Ganzrationale Funktion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Mi 08.03.2006 | | Autor: | leksa.b |
| Aufgabe | Die Kostenfunktion eines Industriebetriebes lässt sich näherungsweise durch eine ganzrationale Funktion 3ter Ordnung darstellen. Das Unternehmen hat Fixkosten von monatlich 80.000 Euro. Bei einer
Ausbringungsmenge von betragen die die Gestamtkosten
2.000 Stück 160.000 Euro
4.000 Stück 240.000 Euro
6.000 Stück 560.000 Euro
Der Stückerlös beträgt 80 Euro.
Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Gesamtkostenfunktion und der Erlösfunktion (Kontrolle: f(x) = 5x³-30x²+80x+80) |
Also das habe ich bis jetzt:
Mir ist nur klar das es so aussehen muss:
ax³+bx²+cx+80.000 (fixe Kosten)
Aber wie mach ich jetzt den Rest. was ist a,b,c??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo!
> Die Kostenfunktion eines Industriebetriebes lässt sich
> näherungsweise durch eine ganzrationale Funktion 3ter
> Ordnung darstellen. Das Unternehmen hat Fixkosten von
> monatlich 80.000 Euro. Bei einer
> Ausbringungsmenge von betragen die die Gestamtkosten
> 2.000 Stück 160.000 Euro
> 4.000 Stück 240.000 Euro
> 6.000 Stück 560.000 Euro
> Der Stückerlös beträgt 80 Euro.
> Berechnen Sie die Funktionsgleichung der
> Gesamtkostenfunktion und der Erlösfunktion (Kontrolle: f(x)
> = 5x³-30x²+80x+80)
> Also das habe ich bis jetzt:
>
> Mir ist nur klar das es so aussehen muss:
> ax³+bx²+cx+80.000 (fixe Kosten)
> Aber wie mach ich jetzt den Rest. was ist a,b,c??
Nun setzt du ein, was du weißt. Für 2000 Stück betragen die Gesamtkosten 160000 Euro. Also ist f(2000)=160000. Genauso für die anderen drei Werte. Wenn du alles einsetzt, dann erhältst du ein LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten, das du "nur noch" lösen musst. Probierst du das mal?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:31 Do 09.03.2006 | | Autor: | leksa.b |
Also kann man das so machen?
Punkt 1 0/80.000
Punkt 2 2000 / 160.000
Punkt 3 4000 / 240.000
Punkt 4 6000 / 560.000
f(x) = mx+b
m = kv
m = (160.000 - 80.000) / (2.000 - 0)= 40
k(x) = 40x+b
mit K(0) = 80.000
80.000 = 40x+ 8000 /-80000
= 40 x
und das bei der nächsten dann auch so oder wie?
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Nein, tut mir leid. Du musst die Funktion [mm]f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+80.000[/mm] nehmen. Dann hast du da stehen:
I [mm]f(2.000)=160.000[/mm]
[mm]a*2.000^{3}+b*2.000^{2}+c*2.000+80.000=160.000[/mm]
II [mm]f(4.000)=240.000[/mm]
III [mm]f(6.000)=540.000[/mm]
So erhälst du ein Gleichungssystem mit drei Variablen, nämlich a, b und c und drei Gleichungen, nämlich I, II und III. Dieses Gleichungssystem ist eindeutig lösbar und du solltest als Lösung für dieses Gleichungssystem haben: a=5, b=-30 und c=80
Diese Werte setzt du wieder in deine Startfunktion ein, also [mm]f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+80.000[/mm]...und schon hast du die gesuchte Gesamtkostenfunktion.
Ist dir klar, wie du an die Erlösfunktion kommst???
Kleiner Tipp: Erlös ist das was du einnimmst (NICHT Gewinn) und im Aufgabentext steht: "Der Stückerlös beträgt 80 Euro"...damit kannst du alles anfangen...
Lieben Gruß
heyminchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 Do 09.03.2006 | | Autor: | leksa.b |
Also die Erlösfunktion müsste dann einfach heißen: E(x) = 80x
Aber mit dem Rest weiß ich ehrlich gesat immer noch nicht so recht was ich machen soll!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:31 Do 09.03.2006 | | Autor: | Tyr7 |
Hallo,
erstmal die 3 Gleichungen aufstellen:
f(2000) = 160000
f(4000) = 240000
f(6000) = 560000
also
1) [mm] a*2000^{3} [/mm] + [mm] b*2000^{2} [/mm] + c*2000 + 80000 = 160000
2) [mm] a*4000^{3} [/mm] + [mm] b*4000^{2} [/mm] + c*4000 + 80000 = 240000
3) [mm] a*6000^{3} [/mm] + [mm] b*6000^{2} [/mm] + c*6000 + 80000 = 560000
Die 80000 kannst du bei den 3 Gleichungen direkt auf die rechte Seite bringen:
1) [mm] a*2000^{3} [/mm] + [mm] b*2000^{2} [/mm] + c*2000 = 80000
2) [mm] a*4000^{3} [/mm] + [mm] b*4000^{2} [/mm] + c*4000 = 160000
3) [mm] a*6000^{3} [/mm] + [mm] b*6000^{2} [/mm] + c*6000 = 480000
Und jetzt die 3 Gleichung nach c auflösen:
da kommen jetzt ganz grosse Zahlen, also am besten direkt teilen (in diesem Fall alles durch 6000 teilen, da es bei c stand):
36000000a + 6000b + c = 80
also c = 80 - 36000000a - 6000b
dieses c in Gleichung 2 einsetzen, so hast du da nur a und b als unbekannte. Das lst du nach, sagen wir b, auf. Das c von vorhin und das b von jetzt in Gleichung 1 einsetzen, so hast du dann nur a als unbekannte. Das kann man jetzt auflösen.
Das a in die Gleichung von b einsetzen, bekommst du b. Und dann noch in das von c und alles fertig.
Kommst jetzt weiter?
Viele Grüße
Tyr
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Do 09.03.2006 | | Autor: | leksa.b |
Also ich hänge schon wieder:
a*4000³+b*4000²+ (80-36.000.000a-6.000b) = 160.000
64.000.000.000a +16.000.000b +80-36.000.000a -6.000b = 160.000
63.964.000.000a + 15.994.000b +80 = 160.000 /-80
63.964.000.000a + 15.994.000b = 159.920 / -63.964.000.000 a
15.994.000 b = 159.920 -63.964.000.000 a / 15.994.000
b = ????
Wahrscheinlich istdas mal wieder falsch!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Do 09.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Alexandra,
selbst wenn du mit dem bisherigen Ansatz richtig weiterrechnest, wirst du nicht auf die Funktion kommen, die in der Aufgabenstellung angegeben ist! Das liegt daran, dass der Aufgabensteller wohl im Sinn hatte, dass man von Anfang an in Tausendern rechnet: D.h. $f(x)=y$ soll heißen: [mm] $1000\cdot [/mm] x$ Stück kosten [mm] $1000\cdot [/mm] y$ EUR.
Das hätte man natürlich dazuschreiben können bzw. müssen!
Also nochmal von vorn:
Unsere Funktion heißt: [mm] $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+80$ [/mm] ($80$, weil wir ja jetzt in Tausendern rechnen!).
Wir wissen folgendes: $f(2)=160$, $f(4)=240$, $f(6)=560$.
Ich stelle jetzt mal nur die erste Gleichung auf - den Rest schaffst du sicher allein:
[mm] $f(2)=a\cdot 2^{3}+b\cdot 2^{2}+c\cdot [/mm] 2+80=8a+4b+2c+80$, also lautet die erste Gleichung $8a+4b+2c+80=160$.
Das musst du analog mit den beiden anderen Gleichungen machen. Wenn du dann das entstehende lineare Gleichungssystem löst, erhältst du genau die Koeffizienten $a,b,c$, die auch in der Aufgabenstellung zur Kontrolle angegeben sind.
Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen. Frag' bitte nochmal nach, falls dir etwas unklar geblieben ist, ok?
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Do 09.03.2006 | | Autor: | leksa.b |
f(6) ausgerechnet habe komme ich auf c = 80-36a-6 b
wenn ich das c nun in f(4) einsetze kommt bei mir folgendes raus:
= 64 a + 16 b + 4 * c (80-36a-6b) +80 = 240
= -80a - 8b +400 = 240 / -400
= -80 a - 8 b = -160 / -80a
= -8 b = -160-80a / : (-1)
= 8 b = 160+80a / : 8
= b = 2+10 a
Aber irgendwo muss ich mich verrechnet haben. Komm aber nicht drauf.
Für Hilfe wäre ich super dankbar. Bin am verzweifeln. Mathe ist absulut kein Fach für mich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Do 09.03.2006 | | Autor: | leksa.b |
Also wenn ich jetzt die letzte ausgerechnet habe kommt bei mir
a = -5 raus!
Dann habe ich also gesamt:
c= 80 - 36 a - 6 b
b= 2-10a
a= -5
Habe ich das jetzt weiter richtig verstanden das ich jetzt wie folgt weiter rechnen muss?
b = 2 - (10*-5) => wäre dann 52 ???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Do 09.03.2006 | | Autor: | leksa.b |
Hallo Das habe ich jetzt entlich alles verstanden ein ganz dickes Dankeschön!!!!!!
Jetzt hätte ich noch folgende Frage:
Wenn ich zu der Aufgabe jetzt die Gewinnschwelle und Gewinngrenze errechnen muss. Kann ich das wie folgt machen?
Die Erlösfunktion wäre doch dann 80 x also Stückerlös x Menge oder?
K = E
5 x³ - 30 x²+80x+80 = 80 x /-80x
5 x³ - 30 x²+80 = 0
und dann Polynomdivision und p-q-Formel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Do 09.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Alexandra,
> Hallo Das habe ich jetzt entlich alles verstanden ein ganz
> dickes Dankeschön!!!!!!
Gern geschehen! Freut mich, wenn wir dir helfen konnten! 
> Jetzt hätte ich noch folgende Frage:
> Wenn ich zu der Aufgabe jetzt die Gewinnschwelle und
> Gewinngrenze errechnen muss. Kann ich das wie folgt machen?
Ich bin kein Finanzmathematiker, kann also nur vermuten, dass die Gewinnschwelle die Stückzahl (in Tausend) ist, ab dem der Erlös die Kosten übersteigt, also Gewinn erwirtschaftet wird.
Dementsprechend wäre die Gewinngrenze die Stückzahl (in Tausend), ab dem die Kosten wieder den Erlös übersteigen, also kein Gewinn mehr erwirtschaftet wird.
Ist das richtig?
> Die Erlösfunktion wäre doch dann 80 x also Stückerlös x
> Menge oder?
Richtig! Wichtig ist hierbei, dass es egal ist, ob es 80 EUR pro Stück oder 80000 EUR pro 1000 Stück sind. Die 1000 kürzen sich nämlich heraus!
> K = E
> 5 x³ - 30 x²+80x+80 = 80 x /-80x
> 5 x³ - 30 x²+80 = 0
Richtig, [mm] $5x^{3}-30x^{2}+80$ [/mm] wäre die Gewinnfunktion, deren Nullstellen (Gewinnschwelle und Gewinngrenze) du nun suchen musst!
> und dann Polynomdivision und p-q-Formel?
Das ist der richtige Weg - dazu brauchst du aber erstmal eine Nullstelle... hast du schon eine? Ansonsten hier mein Tipp: Bei $x=2$ betragen sowohl der Erlös als auch die Kosten $160$. 
Du müsstest also durch $(x-2)$ (Polynom-)dividieren!
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Do 09.03.2006 | | Autor: | leksa.b |
Du hast mir echt geholfen.
Nochmals Danke Danke Danke!
Gruss Alexandra
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Fr 10.03.2006 | | Autor: | leksa.b |
| Aufgabe | | Wie lautet die Funktionsgleichung der variablen Stückkosten und wie die Gleichung der totalen Stückkosten? |
Hallo!
Muss ich dazu nicht erst die Kosten pro Stück ausrechnen? Oder wie macht man das?
Gruss Alexandra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Tyr7 |
Die Kosten pro Stück, ist ja die Aufgabe :)
Nur einmal variabel und einmal total.
Du hast angegeben dass 2000 Stück dich 160.000 kosten, davon sind aber 80.000 Fixkosten, also sind die variablen Kosten das was nach Abzug der Fixkosten ürbigbleibt. Also 2000 Stück kosten dich variabel 80.000. Total ist alles zusammen aber 160.000 (hier nichts abziehen).
Also erstmal machst du das für die drei Gleichungen für die Variablen kosten und dann nochmal das ganze für die totalen Kosten.
Eine Frage die sich hier stellt, ist welchen Grad die Kostenfunktionen haben sollen. Am einfachsten geht es mit linearen, aber hier klappt es nicht so ganz. Bei den ersten zwei Gleichungen hast du (Variable Kosten):
2000 Stück = 80.000
4000 Stück = 160.000
das ergibt 40 pro Stück
aber das passt nicht zu der dritten Gleichung:
6000 Stück = 480.000, das ergibt hier 80???
Also eine quadratische Funktion in der Form f(x) = [mm] ax^{2} [/mm] + bx + c, ist aber irgendwie komisch und unüblich (würde ich mal so sagen)
Andere Möglichkeit ist: du hast zwei Funktionen:
eine die bis zu der Menge die kleiner gleich 4000 Stück ist
und eine für Stückzahlen darüber...
Habt ihr sowas gemacht? Könnte auch ein Fehler in der Aufgabenstellung sein :)
Viele Grüße
Tyr
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Fr 10.03.2006 | | Autor: | leksa.b |
Wir haben so was noch nicht gemacht. Es ist so das wir die Aufgaben als Selbstlernphase bekommen und später entweder abgeben müssen oder besprechen. Da ich ja noch nie so ein Mathe-Fan war habe ich damit ganz schön Probleme. Kann mir aber nicht vorstellen das ein Fehler in der Aufgabenstellung ist. => der Lehrer ist sehr korrekt.
Also aber wieder zurück zur Aufgabe:
Kvariable (2000) = 80.000
Kgesamt (2000) = 160.000 usw oder?
Und wie meinst du das dann mit den 2 Funktionen?
Gruss Alexandra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Tyr7 |
nicht so ganz :)
Mit den 2 Funktionen (nur für die variablen Kosten) meinte ich, dass es keine "normale" Funktion ist, sondern dass die Funktion abhängig von dem x ist was du in f(x) einsetzen tust. Also für x<6000 eine Funktion f1 und für x >6000 eine Funktion f2. War nur eine kleine Vermutung....
Da ihr bei der ersten Aufgabe auch eine Kostenfunktion hattet, die den Grad 3 hatte, so denke ich dass das hier auch der Fall sein wird. Also so was wie [mm] ax^{3} [/mm] + [mm] bx^{2} [/mm] + cx (d fällt weg, weil wir hier keine Fixenkosten berücksichtigen)
Da hast du wieder 3 Unbekannte und 3 Gleichungen. Also quasi genauso wie vorhin... Nur dass du jetzt nicht (für die variablen Kosten) den ganzen Kostenbetrag einsetzst, sondern nur das was nach Abzug der Fixkosten bleibt.
Also:
1) [mm] a*2000^{3} [/mm] + [mm] b*2000^{2} [/mm] + c*2000 = 160.000 - 80.000 = 80.000
2) [mm] a*4000^{3} [/mm] + [mm] b*4000^{2} [/mm] + c*4000 = 240.000 - 80.000 = 160.000
3) [mm] a*6000^{3} [/mm] + [mm] b*6000^{2} [/mm] + c*6000 = 560.000 - 80.000 = 480.000
Wenn du aber in der Aufgabe 1 die (Gesamt)Kostenfunktion angegeben hattest, dann kann man ohne viel zu rechnen sagen, dass die Variablen Kosten aus den Werten bestehen, wo x dabei steht, also:
fv(x) = [mm] 5x^{3} -30x^{2}+80x [/mm] (variable Kosten)
Ist ja auch die selbe Rechnug, da vorhin waren die Fixkosten = 80 bekannt. Die hast du nicht extra ausgerechnet.
Wahrscheinlich ist es eine Aufgabe, die das Verständnis und die Zusammenhänge abfragen soll und keine Rechnung verlangt.
Mehr kann ich mir jetzt drunter nicht vorstellen (oder ich denke in total falsche Richtung).
Was mir unklar ist:
1. was ist bei euch der Unterschied zwischen den Totalkosten und den Gesamtkosten, die ja schon ausgerechnet wurden? (Für mich waren die Totalkosten = die Variablen + der Fixkostenanteil)
Viele Grüße
Tyr
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Fr 10.03.2006 | | Autor: | leksa.b |
Ein ganz dickes Danke für die Gedult und die Hilfe.
Gruss Alexandra
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Do 09.03.2006 | | Autor: | Tyr7 |
Hallo nochmal,
also Yuma hat vollkommen recht, ist mir jetzt auch aufgefallen...
Die Kontrollgleichung, die du hast, hat als Fixkosten keine 80000 sondern 80...
Es wird wahrscheinlich einfacher, wenn du in Tausendern rechnest (nicht so hohe Zahlen).
Ansonsten (für den Weg bis jetzt) kannst du dir das mal anschauen:
[mm] a*2000^{3} [/mm] + [mm] b*2000^{2} [/mm] + c*2000 = 80000 /:2000
[mm] a*2000^{2} [/mm] + b*2000 + c = 40
Wenn du das bei den restlichen Gleichungen so machts, dann wird es einfacher (die Potenzen werden kleiner)
Zur Kontrolle für weitere Rechnungen:
c= 80 - [mm] a*6000^{2} [/mm] - b*6000
b = 0,02 - 10000a
a = 0,000005
Daraus folgt:
a = 0,000005
b = -0,03
c = 80
Und hier siehst du was Yuma gesagt hat, du wirst nicht auf die Ergebnisse kommen (5, -30 und 80), denn sie sind in Tausendern.
daher müssen wir das a mit [mm] 1000^{2} [/mm] multiplizieren und erhalten die gesuchte 5, also 0,000005 * [mm] 1000^{2} [/mm] = 5
das b mit [mm] 1000^{1} [/mm] ergibt -30, also -0,03 * [mm] 1000^{1} [/mm] = -30
und das c bliebt, weil [mm] 1000^{0} [/mm] = 1, also 80 * [mm] 1000^{0} [/mm] = 80
Hoffe das verirrt dich jetzt nicht zu sehr...
Viele Grüße
Tyr
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Ich dachte, wir hätten uns auf $b=20-10a$ geeinigt?
