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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Mo 05.10.2009 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Ist [mm] \IR [/mm] über [mm] \IQ [/mm] algebraisch oder transzendent?
Begründen Sie! |
Diese Erweiterung ist, nach wikipedia, transzendent, aber ich weiß nicht wie ich das beweisen kann.
Es ist keine endliche erweiterung, das spricht schon mal gegen algebraisch, aber das reicht ja nicht.
vielleicht kann mir jemand helfen.
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Hallo jumape,
> Ist [mm]\IR[/mm] über [mm]\IQ[/mm] algebraisch oder transzendent?
> Begründen Sie!
> Diese Erweiterung ist, nach wikipedia, transzendent, aber
> ich weiß nicht wie ich das beweisen kann.
>
> Es ist keine endliche erweiterung, das spricht schon mal
> gegen algebraisch, aber das reicht ja nicht.
> vielleicht kann mir jemand helfen.
Nun, wenn die Erweiterung algebraisch wäre, so wäre jedes [mm] $r\in\IR$ [/mm] Nullstelle eines Polynoms über [mm] $\IQ$
[/mm]
Nun sind aber zB. [mm] $r=\pi$ [/mm] oder $r=e$ nicht Nullstellen eines Polynoms über [mm] $\IQ$, [/mm] es sind also transzendente Zahlen.
Damit kann die Erweiterung [mm] $\IR/\IQ$ [/mm] nicht algebraisch sein.
Der Beweis der Transzendenz von [mm] $\pi$ [/mm] oder $e$ ist aber - soweit ich das dunkel weiß - nicht so einfach.
Dazu auf die Schnelle ![[]](/images/popup.gif) dieser Link
Aber vllt. reicht ja schon die Erwähnung (eines) der beiden Gegenbeispiele ...
Ich stelle die Frage aber mal auf teilweise beantwortet, vllt. finden sich noch Experten, die Genaueres sagen können ..
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Mo 05.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ist [mm]\IR[/mm] über [mm]\IQ[/mm] algebraisch oder transzendent?
> Begründen Sie!
> Diese Erweiterung ist, nach wikipedia, transzendent, aber
> ich weiß nicht wie ich das beweisen kann.
Alternativ zur Begruendung von schachuzipus kann man auch ueber Maechtigkeiten argumentieren.
Die Menge [mm] $\IQ$ [/mm] ist abzaehlbar, die Menge [mm] $\IR$ [/mm] nicht (Cantorsches Diagonalargument).
Sei nun $X$ die Menge der Elemente aus [mm] $\IR$, [/mm] die algebraisch ueber [mm] $\IQ$ [/mm] sind. Ziel ist zu zeigen, dass $X$ ebenfalls abzaehlbar ist: daraus folgt, dass [mm] $\IR$ [/mm] Elemente enthaelt, die nicht algebraisch ueber [mm] $\IQ$ [/mm] sind (was ja gezeigt werden soll).
Sei jetzt [mm] $P_n$ [/mm] die Menge der normierten Polynome von Grad $n$, und [mm] $P_n^{irr} \subseteq P_n$ [/mm] die Teilmenge der irreduziblen Polynome. Zu jedem Element aus [mm] $P_n^{irr}$ [/mm] gehoeren genau $n$ Elemente aus $X$, und zu jedem Element [mm] $\alpha \in [/mm] X$ gibt es ein $n$ und ein $p [mm] \in P_n^{irr}$ [/mm] mit [mm] $p(\alpha) [/mm] = 0$.
Es gibt also eine Bijektion (oder zumindest eine surjektive Abbildung, mehr braucht man nicht) [mm] $\bigcup_{n \in \IN} (P_n^{irr} \times \{ 1, \dots, n \}) \to [/mm] X$.
Nun ist [mm] $P_n^{irr} \subseteq P_n$, [/mm] und [mm] $P_n$ [/mm] ist als Menge gleichmaechtig wie [mm] $\IQ^n$, [/mm] also abzaehlbar. Damit ist ebenfalls [mm] $P_n^{irr}$ [/mm] abzaehlbar. Nun ist [mm] $P_n^{irr} \times \{ 1, \dots, n \}$ [/mm] ebenfalls abzaehlbar, da [mm] $\{1, \dots, n \}$ [/mm] abzaehlbar (sogar endlich) ist. (Dies zeigt man aehnlich wie das [mm] $\IQ$ [/mm] abzaehlbar ist.)
Damit ist [mm] $P_n^{irr} \times \{ 1, \dots, n \}$ [/mm] abzaehlbar fuer jedes $n [mm] \in \IN$. [/mm] Nun sind abzaehlbare Vereinigungen abzaehlbarer Mengen ebenfalls wieder abzaehlbar (das zeigt man ebenfalls so, wie man zeigt, dass [mm] $\IQ$ [/mm] abzaehlbar ist), womit [mm] $\bigcup_{n\in\IN} (P_n^{irr} \times \{ 1, \dots, n \}$ [/mm] und somit auch $X$ abzaehlbar ist.
(Nebenbei: Genauso zeigt man, dass der algebraische Abschluss eines endlichen Koerpers ebenfalls abzaehlbar ist. Und mit einem kleinen weiteren Argument bekommt man heraus, dass er abzaehlbar unendlich gross ist -- also gleichmaechtig wie [mm] $\overline{\IQ}$ [/mm] oder $X$.)
> Es ist keine endliche erweiterung, das spricht schon mal
> gegen algebraisch, aber das reicht ja nicht.
Der algebraische Abschluss [mm] $\overline{\IQ}$ [/mm] von [mm] $\IQ$ [/mm] ist ebenfalls eine unendliche Erweiterung, allerdings eine algebraische. Nur die Endlichkeit als Argument reicht also definitiv nicht :)
LG Felix
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