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| Aufgabe | Sei L der Zerfällungskörper von [mm] f(x)=x^{3}-5 [/mm] über [mm] \IQ.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass es über [mm] \IQ [/mm] algebraische Elemente [mm] \alpha,\beta \in [/mm] L gibt, so dass [mm] L=\IQ(\Alpha,\beta) [/mm] gilt und berechnen Sie damit [mm] [L:\IQ]
[/mm]
b) Bestimmen Sie die Galoisgruppe von L über [mm] \IQ [/mm] |
Hallo,
zu a)
Nullstellen von f(x) sind [mm] \wurzel[3]{5}, \zeta\wurzel[3]{5}, \zeta^{2}\wurzel[3]{5}, [/mm] mit [mm] \zeta:=-\bruch{1+i\wurzel{3}}{2}.
[/mm]
Algebraische Elemente über [mm] \IQ [/mm] wären [mm] \alpha [/mm] = [mm] \zeta [/mm] , sowie [mm] \beta [/mm] = [mm] \wurzel[3]{5}, [/mm] also L = [mm] \IQ(\zeta,\wurzel[3]{5}). [/mm]
[mm] [L:\IQ]=[L:\IQ(\wurzel[3]{5})]*[\IQ(\wurzel[3]{5}):\IQ]=2*3=6
[/mm]
zu b)
Nun wird es in der Musterlösung ein wenig merkwürdig:
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \zeta [/mm] , [mm] \beta [/mm] = [mm] \wurzel[3]{5}
[/mm]
Wir erhalten 6 Automorphismen:
[mm] \varphi_{1}: [/mm]
1 [mm] \longmapsto [/mm] 1
[mm] \alpha \longmapsto \alpha [/mm]
[mm] \beta \longmapsto \beta [/mm]
[mm] \varphi_{2}:
[/mm]
1 [mm] \longmapsto [/mm] 1
[mm] \alpha \longmapsto \alpha [/mm]
[mm] \beta \longmapsto \alpha\beta
[/mm]
[mm] \varphi_{3}:
[/mm]
1 [mm] \longmapsto [/mm] 1
[mm] \alpha \longmapsto \alpha
[/mm]
[mm] \beta \longmapsto \alpha^{2}\beta [/mm]
[mm] \varphi_{4}:
[/mm]
1 [mm] \longmapsto [/mm] 1
[mm] \alpha \longmapsto \alpha^{2}
[/mm]
[mm] \beta \longmapsto \beta
[/mm]
[mm] \varphi_{5}:
[/mm]
1 [mm] \longmapsto [/mm] 1
[mm] \alpha \longmapsto \alpha^{2}
[/mm]
[mm] \beta \longmapsto \alpha\beta
[/mm]
[mm] \varphi_{6}:
[/mm]
1 [mm] \longmapsto [/mm] 1
[mm] \alpha \longmapsto \alpha^{2}
[/mm]
[mm] \beta \longmapsto \alpha^{2}\beta
[/mm]
Die Frage ist: Wo kommt denn z.B. die 1 auf einmal her?
Würde mich über Hilfe freuen 
LG
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Hallo,
> Sei L der Zerfällungskörper von [mm]f(x)=x^{3}-5[/mm] über [mm]\IQ.[/mm]
> a) Zeigen Sie, dass es über [mm]\IQ[/mm] algebraische Elemente
> [mm]\alpha,\beta \in[/mm] L gibt, so dass [mm]L=\IQ(\Alpha,\beta)[/mm] gilt
> und berechnen Sie damit [mm][L:\IQ][/mm]
>
> b) Bestimmen Sie die Galoisgruppe von L über [mm]\IQ[/mm]
> Hallo,
>
> zu a)
>
> Nullstellen von f(x) sind [mm]\wurzel[3]{5}, \zeta\wurzel[3]{5}, \zeta^{2}\wurzel[3]{5},[/mm]
> mit [mm]\zeta:=-\bruch{1+i\wurzel{3}}{2}.[/mm]
> Algebraische Elemente über [mm]\IQ[/mm] wären [mm]\alpha[/mm] = [mm]\zeta[/mm] ,
> sowie [mm]\beta[/mm] = [mm]\wurzel[3]{5},[/mm] also L =
> [mm]\IQ(\zeta,\wurzel[3]{5}).[/mm]
> [mm][L:\IQ]=[L:\IQ(\wurzel[3]{5})]*[\IQ(\wurzel[3]{5}):\IQ]=2*3=6[/mm]
>
keine Einwände nur ein kleiner Tipp: [mm] $\zeta =e^\frac{2\pi i}{3}$ [/mm] ist meist die nützlichere Schreibweise. Damit sieht man mMn Inverse besser und auch die Struktur der Menge der Einheitswurzeln.
> zu b)
>
> Nun wird es in der Musterlösung ein wenig merkwürdig:
>
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\zeta[/mm] , [mm]\beta[/mm] = [mm]\wurzel[3]{5}[/mm]
>
> Wir erhalten 6 Automorphismen:
>
> [mm]\varphi_{1}:[/mm]
> 1 [mm]\longmapsto[/mm] 1
> [mm]\alpha \longmapsto \alpha[/mm]
> [mm]\beta \longmapsto \beta[/mm]
>
> [mm]\varphi_{2}:[/mm]
> 1 [mm]\longmapsto[/mm] 1
> [mm]\alpha \longmapsto \alpha[/mm]
> [mm]\beta \longmapsto \alpha\beta[/mm]
>
> [mm]\varphi_{3}:[/mm]
> 1 [mm]\longmapsto[/mm] 1
> [mm]\alpha \longmapsto \alpha[/mm]
> [mm]\beta \longmapsto \alpha^{2}\beta[/mm]
>
> [mm]\varphi_{4}:[/mm]
> 1 [mm]\longmapsto[/mm] 1
> [mm]\alpha \longmapsto \alpha^{2}[/mm]
> [mm]\beta \longmapsto \beta[/mm]
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> [mm]\varphi_{5}:[/mm]
> 1 [mm]\longmapsto[/mm] 1
> [mm]\alpha \longmapsto \alpha^{2}[/mm]
> [mm]\beta \longmapsto \alpha\beta[/mm]
>
> [mm]\varphi_{6}:[/mm]
> 1 [mm]\longmapsto[/mm] 1
> [mm]\alpha \longmapsto \alpha^{2}[/mm]
> [mm]\beta \longmapsto \alpha^{2}\beta[/mm]
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> Die Frage ist: Wo kommt denn z.B. die 1 auf einmal her?
>
Die 1 ist nur dazu da aufzuzeigen, dass der Automorphismus [mm] $\mathbb [/mm] Q$ fix lässt.
> Würde mich über Hilfe freuen
>
> LG
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