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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Do 23.01.2014 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Sei [mm] K=\IQ(\wurzel[3]{5}).
[/mm]
Bestimmen Sie die Galoisgruppe von K über [mm] \IQ. [/mm] |
Hallo,
könnte man das in etwa so beantworten?
Minimalpolynom von [mm] \alpha=\wurzel[3]{5} [/mm] ist m(x) = [mm] x^{3}-5, [/mm] da normiert und es gilt [mm] m(\alpha)=0 [/mm] und irreduzibel nach Eisenstein mit p=5
Also [mm] G=\{id\}
[/mm]
Der Automorphismus [mm] \varphi(\wurzel[3]{5})=-\wurzel[3]{5} [/mm] kommt nicht in Frage, da dies keine Nullstelle des Minimalpolynoms ist.
Wäre das so in etwa ok?
LG,
Topologe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Do 23.01.2014 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]K=\IQ(\wurzel[3]{5}).[/mm]
> Bestimmen Sie die Galoisgruppe von K über [mm]\IQ.[/mm]
> Hallo,
>
> könnte man das in etwa so beantworten?
>
> Minimalpolynom von [mm]\alpha=\wurzel[3]{5}[/mm] ist m(x) =
> [mm]x^{3}-5,[/mm] da normiert und es gilt [mm]m(\alpha)=0[/mm] und
> irreduzibel nach Eisenstein mit p=5
>
> Also [mm]G=\{id\}[/mm]
Verstehe ich nicht: Aus der Irreduzibilitaet folgt doch nicht, dass [mm] $G=\{id\}$; [/mm] eigentlich besagt das gar nichts ueber $G$.
>
> Der Automorphismus [mm]\varphi(\wurzel[3]{5})=-\wurzel[3]{5}[/mm]
> kommt nicht in Frage, da dies keine Nullstelle des
> Minimalpolynoms ist.
Damit waere gezeigt, dass es keinen Automorphismus gibt, der [mm] $\wurzel[3]{5}$ [/mm] auf [mm] $-\wurzel[3]{5}$ [/mm] abbildet.
Richtig ist ja, das Nullstellen auf Nullstellen abgebildet werden muessen. Um das richtig anzuwenden solltest Du Dir ersteinmal ueberlegen, welche Nullstellen $m$ hat (z.B. in [mm] $\IC$). [/mm] Dann kannst Du Dein Argument anwenden.
>
> Wäre das so in etwa ok?
>
> LG,
> Topologe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Fr 24.01.2014 | | Autor: | Topologe |
Hey, danke für die Antwort!
Ok, die Nullstellen von [mm] m(x)=x^{3}-5 [/mm] sind: [mm] \wurzel[3]{5}, -i\wurzel[3]{5}, \wurzel[3]{-1}^{2}\wurzel[3]{5}.
[/mm]
Ich habe das Konzept von der Galoisgruppe so verstanden, dass der Automorphismus entweder die Identität ist oder das die Abbildung von einer Nullstelle [mm] \alpha [/mm] auf [mm] -\alpha [/mm] abgebildet werden muss. Ist dem so?
Oder werden einfach nur generell Nullstellen auf Nullstellen abgebildet?
LG,
Topologe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Sa 25.01.2014 | | Autor: | hippias |
> Hey, danke für die Antwort!
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> Ok, die Nullstellen von [mm]m(x)=x^{3}-5[/mm] sind: [mm]\wurzel[3]{5}, -i\wurzel[3]{5}, \wurzel[3]{-1}^{2}\wurzel[3]{5}.[/mm]
>
> Ich habe das Konzept von der Galoisgruppe so verstanden,
> dass der Automorphismus entweder die Identität ist oder
> das die Abbildung von einer Nullstelle [mm]\alpha[/mm] auf [mm]-\alpha[/mm]
> abgebildet werden muss. Ist dem so?
> Oder werden einfach nur generell Nullstellen auf
> Nullstellen abgebildet?
Mache Dir klar: Sei $E/K$ eine Koerpererweiterung und [mm] $\alpha\in [/mm] E$. Ist $f$ eine Polynom ueber $K$ mit [mm] $f(\alpha)=0$ [/mm] und [mm] $\sigma$ [/mm] ein $K$-Automorphismus von $E$, so gilt auch [mm] $f(\alpha^{\sigma})=0$. [/mm]
>
> LG,
> Topologe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 So 26.01.2014 | | Autor: | Topologe |
Hm,
also wäre der Automorphismus folgender?
Alle Elemente des Körpers [mm] \IQ [/mm] werden festgehalten. Und die Nullstellen des Polynoms [mm] x^{3}-5 [/mm] permutieren. Also 3! verschiedene Automorphismen?
LG,
Topologe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 So 26.01.2014 | | Autor: | hippias |
> Hm,
>
> also wäre der Automorphismus folgender?
Diese Frage verstehe ich nicht.
>
> Alle Elemente des Körpers [mm]\IQ[/mm] werden festgehalten. Und die
> Nullstellen des Polynoms [mm]x^{3}-5[/mm] permutieren.
Ja, das ist es im wesentlichen was ein solcher Koerperautomorphismus macht.
> Also 3!
> verschiedene Automorphismen?
Nein, nicht jede Permutation induziert einen Koerperautomorphismus. Warum ist z.B. die Abbildung mit [mm] $\sqrt[3]{5}\mapsto \zeta \sqrt[3]{5}$ ($\zeta$ [/mm] $3$-te Einheitswurzel) kein Automorphismus von [mm] $\IQ[\sqrt[3]{5}]$?
[/mm]
>
> LG,
> Topologe
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