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| Aufgabe | | Bestimme die Galoisgruppe von [mm] f(x)=x^5-2x^3-3x^2+5 [/mm] |
Hallo zusammen, ich bräuchte nochmal ein scharfes Auge für diese Aufgabe. Ich schreibe mal auf was ich habe:
[mm] f(x)=(x^3-3)(x^2-2)
[/mm]
Nullstellen von [mm] g_1(x)=x^3-3 [/mm] sind [mm] \{\wurzel[3]{3}, \omega\wurzel[3]{3},\omega^2\wurzel[3]{3}\} [/mm] mit [mm] \omega=e^{\bruch{2i\pi}{3}}
[/mm]
Nullstellen von [mm] g_2(x)=x^2-2 [/mm] sind [mm] \{\wurzel{2}, -\wurzel{2}\}
[/mm]
Zerfällungskörper von f ist also [mm] L=\IQ(\wurzel[3]{3}, \omega\wurzel[3]{3},\omega^2\wurzel[3]{3},\wurzel{2}, -\wurzel{2})
[/mm]
und man kann zeigen, dass [mm] L=\IQ(\omega, \wurzel[3]{3}, \wurzel{2})
[/mm]
Dann habe ich folgene Körpererweiterungen betrachtet:
(i) [mm] \IQ\subset\IQ(\wurzel[3]{3})\subset\IQ(\wurzel[3]{3}, \omega)
[/mm]
(ii) [mm] \IQ\subset\IQ(\wurzel[3]{3}, \omega)\subset\IQ(\wurzel[3]{3}, \omega, \wurzel{2})
[/mm]
Mit dem Gradsatz und Minimalpolynomen erhält man:
zu (i) [mm] [\IQ(\omega, \wurzel[3]{3} ):\IQ]=2*3=6
[/mm]
zu (ii) [mm] [L:\IQ]=6*2=12
[/mm]
soweit richtig?
Dann habe ich mich folgendes gefragt:
Da ich problemlos die Galoisgruppen [mm] Gal(g_1) [/mm] und [mm] Gal(g_2) [/mm] bestimmen kann, gilt dann immer das hier?
(1) [mm] Gal(g_1)
(2) [mm] Gal(g_1)\cup\Gal(g_2)=Gal(f) [/mm]
Die Galoisgruppen [mm] Gal(g_1) [/mm] und [mm] Gal(g_2) [/mm] sind nämlich:
[mm] Gal(g_1)=\{Id, \sigma, \simga^2, \sigma^3, \tau, \sigma\tau, \sigma^2\tau, \sigma^3\tau\} [/mm] mit [mm] \sigma=(\wurzel[3]{3}, \omega\wurzel[3]{3}, \omega^2\wurzel[3]{3}) [/mm] und [mm] \tau=komplexe [/mm] Konjugation
[mm] Gal(g_2)=\{Id, \phi\} [/mm] mit [mm] \phi=(\wurzel{2}, -\wurzel{2})
[/mm]
Demnach wäre [mm] Gal(f)=Gal(g_1)\cup Gal(g_2)=\{Id, \phi, \sigma, \tau, \simga^2, \sigma^3, \sigma\tau, \sigma^2\tau, \sigma^3\tau, \phi\sigma, \phi\sigma^2, \phi\sigma^3\}
[/mm]
Kann man so vorgehen? Oder sollte man die Galoisgruppen reduziblen Faktoren von f besser nicht getrennt betrachten, sondern zusammen?
Mfg, kulli
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Hallo
> Bestimme die Galoisgruppe von [mm]f(x)=x^5-2x^3-3x^2+5[/mm]
> Hallo zusammen, ich bräuchte nochmal ein scharfes Auge
> für diese Aufgabe. Ich schreibe mal auf was ich habe:
>
> [mm]f(x)=(x^3-3)(x^2-2)[/mm]
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> Nullstellen von [mm]g_1(x)=x^3-3[/mm] sind [mm]\{\wurzel[3]{3}, \omega\wurzel[3]{3},\omega^2\wurzel[3]{3}\}[/mm]
> mit [mm]\omega=e^{\bruch{2i\pi}{3}}[/mm]
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> Nullstellen von [mm]g_2(x)=x^2-2[/mm] sind [mm]\{\wurzel{2}, -\wurzel{2}\}[/mm]
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> Zerfällungskörper von f ist also [mm]L=\IQ(\wurzel[3]{3}, \omega\wurzel[3]{3},\omega^2\wurzel[3]{3},\wurzel{2}, -\wurzel{2})[/mm]
>
> und man kann zeigen, dass [mm]L=\IQ(\omega, \wurzel[3]{3}, \wurzel{2})[/mm]
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> Dann habe ich folgene Körpererweiterungen betrachtet:
>
> (i) [mm]\IQ\subset\IQ(\wurzel[3]{3})\subset\IQ(\wurzel[3]{3}, \omega)[/mm]
>
> (ii) [mm]\IQ\subset\IQ(\wurzel[3]{3}, \omega)\subset\IQ(\wurzel[3]{3}, \omega, \wurzel{2})[/mm]
>
> Mit dem Gradsatz und Minimalpolynomen erhält man:
>
> zu (i) [mm][\IQ(\omega, \wurzel[3]{3} ):\IQ]=2*3=6[/mm]
>
> zu (ii) [mm][L:\IQ]=6*2=12[/mm]
>
> soweit richtig?
>
Das sieht gut aus
>
>
> Dann habe ich mich folgendes gefragt:
>
> Da ich problemlos die Galoisgruppen [mm]Gal(g_1)[/mm] und [mm]Gal(g_2)[/mm]
> bestimmen kann, gilt dann immer das hier?
>
> (1) [mm]Gal(g_1)
> Untergruppe)
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> (2) [mm]Gal(g_1)\cup\Gal(g_2)=Gal(f)[/mm]
>
>
(1) habe ich mich vor kurzem auch gefragt https://matheraum.de/read?i=945761 und eine gute Antwort erhalten. Hinterher ist mir da aufgefallen, dass ich das im Skript noch nach dem Hauptsatz der Galoistheorie auch so in der Art als Bemerkung habe, vll. habt ihr auch sowas in der Art gemacht?
Lg
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> Hallo
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> > Bestimme die Galoisgruppe von [mm]f(x)=x^5-2x^3-3x^2+5[/mm]
> > Hallo zusammen, ich bräuchte nochmal ein scharfes Auge
> > für diese Aufgabe. Ich schreibe mal auf was ich habe:
> >
> > [mm]f(x)=(x^3-3)(x^2-2)[/mm]
> >
> > Nullstellen von [mm]g_1(x)=x^3-3[/mm] sind [mm]\{\wurzel[3]{3}, \omega\wurzel[3]{3},\omega^2\wurzel[3]{3}\}[/mm]
> > mit [mm]\omega=e^{\bruch{2i\pi}{3}}[/mm]
> >
> > Nullstellen von [mm]g_2(x)=x^2-2[/mm] sind [mm]\{\wurzel{2}, -\wurzel{2}\}[/mm]
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> > Zerfällungskörper von f ist also [mm]L=\IQ(\wurzel[3]{3}, \omega\wurzel[3]{3},\omega^2\wurzel[3]{3},\wurzel{2}, -\wurzel{2})[/mm]
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> >
> > und man kann zeigen, dass [mm]L=\IQ(\omega, \wurzel[3]{3}, \wurzel{2})[/mm]
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> >
> > Dann habe ich folgene Körpererweiterungen betrachtet:
> >
> > (i) [mm]\IQ\subset\IQ(\wurzel[3]{3})\subset\IQ(\wurzel[3]{3}, \omega)[/mm]
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> >
> > (ii) [mm]\IQ\subset\IQ(\wurzel[3]{3}, \omega)\subset\IQ(\wurzel[3]{3}, \omega, \wurzel{2})[/mm]
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> >
> > Mit dem Gradsatz und Minimalpolynomen erhält man:
> >
> > zu (i) [mm][\IQ(\omega, \wurzel[3]{3} ):\IQ]=2*3=6[/mm]
> >
> > zu (ii) [mm][L:\IQ]=6*2=12[/mm]
> >
> > soweit richtig?
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>
> Das sieht gut aus
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> >
> > Dann habe ich mich folgendes gefragt:
> >
> > Da ich problemlos die Galoisgruppen [mm]Gal(g_1)[/mm] und [mm]Gal(g_2)[/mm]
> > bestimmen kann, gilt dann immer das hier?
> >
> > (1) [mm]Gal(g_1)
> > Untergruppe)
> >
> > (2) [mm]Gal(g_1)\cup\Gal(g_2)=Gal(f)[/mm]
> >
> >
> (1) habe ich mich vor kurzem auch gefragt
> https://matheraum.de/read?i=945761 und eine gute Antwort
> erhalten. Hinterher ist mir da aufgefallen, dass ich das im
> Skript noch nach dem Hauptsatz der Galoistheorie auch so in
> der Art als Bemerkung habe, vll. habt ihr auch sowas in der
> Art gemacht?
> Lg
Hi, danke für den Link. Nach dem Hauptsatz kam nur noch das Thema Radikalerweiterungen.
Also nach dem was dort steht, ist (2) also nicht unbedingt erfüllt. Aber da man hier z.B. noch den Grad von L kennt, kann man auf jedenfall nur mithilfe der beiden Untergruppen Gal(f) bestimmen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 05.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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