 0 & -i \\ -i & 0 } [/mm]
[mm] B=\pmat{ \varepsilon & 0 \\ 0 & \overline{\varepsilon} }, B^2=\pmat{ \varepsilon^2 & 0 \\ 0 & \overline{\varepsilon}^2 }, B^3=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] A*B=\pmat{ 0 & i\overline{\varepsilon} \\ i\varepsilon & 0 }
[/mm]
[mm] A*B^2=\pmat{ 0 & i\overline{\varepsilon}^2 \\ i\varepsilon^2 & 0 }
[/mm]
[mm] A^3*B=\pmat{ 0 & -i\overline{\varepsilon} \\ -i\varepsilon & 0 }
[/mm]
[mm] A^2*B=\pmat{ -\varepsilon & 0 \\ 0 & -\overline{\varepsilon} }
[/mm]
[mm] A^2*B^2=\pmat{ -\varepsilon^2 & 0 \\ 0 & -\overline{\varepsilon}^2 }
[/mm]
[mm] A^3*B^2=\pmat{ 0 & -i\overline{\varepsilon}^2 \\ -i\varepsilon^2 & 0 }
[/mm]
alle, die mit [mm] B^3 [/mm] multipliziert werden, bleiben, weil [mm] B^3 [/mm] das Einselement ist. Richtig soweit?
aber wenn ich damit eine Unterguppe erzeugt hätte, dann dürfte ich beim Multiplizieren zweier beliebiger Elemente aus der Untergruppe nicht aus der Untergrupper "herausrutschen" oder?
Aber wenn ich die [mm] (A^3*B^2) [/mm] mit [mm] A^3 [/mm] multipliziere, bekomme ich doch eine neue Matrix [mm] \pmat{ \overline{\varepsilon}^2 & 0 \\ 0 & \varepsilon^2 }, [/mm] die nicht Element der Untergruppe ist... jetzt steh ich wieder auf dem Schlauch...
Auch bzgl der kommutativität weiß ich keine begründung... hat es mit der konjugiert komplexen zahl [mm] \overline{\varepsilon} [/mm] zu tun?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Di 26.10.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ach ich hab noch nen Fehler in der Aufgabenstellung drin.
> Die Matrizen lauten:
> [mm]\pmat{ 0 & i \\ i & 0 }[/mm] und [mm]\pmat{ \varepsilon & 0 \\ 0 & \overline{\varepsilon} }[/mm]
>
> Jetzt habe ich fein gerechnet und komme auf 12
> Matrizen....
Na toll.
> A= [mm]\pmat{ 0 & i \\ i & 0 }[/mm] , [mm]A^2= \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm]
> , [mm]A^3=\pmat{ 0 & -i \\ -i & 0 }[/mm]
> [mm]B=\pmat{ \varepsilon & 0 \\ 0 & \overline{\varepsilon} }, B^2=\pmat{ \varepsilon^2 & 0 \\ 0 & \overline{\varepsilon}^2 }, B^3=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> [mm]A*B=\pmat{ 0 & i\overline{\varepsilon} \\ i\varepsilon & 0 }[/mm]
>
> [mm]A*B^2=\pmat{ 0 & i\overline{\varepsilon}^2 \\ i\varepsilon^2 & 0 }[/mm]
>
> [mm]A^3*B=\pmat{ 0 & -i\overline{\varepsilon} \\ -i\varepsilon & 0 }[/mm]
>
> [mm]A^2*B=\pmat{ -\varepsilon & 0 \\ 0 & -\overline{\varepsilon} }[/mm]
>
> [mm]A^2*B^2=\pmat{ -\varepsilon^2 & 0 \\ 0 & -\overline{\varepsilon}^2 }[/mm]
>
> [mm]A^3*B^2=\pmat{ 0 & -i\overline{\varepsilon}^2 \\ -i\varepsilon^2 & 0 }[/mm]
>
> alle, die mit [mm]B^3[/mm] multipliziert werden, bleiben, weil [mm]B^3[/mm]
> das Einselement ist. Richtig soweit?
> aber wenn ich damit eine Unterguppe erzeugt hätte, dann
> dürfte ich beim Multiplizieren zweier beliebiger Elemente
> aus der Untergruppe nicht aus der Untergrupper
> "herausrutschen" oder?
> Aber wenn ich die [mm](A^3*B^2)[/mm] mit [mm]A^3[/mm] multipliziere, bekomme
Wie herum?
> ich doch eine neue Matrix [mm]\pmat{ \overline{\varepsilon}^2 & 0 \\ 0 & \varepsilon^2 },[/mm]
> die nicht Element der Untergruppe ist... jetzt steh ich
> wieder auf dem Schlauch...
> Auch bzgl der kommutativität weiß ich keine
> begründung... hat es mit der konjugiert komplexen zahl
> [mm]\overline{\varepsilon}[/mm] zu tun?
Was ist denn BA?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Di 26.10.2010 | | Autor: | sorry_lb |
>
> Wie herum?
>
[mm] (A^3\cdot{}B^2) [/mm] * [mm] A^3 =\pmat{ 0 & -i\overline{\varepsilon}^2 \\ -i\varepsilon^2 & 0 }* \pmat{ 0 & -i \\ -i & 0 }
[/mm]
> > ich doch eine neue Matrix [mm]\pmat{ \overline{\varepsilon}^2 & 0 \\ 0 & \varepsilon^2 },[/mm]
> > die nicht Element der Untergruppe ist... jetzt steh ich
> > wieder auf dem Schlauch...
> > Auch bzgl der kommutativität weiß ich keine
> > begründung... hat es mit der konjugiert komplexen zahl
> > [mm]\overline{\varepsilon}[/mm] zu tun?
>
> Was ist denn BA?
[mm] BA=\pmat{ 0 & i\varepsilon \\ i\overline{\varepsilon} & 0 } [/mm] und das ist ungleich AB, dann hab ich doch aber wieder mehr als 12 elemente?!
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
|
|
|
| |
|
> >
> > Wie herum?
> >
>
> [mm](A^3\cdot{}B^2)[/mm] * [mm]A^3 =\pmat{ 0 & -i\overline{\varepsilon}^2 \\
-i\varepsilon^2 & 0 }* \pmat{ 0 & -i \\
-i & 0 }[/mm]
>
> > > ich doch eine neue Matrix [mm]\pmat{ \overline{\varepsilon}^2 & 0 \\
0 & \varepsilon^2 },[/mm]
Hallo,
da kommt doch [mm] $\pmat{ -\overline{\varepsilon}^2 & 0 \\ 0 & -\varepsilon^2 }$ [/mm] heraus, oder?
> > Was ist denn BA?
>
> [mm]BA=\pmat{ 0 & i\varepsilon \\
i\overline{\varepsilon} & 0 }[/mm]
> und das ist ungleich AB, dann hab ich doch aber wieder mehr
> als 12 elemente?!
Möglicherweise sind Elemente gleich, die in verschiedenem Gewand daherkommen.
Du könntest z.B. mal prüfen, was [mm] \varepsilon^2 [/mm] und [mm] \overline{\varepsilon} [/mm] miteinander zu tun haben.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
