G/N abelsch - zyklisch < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 So 09.12.2012 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | N [mm] \unlhd [/mm] G, und G/N ist abelsch.
Gibt es dann eine abelsche Untergruppe U, s.d. G=U*N?
(Teil b) mit G/N und U zyklisch) |
Hallo! :)
Ich bräuchte diese Eigenschaft in einer Aufgabe, oder müsste ein Gegenbeispiel finden.
Leider war diese Woche die Zeit recht knapp wegen anderer Übungszettel... und ich stecke noch nicht ganz in der Aufgabe drin.
Ich würde denken, dass allein wegen der Art der Aufgabenstellung eines der beiden nicht möglich ist. ;)
Zum abelschen:
Ist N [mm] \unlhd [/mm] G, dann ist G/N abelsch [mm] \gdw [G,G]\leq [/mm] N.
Beweis dazu: Ist G/N abelsch, dann ist also
abN = (aN)(bN) = (bN)(aN) = abN [mm] \gdw [/mm] N = [mm] ab(ba)^{-1}N
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] N = [mm] aba^{-1}b^{-1}N \gdw [/mm] [a,b] [mm] \in [/mm] N.
mit a,b [mm] \in [/mm] G bel.
Ich weiß nicht genau, ob ich damit viel anfangen kann, aber weil wir in letzter Zeit viel mit den Kommutatoren gemacht haben, hatte ich mich über diese Eigenschaft gefreut.
Könnte mir vielleicht jemand nen Denkanstoß geben?
Vielen Dank und Liebe Grüße!!
Loko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 So 09.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> N [mm]\unlhd[/mm] G, und G/N ist abelsch.
> Gibt es dann eine abelsche Untergruppe U, s.d. G=U*N?
>
> (Teil b) mit G/N und U zyklisch)
Hier sollen also sowohl $G/N$ wie auch dann $U$ zyklisch sein?
> Ich bräuchte diese Eigenschaft in einer Aufgabe, oder
> müsste ein Gegenbeispiel finden.
Wie meinst du das? Brauchst du das, um etwas anderes zu beweisen? Oder ist es eine gesonderte Aufgabe?
Das wuerde ich jetzt schon gern wissen, bevor ich mehr Zeit investiere um einen Beweis oder ein Gegenbeispiel zu suchen.
> Leider war diese Woche die Zeit recht knapp wegen anderer
> Übungszettel... und ich stecke noch nicht ganz in der
> Aufgabe drin.
>
> Ich würde denken, dass allein wegen der Art der
> Aufgabenstellung eines der beiden nicht möglich ist. ;)
Dem stimme ich zu 
> Zum abelschen:
> Ist N [mm]\unlhd[/mm] G, dann ist G/N abelsch [mm]\gdw [G,G]\leq[/mm] N.
>
> Beweis dazu: Ist G/N abelsch, dann ist also
> abN = (aN)(bN) = (bN)(aN) = abN [mm]\gdw[/mm] N = [mm]ab(ba)^{-1}N[/mm]
Das zweite 'abN' soll vermutlich bnA heissen, oder?
> [mm]\gdw[/mm] N = [mm]aba^{-1}b^{-1}N \gdw[/mm] [a,b] [mm]\in[/mm] N.
> mit a,b [mm]\in[/mm] G bel.
>
> Ich weiß nicht genau, ob ich damit viel anfangen kann,
> aber weil wir in letzter Zeit viel mit den Kommutatoren
> gemacht haben, hatte ich mich über diese Eigenschaft
> gefreut.
>
> Könnte mir vielleicht jemand nen Denkanstoß geben?
Also wenn $G/N$ zyklisch ist, etwa mit Erzeugendem $g N$, dann ist $G = N [mm] \cdot \langle [/mm] g [mm] \rangle$. [/mm]
(Soviel zum Thema (b).)
Wenn du also ein Gegenbeispiel zu (a) suchst, brauchst du, dass $G/N$ nicht zyklisch ist (und somit insb. auch nicht Primzahlordnung hat). Damit fallen viele Standardgegenbeispiele schonmal weg (etwa die [mm] $S_n$, $D_n$, $Q_8$, [/mm] ...). Auch das direkte Produkt solcher Standardbeispiele bringt nichts.
Ein Gegenbeispiel zu finden ist also gar nicht so einfach.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 So 09.12.2012 | | Autor: | Loko |
Oh ja, da haben sich wieder einige Tippfehler eingeschlichen. Entschuldigung :)
Das ist eine gesonderte Aufgabe! Hab mich da ein wenig schwammig ausgedrückt..
Vielen Dank schonmal für den b-Teil-Tipp!!
Hm.. ja a) scheint dann wirklich nicht so ohne zu sein.
Ich werde auch nochmal weiter suchen.
Liebe Grüße und Danke schonmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 So 09.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Oh ja, da haben sich wieder einige Tippfehler
> eingeschlichen. Entschuldigung :)
Kein Problem :)
> Das ist eine gesonderte Aufgabe! Hab mich da ein wenig
> schwammig ausgedrückt..
>
> Vielen Dank schonmal für den b-Teil-Tipp!!
>
> Hm.. ja a) scheint dann wirklich nicht so ohne zu sein.
> Ich werde auch nochmal weiter suchen.
Viel Erfolg!
Es ist auch durchaus moeglich, dass die Aufgabe beweisbar ist. Da bei (b) auch die Untergruppe zyklisch sein muss kann durchaus sein dass beides geht.
Wenn mir noch was einfaellt, melde ich mich...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 So 09.12.2012 | | Autor: | wieschoo |
Hi ihr beide,
ich wollte mal die a) mittels ![[]](/images/popup.gif) GAP versuchen:
http://pastebin.de/31418
Für Gruppen bis Ordnung 50 läuft das Programm zur Zeit noch. Wohlmöglich ist es sehr ineffektiv geschrieben.
Für die einfachen Sachen bis Ordnung 10 hat das Programm kein U gefunden ausgespuckt. Wobei ich mir auch nicht sicher bin, ob ich da auch aufgeschrieben habe, was ich meine.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 So 09.12.2012 | | Autor: | hippias |
Die Behauptung gilt fuer nilpotente Faktorgruppen. Jedoch fuer abelsche Faktorgruppen ist sie falsch: Betrachte etwa eine nichtabelsche $p$-Gruppe. Fuer diese ist [mm] $P/\Phi(P)$ [/mm] (elementar-)abelsch, aber eine abelsches [mm] $A\leq [/mm] P$ mit $P= [mm] A\Phi(P)$ [/mm] kann es nicht geben.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:12 Mo 10.12.2012 | | Autor: | Loko |
Ich bin es doch nochmal ;)
Trotz der vielen Hilfe, ich habe immer noch keine solche p-Gruppe gefunden. Sollte also jemand zufällig fündig geworden sein, oder noch einen Hinweis haben, ich würde mich sehr freuen!
Lg Loko!
Ich hab nur noch eine Aussage zu nicht-abelschen p-Gruppen gefunden: G nicht-abelsche p-Gruppe
[mm] \Rightarrow 0\to Z(G)\to G\to G/Z(G)\to [/mm] 0 ist eine exakte sequenz, nicht semisplit.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Mi 12.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:17 Mo 10.12.2012 | | Autor: | Loko |
Ah, oder ist so ein A nicht möglich, da [mm] \Phi(G) [/mm] die nicht-Erzeuger sind, und sonst [mm] P=A*\Phi(G) [/mm] gerade von A und [mm] \Phi(G) [/mm] erzeugt wäre? Man also [mm] \Phi(G) [/mm] weglassen kann, und dann ist P aber abelsch?
Vielleicht bin ich auch nur verwirrt :D
Lg!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 So 09.12.2012 | | Autor: | hippias |
Fuer die zyklische Faktorgruppe ist die Behauptung natuerlich auch wahr.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 So 09.12.2012 | | Autor: | Loko |
Wow! Vielen, vielen Dank euch allen!
Auch für den GAP Tipp! Das kannte ich noch gar nicht :)
Ich werde mir dann mal die nicht-abelschen p-Gruppen vornehmen!
Liebe Grüße!
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