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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Mi 06.05.2009 | | Autor: | JuliaF |
| Aufgabe | Hier soll der Körper GF(81) konstruiert werden. Wir starten mit [mm] GF(9)=Z_3(teta) [/mm] mit [mm] (teta)^2=-1.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass die MEnge der Quadrate in GF(9) genau {a+bteta; a,b aus [mm] Z_3, [/mm] ab=0} ist.
b) Zeigen Sie, dass GF(81)=GF(9)(mü) mit [mm] (mü)^2 [/mm] = teta +1 ist.
c) Zeigen Sie, dass [mm] GF(81)=Z_3(mü) [/mm] ist und berechnen sie das minimalpolynom von mü über [mm] z_3. [/mm] |
Hallo!!
Also, ich habe a nun schon gelöst, aber irgendwie komme ich bei nicht weiter. Vom Prinzip her bräuchte ich doch nun ein Polynom, das über GF(9) (oder in [mm] z_3??) [/mm] irreduzibel ist und in GF(81) nicht. Oder wäre das schon Aufgabenteil c)? WEnn ja, dann weiß ich nicht so genau, wo ich bei b) starten soll, bzw. wie ich das zeigen soll.
Wäre super wenn mir jemand helfen würde!!
Viele GRüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Mi 06.05.2009 | | Autor: | JuliaF |
Das m in den Gleichungen ist mü, ging irgendwie bei der Eingabe verloren... Aber wohl auch so verständlich...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Mi 06.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hier soll der Körper GF(81) konstruiert werden. Wir starten
> mit [mm]GF(9)=Z_3(teta)[/mm] mit [mm](teta)^2=-1.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> a) Zeigen Sie, dass die MEnge der Quadrate in GF(9) genau
> {a+bteta; a,b aus [mm]Z_3,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ab=0} ist.
> b) Zeigen Sie, dass GF(81)=GF(9)(mü) mit [mm](mü)^2[/mm] = teta +1
> ist.
Der Buchstabe den du meinst schreibt sich [mm] $\mu$.
[/mm]
> c) Zeigen Sie, dass [mm]GF(81)=Z_3(mü)[/mm] ist und berechnen sie
> das minimalpolynom von mü über [mm]z_3.[/mm]
> Hallo!!
>
> Also, ich habe a nun schon gelöst, aber irgendwie komme ich
> bei nicht weiter. Vom Prinzip her bräuchte ich doch nun ein
> Polynom, das über GF(9) (oder in [mm]z_3??)[/mm] irreduzibel ist
> und in GF(81) nicht.
Du brauchst ein Polynom $f [mm] \in [/mm] GF(9)[x]$ von Grad 2, welches ueber $GF(9)$ irreduzibel ist. Dann ist $GF(81) = GF(9)[x]/(f)$.
Tipp: ein Polynom vom Typ [mm] $x^2 [/mm] - a$ ist genau dann irreduzibel ueber $K$, wenn $a$ kein Quadrat in $K$ ist.
> Oder wäre das schon Aufgabenteil c)?
Nein, c) geht noch weiter und sagt, dass das Element, was du zu $GF(9)$ adjungierst um $GF(81)$ zu erhalten, bereits $GF(81)$ erzeugt wenn du es zu [mm] $Z_3 [/mm] = GF(3)$ adjungierst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mi 06.05.2009 | | Autor: | JuliaF |
Danke schonmal für die Antwort!!
Also ich bin einfach noch nciht so in dem ganzen Kram drinne... Nun könnte ich ja dank deines Tippes und a) ein solches Polynom aufstellen. Ich habe leider gerade nciht mehr soviel Zeit, aber ich denke, dass ich das hinbekomme;)
Wenn ich das also habe sollte ja irgendwas ohne teta rauskommen oder ohne [mm] \mu. [/mm] Aber ich soll ja zeigen dass GF(81) durch die Adjunktion von [mm] \mu [/mm] entsteht und muss mich dann ja auf das [mm] \mu [/mm] in der aufgabe irgendwie beziehen... Weißt du was ich meine? Vielleicht habe ich ja auch nur ein Brett vor dem Kopf...
Viele Grüße
Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 Do 07.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Julia!
> Also ich bin einfach noch nciht so in dem ganzen Kram
> drinne... Nun könnte ich ja dank deines Tippes und a) ein
> solches Polynom aufstellen. Ich habe leider gerade nciht
> mehr soviel Zeit, aber ich denke, dass ich das
> hinbekomme;)
Ein Polynom ist [mm] $x^2 [/mm] - [mm] (\theta [/mm] + 1)$; das wird dir in der Aufgabenstellung nahegelegt, du musst aber noch zeigen dass es keine Nullstellen in $GF(9)$ hat (bzw das hast du mit (a) gemacht).
> Wenn ich das also habe sollte ja irgendwas ohne teta
> rauskommen oder ohne [mm]\mu.[/mm] Aber ich soll ja zeigen dass
> GF(81) durch die Adjunktion von [mm]\mu[/mm] entsteht und muss mich
> dann ja auf das [mm]\mu[/mm] in der aufgabe irgendwie beziehen...
Also bei b) musst du sozusagen zeigen, dass das Minimalpolynom von [mm] $\mu$ [/mm] ueber $GF(9) = [mm] \IZ_3[\theta]$ [/mm] den Grad 2 hat.
Und bei c) musst du zeigen, dass das Minimalpolynom von [mm] $\mu$ [/mm] ueber [mm] $\IZ_3$ [/mm] den Grad 4 hat. (Es gibt auch verschiedene Alternativen die du zeigen koenntest, was genau am besten passt haengt auch davon ab was ihr so hattet...)
LG Felix
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