Ganzrationale Funkt. < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben eine Ganzrationale Funktion f dritten Grades mit H (Hochpunkt) (2;0) und Wendepunkt W(0;-3)
Im 3. Quadranten wird ein Dreieck so einbeschrieben, daß eine Seite die Gleichung y=-3 hat, die zweite Seite parallel zur Y-Achse verläuft u. die dritte Seite den Schnittpunkt der 2. Seite mit dem Graphen u. den Wendepunkt miteinander verbindet.
Bei welchem x-Wert muß die 2. Dreiecksseite liegen, wenn der Flächeinhalt des Dreiecks maximal werden soll ? |
Hallo,
hab keinen schimmer wie ich bei der Lösung vergehen soll ?
Gut y=-3 ist einegerade Parallel zur X-Achse, die 2. beliebig Parallel zur Y
die 3. irgenetwas ????
Grüße
masaat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 So 16.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo masaat!
Lass das Dreieck doch erst einmal außen vor ... hast Du denn zunächst die Funktionsvorschrift für diese ganzrationale Funktion 3. Grades $f(x) \ = \ [mm] a*x^3+b*x^2+c*x+d$ [/mm] bestimmt?
Dafür die vorgegebenen Eigenschaften (wie z.B. Funktionswerte oder Angabe über Hoch- bzw. Wendepunkt) verarbeiten und in die Funktionsvorschrift bzw. entsprechenden Ableitungen einsetzen.
Gruß
Loddar
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Hallo,
1.Punkt wäre f(0)=-3 daraus folgt d=-3
2.Wendepunkt f´´(0)=0 daraus folgt b=0
3.Extremwert f´(2)=0 daraus folgt 6a+c
so ab hier weiss ich nicht mehr weiter, nur bei H ist ja noch der Y -Wert 0 abrer wo einsetzen u. wie weiter...
H(2;0) und W(0;-3)
P.s.:Schade das bei der Skizze die Funky Formel nicht sichtbar ist...
Gruß und Dank,
masaat
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Hallo nochmal,
a wäre dann 1 1/8 und c= 2 1/4 kann das sein ?
Grüße
masaat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 So 16.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo masaat!
Da habe ich andere Ergebnisse ... Du kannst das doch selber schnell ausprobieren, indem Du diese Funktionsvorschrift in FunkyPlot eingibst.
Kontrollergebnis (bitte nachrechnen, da ohne Gewähr  ) : $f(x) \ = \ [mm] -\bruch{3}{16}*x^3+\bruch{9}{4}*x-3 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{3}{16}*\left(x^3-12x+16\right)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Wie ist denn n un der Rechenweg für a oder c? Ich komme allein einfach nicht darauf
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Hallo,
gesucht wird eine ganzrationale Funktion f dritten Grades mit H (Hochpunkt) (2;0) und Wendepunkt W(0;-3).
Wir brauchen also die a,b,c,d in
[mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d.
[/mm]
Die Informationen, die wir haben, liefern
f(2)=0
f'(2)=0
f(0)=3
f''(0)=0.
Daraus bekommt man ein lineares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Variablen, welches zu lösen ist.
Falls Du Probleme hast, rechne vor und zeige, wie weit Du gekommen bist.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:06 Mo 17.04.2006 | | Autor: | masaat234 |
-3/16 und 9/4....
Ist besser ich gehe schl....
Gute Nacht
masaat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 So 16.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo masaat!
Hier mal eine Skizze, so wie ich die Aufgabenstellung verstanden habe.
Der schraffierte Bereich ist dann das zu maximierende Dreieck:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 So 16.04.2006 | | Autor: | masaat234 |
Hallo,
offensichtlich laufen die 2 variablen Seiten auf den Punkt Y=4,5 zu
Sicher 2 Dreieckseiten (Katheten) dürfen höchstens zusammen so lang sein wie die Hypothenuse...
Vielleicht muss man irgendetwas gleichsetzten, aber was, wie ?
Grüße
masaat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:00 So 16.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo masaat!
Die vertikale Gerade bei $x \ = \ -3$ ist völlig beliebig meinerseits gewählt worden, das ergibt dann die gesuchte Variable $x_$. Damit ist auch der zugehörige Funktionswert bei [mm] $\approx [/mm] \ 4.6$ nicht fest vorgegeben, sondern ist aus $x \ = \ -3$ heraus entstanden.
Um nun den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieckes bestimmen zu können, benötigen wir die Länge der beiden Katheten:
[mm] $A_{\text{rechtwinkliges Dreieck}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] \ [mm] \times [/mm] \ [mm] \text{Kathete 1} [/mm] \ [mm] \times [/mm] \ [mm] \text{Kathete 2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 So 16.04.2006 | | Autor: | masaat234 |
grübel´n...
Notfalls...
Grüße
masaat
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:59 Di 18.04.2006 | | Autor: | masaat234 |
| Aufgabe | Gegeben eine Ganzrationale Funktion f dritten Grades mit H (Hochpunkt) (2;0) und Wendepunkt W(0;-3)
Funktionsterm ist [mm] f(x)=-\bruch{3}{16}(x³-12x+16) [/mm]
Im 3. Quadranten wird ein Dreieck so einbeschrieben, daß eine Seite die Gleichung y=-3 hat, die zweite Seite parallel zur Y-Achse verläuft u. die dritte Seite den Schnittpunkt der 2. Seite mit dem Graphen u. den Wendepunkt miteinander verbindet.
Bei welchem x-Wert muß die 2. Dreiecksseite liegen, wenn der Flächeinhalt des Dreiecks maximal werden soll ? |
Hallo ,
beliebige Dreeickseite -3 gewählt, das kann doch nicht Ziel dieser Aufgabenstellung sein oder geht die Lösungsfindung etwa nur über diesen Weg, diesbezüglich sind mir Deine Erläuterungen unklar.
Denn eine solche vorgehensweise ist mir noch nicht bekannt..
Verstehe noch nicht was Du gemeint hast ....
Oder hat jemand eine Idee wie man die Lösung angehen sollte, muss...
Grüße
masaat
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Di 18.04.2006 | | Autor: | masaat234 |
Hallo,
hab fehlenden Funktionsterm noch in Frage eingefügt
Grüße
masaat
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Di 18.04.2006 | | Autor: | masaat234 |
der Funktionsterm siehe Aufgabenteil
Grüße
masaat
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Di 18.04.2006 | | Autor: | masaat234 |
Hallo,
hab eine Schreibfehler beim Funktionsterm
hab ihn korrigiert
Grüße
masaat
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Di 18.04.2006 | | Autor: | masaat234 |
Jetzt ist alles richtig angegen
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| Aufgabe | Gegeben eine Ganzrationale Funktion f dritten Grades mit H (Hochpunkt) (2;0) und Wendepunkt W(0;-3)
Funktionsterm ist [mm] f(x)=-\bruch{3}{16}(x³-12x+16) [/mm]
Im 3. Quadranten wird ein Dreieck so einbeschrieben, daß eine Seite die Gleichung y=-3 hat, die zweite Seite parallel zur Y-Achse verläuft u. die dritte Seite den Schnittpunkt der 2. Seite mit dem Graphen u. den Wendepunkt miteinander verbindet.
Bei welchem x-Wert muß die 2. Dreiecksseite liegen, wenn der Flächeinhalt des Dreiecks maximal werden soll ? |
Denn eine solche vorgehensweise ist mir noch nicht bekannt..
Verstehe noch nicht was Du gemeint hast ...
Kathete 1 Orange
Kathete 2 grün
Hypothenuse blau
[mm] f(x_{s1})=(-3) [/mm] Schnittpunkt Katheten (Senkrechte)
[mm] f(x_{s0})=? [/mm] Schnittpunkt mit der Parabel 3.Dreiecksseite
ist gleich das Dreieck
[mm] f(x_{s1})²+f(x_{(s0)-3})²=Hypothenuse² [/mm] / [mm] -f(x_{(s0)-3})
[/mm]
[mm] f(x_{s1})²=Hypothenuse²-f(x_{(s0)-3})² [/mm] ist gesuchte Seite x
[mm] f(x_{(s0)-3})²=Hypothenuse²-f(x_{s1})² [/mm] andere Kathete dann wäre
[mm] \bruch{Hypothenuse²-f(x_{(s0)-3})²*Hypothenuse²-f(x_{s1})²}{2}
[/mm]
das gesuchte Dreieck...
Schön anzusehen aber schlauer, der Lösung näher bin ich jetzt auch nicht.
Irgendjemand muss doch den Lösungsweg kennen....
Herrrlich süße Formelei.......
Bis jetzt ist es noch nicht gelöst, zumindest verstehe ich nur noch Bahnhof.
Grüße
masaat
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Di 18.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo masaat!
Du brauchst die Hyptenuse doch gar nicht ...
[mm] $A_{\text{rechwinkliges Dreieck}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] \ [mm] \times [/mm] \ [mm] \text{Kathete 1 (orange)} [/mm] \ [mm] \times [/mm] \ [mm] \text{Kathete 2 (grün)}$
[/mm]
Sei $u_$ der gesuchte x-Wert, für welches das Dreieck extremal werden soll (das, was in meiner Skizze mit $x \ = \ -3$ dargestellt ist):
[mm] $\text{Kathete 1 (orange)} [/mm] \ = \ u-0 \ = \ u$
[mm] $\text{Kathete 2 (grün)} [/mm] \ = \ f(u)-(-3) \ = \ f(u)+3 \ = \ [mm] -\bruch{3}{16}\left(u^3-12u+16\right)+3 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{3}{16}u^3+\bruch{9}{4}u$
[/mm]
Dies nun einsetzen in die o.g. Flächenformel:
$A(u) \ = \ ...$
Und für diese Funktion $A(u)_$ ist nun eine Extremwertberechnung nach $u_$ durchzuführen (also Nullstellen der 1. Ableitung usw.) ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Di 18.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo masaat!
Zur Kontrolle ... ich habe erhalten: [mm] $u_E [/mm] \ = \ [mm] -\wurzel{6}$ [/mm] und damit [mm] $A_{\max} [/mm] \ = \ [mm] A(u_E) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{27}{4}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Di 18.04.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> Gegeben eine Ganzrationale Funktion f dritten Grades mit H
> (Hochpunkt) (2;0) und Wendepunkt W(0;-3)
>
> Funktionsterm ist [mm]f(x)=-3\bruch{3}{16}(x³-12x+16)[/mm]
Es wäre nicht schlecht, wenn der da richtig stehen würde
Denn dieser hieß:
$ f(x)= [mm] -\bruch{3}{16}\cdot{}\left(x^3-12x+16\right) [/mm] $
> Im 3. Quadranten wird ein Dreieck so einbeschrieben, daß
> eine Seite die Gleichung y=-3 hat, die zweite Seite
> parallel zur Y-Achse verläuft u. die dritte Seite den
> Schnittpunkt der 2. Seite mit dem Graphen u. den Wendepunkt
> miteinander verbindet.
>
> Bei welchem x-Wert muß die 2. Dreiecksseite liegen, wenn
> der Flächeinhalt des Dreiecks maximal werden soll ?
Nach dem Thread: MR fühle ich mich irgendwie ein wenig verantwortlich, aber ich kann gerne mal drauf losraten, wenn du das möchtest. Evtl. stimmt es ja
>
> Hallo Loddar,
Evtl. antwortet niemand auf deine Frage, weil du Loddar direkt ansprichst... oder der Fragethread schon zu lang ist.
>
> beliebige Dreeickseite -3 gewählt, das kann doch nicht Ziel
> dieser Aufgabenstellung sein oder geht die Lösungsfindung
> etwa nur über diesen Weg, diesbezüglich sind mir Deine
> Erläuterungen unklar.
x=-3 ist wahrscheinlich auch nicht die Lösung, sondern dient lediglich nur als Anschauung für eine Skizze, die bei Extremwertproblemen immer hilfreich ist.
>
>
> Denn eine solche vorgehensweise ist mir noch nicht
> bekannt..
>
> Verstehe noch nicht was Du gemeint hast ....
>
> Oder hat jemand eine Idee wie man die Lösung angehen
> sollte, muss...
Meine Idee wäre folgende:
$A = 0.5 [mm] Kathete_1* Kathete_2 [/mm] $
Guck dir bitte zu dieser Antwort Loddars Skizze an, an der versuche ich mal mein Glück.
[mm] Kathete_1 [/mm] ist ein Teil des Orangen, [mm] Kathete_2 [/mm] ein Teil von dem grünen.
Für [mm] Kathete_1 [/mm] gilt Y-Achse bis zum entsprechenden x = -3 (in diesem Fall) Daraus ergibt sich für [mm] Kathete_1 [/mm] = | -3 |
Betrag daher, da man eigentlich nicht mit -3 rechnet.
[mm] Kathete_2 [/mm] ist nach der Skizze der Teil von der Y-Achse bis zur 'unbekannten' Gerade x. Oder sagen wir lieber [mm] x=x_0 [/mm] (der grüne senkrechte Strich. Nur ist nun das Problem, dass dieses x nicht unendlich lang ist... sondern nur ein Teil zwischen y=-3 und dem Schnittpunkt x=f(x), für die X-Koordinate ergibt sich [mm] f(x_0). [/mm] Dadurch ergibt sich ein Y-Wert, von dem wir noch -3 abziehen müssen. Weil du sonst eben nicht die Kathete grün, begrenzt von orange, rot bzw. blau hast.
[mm] Kathete_2 [/mm] = [mm] f(x_0)-(-3)
[/mm]
Dann müsste sich ergeben, nach meiner Überlegung
A = [mm] 0.5*(x_0)*|(f(x_0)+3)|
[/mm]
Wahrscheinlich funktioniert das gar nicht, dann würde ich den Betrag mal weglassen... Habe es nicht durchgerechnet... aber da du mich so nett gefragt hast
> Grüße
>
> masaat
>
>
LG
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Di 18.04.2006 | | Autor: | masaat234 |
aber bisher keine Lösung der Aufgabe....
brererhrh
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 Di 18.04.2006 | | Autor: | masaat234 |
ein paar 100 Mitteilungen hintendranhängen, das wär was...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Di 18.04.2006 | | Autor: | masaat234 |
Ruhe in Frieden
masaat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 Mo 17.04.2006 | | Autor: | masaat234 |
| Aufgabe | Gegeben eine Ganzrationale Funktion f dritten Grades mit H (Hochpunkt) (2;0) und Wendepunkt W(0;-3)
Im 3. Quadranten wird ein Dreieck so einbeschrieben, daß eine Seite die Gleichung y=-3 hat, die zweite Seite parallel zur Y-Achse verläuft u. die dritte Seite den Schnittpunkt der 2. Seite mit dem Graphen u. den Wendepunkt miteinander verbindet.
Bei welchem x-Wert muß die 2. Dreiecksseite liegen, wenn der Flächeinhalt des Dreiecks maximal werden soll ? |
Hallo,
überlegt, aber
gut Nebenbedingungen erstellen, mehrere Variablen durch eine ausdrücken, aber wie hier ...?
von einer Seite höhe=y(Wert der beim Schnittpunkt)-3
c/2²+c²/2=c²
und x von 0 bis Schnittpunkt...
Trigonometrie fällt mir hierzu ein und doch nicht ein....
Die blaue Gerade im Winkel von 45 Grad mit der Funktion gleichsetzten und verzweifeln....
Ob der Strahlensatz mir hier weiterhelfen kann vage ich zu bezweifeln...
Es kommt nur Formelsalat bei mir raus...mir fällt absolut nichts mehr ein...
Also ich hab echt keinen Plan mehr ???
Grüße
masaat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Di 18.04.2006 | | Autor: | masaat234 |
Hallo,
die Frage mit der Überschrift Es klappt einfach nicht... kann geschlossen werden.
Stiftet sonst nur Verwirrung.
Grüße
masaat
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Bis hierher alles richtig!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier habe ich: [mm] $\red{12}*a+c [/mm] \ = \ 0$
