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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Do 06.03.2014 | | Autor: | timmexD |
| Aufgabe | | Zu jedem t [mm] \in [/mm] R IST eine Funktion ft gegeben durch [mm] f_t(x)=\bruch{1}{4}x^4-2x^2+t; [/mm] x E R. Ihr Schaubild sei Kt. Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von t |
Hallo ;D,
ich konnte ein paar Schritte machen.
Erstens: Bedingung: [mm] f_t(x)=0
[/mm]
[mm] 0=\bruch{1}{4}x^4-2x^2+t
[/mm]
In die ABC-Formel eingesetzt: [mm] 2+/-\wurzel{(-2)^2-4*0,25*t}/0,5
[/mm]
Dann steht noch da. [mm] 2+/-\wurzel{4-t} [/mm] /0,5
Weiter komme ich nicht. Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank :DD
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Do 06.03.2014 | | Autor: | timmexD |
Ich habe zuvor substituiert. Mit [mm] z=x^2. [/mm] Habe ich vergessen, in meine Frage zu schreiben.
Danke :D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Do 06.03.2014 | | Autor: | abakus |
> Zu jedem t [mm]\in[/mm] R IST eine Funktion ft gegeben durch
> [mm]f_t(x)=\bruch{1}{4}x^4-2x^2+t;[/mm] x E R. Ihr Schaubild sei
> Kt. Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen in
> Abhängigkeit von t
> Hallo ;D,
>
> ich konnte ein paar Schritte machen.
> Erstens: Bedingung: [mm]f_t(x)=0[/mm]
>
> [mm]0=\bruch{1}{4}x^4-2x^2+t[/mm]
>
> In die ABC-Formel eingesetzt:
> [mm]2+/-\wurzel{(-2)^2-4*0,25*t}/0,5[/mm]
Hallo TimmexD,
die ABC-Formel ist eine Formel zum lösen von quadratischen Gleichungen - nicht zumn Lösen von Gleichungen vierten Grades.
Du hast aber Glück, denn im konkreten Fall kann man eine quadratische Gleiuchung erzeugen.
Wenn man "z" an Stelle von [mm]x^2[/mm] schreibt, dann kann man statt [mm]x^4[/mm] den Term [mm]z^2[/mm] verwenden.
Aus [mm]0=\bruch{1}{4}x^4-2x^2+t[/mm] wird somit [mm]0=\bruch{1}{4}z^2-2z+t[/mm].
Das gilt genau dann, wenn [mm]z=4\pm\sqrt{16-4t}[/mm].
z war aber für uns nur ein Ersatzausdruck für [mm]x^2[/mm].
Also hast du Nullstellen für [mm]x^2=4\pm\sqrt{16-4t}[/mm].
Jetzt solltest du dir mal überlegen, für welche Werte von t die Wurzel aus (16-4t)
- gar nicht existiert
- Null ist
- existiert und größer als Null ist.
Gruß Abakus
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> Dann steht noch da. [mm]2+/-\wurzel{4-t}[/mm] /0,5
>
> Weiter komme ich nicht. Kann mir jemand helfen?
>
> Vielen Dank :DD
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Do 06.03.2014 | | Autor: | timmexD |
Vielen Dank :DD
Ich habe substituiert. Leider habe ich vergessen, es gleich hineinzuschreiben.
Genau mit z habe ich es auch gemacht.
Ich verstehe nur nicht, wie Sie auf $ [mm] z=4\pm\sqrt{16-4t} [/mm] $ kommen.
Bei mir steht $ [mm] 2+/-\wurzel{(-2)^2-4\cdot{}0,25\cdot{}t}/0,5 [/mm] $
Vielen Dank für Ihre Hilfe :D
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Hallo timmexD,
> Vielen Dank :DD
>
> Ich habe substituiert. Leider habe ich vergessen, es gleich
> hineinzuschreiben.
> Genau mit z habe ich es auch gemacht.
>
> Ich verstehe nur nicht, wie Sie auf [mm]z=4\pm\sqrt{16-4t}[/mm]
> kommen.
> Bei mir steht
> [mm]2+/-\wurzel{(-2)^2-4\cdot{}0,25\cdot{}t}/0,5[/mm]
>
[mm]\bruch{2\pm\wurzel{\left(-2\right)^{2}-4*0,25*t}}{0,5}[/mm]
Nun, die Division durch 0,5 ist
gleichbedeutend mit einer Multiplikation mit 2.
> Vielen Dank für Ihre Hilfe :D
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Do 06.03.2014 | | Autor: | timmexD |
Danke.
Also wenn t= 4 ist, gibt es eine Nullstelle. Also Rücksubstitution.
[mm] x^2=4 [/mm] /Wurzel
x 1,2 [mm] =\pm [/mm] 2
Wenn t > 4 gibt, es keine Nullstelle.
Wenn t < 4 gibt es zwei Nullstellen. So müsste es doch stimmen, oder nicht?
Danke :DD
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Do 06.03.2014 | | Autor: | timmexD |
Falsch. Bei der Rücksubstitution steht nicht [mm] x^2=4, [/mm] sondern [mm] x^2=8 [/mm] da.
Weil 4+4=8 ergibt.
Also davon die Wurzel ergibt [mm] \pm [/mm] 2 [mm] \wurzel{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Do 06.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
recht hast du mit keine nst für t>4
aber es gibt t sodass du 3Nst hast, andere mit 2 Nst und solche mit 4 nst. du musst also genauer suchen , auch t<0 und t=0
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Do 06.03.2014 | | Autor: | timmexD |
Vielen Dank. :D
Aber ich kenne bis jetzt nur D>0 D<0 D=0
Kann mir jemand helfen? D=0 ist ja [mm] \wurzel{16}
[/mm]
z1= 4+4=8 Rücksubstitution: [mm] x^2=8 [/mm] = [mm] 2\wurzel{2}.
[/mm]
Stimmt das soweit?
Danke :D
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Hallo, du hast substitution gemacht [mm] z=:x^2 [/mm] und bekommst
[mm] z_1_2=4\pm\wurzel{16-4t}
[/mm]
Fall 1:
16-4t=0
t=4
somit erhälst du
[mm] z_1_2=4
[/mm]
Rücksubstitution
[mm] x^2=4
[/mm]
also hast du für t=4 zwei Nullstellen [mm] x_1=-2 [/mm] und [mm] x_2=2
[/mm]
Fall 2:
16-4t<0
16<4t
4<t
also hast du für t>4 keine Nullstelle
Fall 3:
16-4t>0
16>4t
4>t
jetzt untersuche die Fälle
Fall 3.1.:
0<t<4
Fall 3.2.:
t=0
Fall 3.3.:
t<0
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Do 06.03.2014 | | Autor: | timmexD |
Vielen Dank :D
aber ich habe doch bei t=4 einmal z1=4 und z2=4.
Muss ich dann nicht [mm] z1=x^2 [/mm] und [mm] z2=x^2 [/mm] nehmen?
Dann hätte ich ja x1=+2 x2= -2 x3=2 x4=-2
Muss ich bei den Fällen Zahlen einsetzen, dass ich feststellen kann, wie viele Nullstellen die Funktion besitzt?
Danke :DD
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Do 06.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank :D
>
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> aber ich habe doch bei t=4 einmal z1=4 und z2=4.
> Muss ich dann nicht [mm]z1=x^2[/mm] und [mm]z2=x^2[/mm] nehmen?
> Dann hätte ich ja x1=+2 x2= -2 x3=2 x4=-2
[mm] x_1=-2 [/mm] und [mm] x_2=2 [/mm] genügt völlig !
FRED
>
>
> Muss ich bei den Fällen Zahlen einsetzen, dass ich
> feststellen kann, wie viele Nullstellen die Funktion
> besitzt?
>
> Danke :DD
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Do 06.03.2014 | | Autor: | timmexD |
Wieso reicht das völlig?
Das macht doch ein Unterschied, ob es 2 oder 4 Nullstellen sind. Und z 1 muss ich rücksubsituieren und z2 muss ich auch rücksubstituieren.
Muss ich für t Zahlen einsetzen, dass ich überprüfen kann, wie viele Nullstellen die Funktion besitzt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Do 06.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Wieso reicht das völlig?
>
> Das macht doch ein Unterschied, ob es 2 oder 4 Nullstellen
> sind.
Du hast geschrieben:
"x1=+2 x2= -2 x3=2 x4=-2"
Hast Du damit mehr als 2 Nullstellen ?
FRED
> Und z 1 muss ich rücksubsituieren und z2 muss ich
> auch rücksubstituieren.
>
>
> Muss ich für t Zahlen einsetzen, dass ich überprüfen
> kann, wie viele Nullstellen die Funktion besitzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Do 06.03.2014 | | Autor: | timmexD |
Nein, ich habe aber zwei doppelte Nullstellen. Das habe ich gemeint ;DD
Noch einmal. Muss ich unten Werte für t einsetzen, dass ich weiß, wie viele Nullstellen die Funktion somit hat?
Danke :DD
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Do 06.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Muss ich unten Werte für t einsetzen, dass
> ich weiß, wie viele Nullstellen die Funktion somit hat?
Ja, denn die Nullstellen sind abhängig von $t$. Siehe dazu
Richie's Antwort hier. Falls du dazu noch fragen hast,
dann frag am Besten dort nach. Die Zitierfunktion solltest
du am Besten auch verwenden.
Gruß
DieAcht
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Hallo,
ich denke wir können jetzt mal das ganze ordentlich aufschreiben. 
Wir haben also die folgende Schar an Funktionen gegeben, wo wir die Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von t bestimmen wollen.
[mm] f_t(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^2+t
[/mm]
Nun kommen wir zur Substitution: [mm] z=x^2. [/mm] Damit erhalten wir
[mm] f_t(z)=\frac{1}{4}z^2-2z+t
[/mm]
Bestimmung der Nullstellen in $z$.
[mm] 0=\frac{1}{4}z^2-2z+t\gdw0=z^2-8z+4t
[/mm]
Wir erhalten also mit der p,q-Formel
[mm] z_{1,2}=4\pm\sqrt{16-4t}=4\pm2\sqrt{4-t}
[/mm]
Nun folgt die Rücksubstitution:
[mm] z=x^2\gdw{}x_{1,2,3,4}=\pm\sqrt{z_{1,2}}=\pm\sqrt{4\pm2\sqrt{4-t}}
[/mm]
1. $t>4$: keine Lösung.
2. $t=4$: 2 Lösungen
3. [mm] $t\in(0,4)$: [/mm] 4 Lösungen
4. $t=0$: 3 Lösungen
5. [mm] $t\in(-4,0)$: [/mm] 2 Lösungen
6. $t=-4$: 2 Lösungen
7. $t<-4$: 2 Lösungen
Das könnte man nun noch schön zusammenfassen.
So, ist das Ergebnis überhaupt logisch? Ja, denn das t bewirkt ja lediglich eine Verschiebung des Graphen in y-Richtung. Damit stellt sich auch die Frage, ob man denn nicht auch anders an die die Lösung herankommt. Ideen?
(Ich hoffe ich habe mich selbst nicht verrechnet)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Sa 08.03.2014 | | Autor: | timmexD |
Vielen Dank für die tolle Antworten. :D
Genau so hätte ich es auch gemacht. Aber die Lösung von meiner Lehrerin hat mich total irritiert.
Lösungen: 1. N 1,2,3 = (0/0) t=0 x4=(0/0) Ich weiß nicht, wie sie darauf kommt, dass die ersten drei Nullstellen bei (0/0) liegen. Wenn man dann für t=0 einsetzt, wieder (0/0) rauskommt.
2. Wieder N 1,2,3 = (0/0) Dann hat sie geschrieben [mm] t\not=0 [/mm] und bekommt dann auf einmal N 1,2,3=(0/0) N4=(0,5t/0)
Danke ;DD
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Sa 08.03.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Vielen Dank für die tolle Antworten. :D
>
> Genau so hätte ich es auch gemacht. Aber die Lösung von
> meiner Lehrerin hat mich total irritiert.
Mich irritiert sie auch
>
> Lösungen: 1. N 1,2,3 = (0/0) t=0 x4=(0/0) Ich weiß
> nicht, wie sie darauf kommt, dass die ersten drei
> Nullstellen bei (0/0) liegen. Wenn man dann für t=0
> einsetzt, wieder (0/0) rauskommt.
Wenn t=0 ist, bekommst du
[mm] f_{0}(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^2+0=\frac{1}{4}x^{2}\cdot\left(x^{2}-8\right)=\frac{1}{4}\cdot x^{2}\cdot(x+\sqrt{8})\cdot(x-\sqrt{8})
[/mm]
Und damit sieht man recht schnell, dass die Nullstellen [mm] x_{1}=0 [/mm] (Doppelt), [mm] x_{2}=\sqrt{8} [/mm] und [mm] x_{3}=-\sqrt{8} [/mm] sind.
>
> 2. Wieder N 1,2,3 = (0/0) Dann hat sie geschrieben [mm]t\not=0[/mm]
> und bekommt dann auf einmal N 1,2,3=(0/0) N4=(0,5t/0)
Das ist eine ganz andere Funktion, diese Lösungen passen zu
[mm] g_{t}(x)=x^{4}-0,5tx=x^{3}\cdot(x-0,5t)
[/mm]
> Danke ;DD
Marius
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