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Bestimmen Sie alle ganzzahligen Lösungen der folgenden Gleichung:
[mm] x^{4}-x^{3}-7x^{2}+x+6 [/mm] = 0
laut Buch / Skript müßte ich folgendermaßen vorgehen
[mm] x(x^{3}-x^{2}-7x+1) [/mm] = -6
nun kann x ja nur ein Faktor von 6 sein und somit muss x
[mm] \pm1 \pm2 \pm3 \pm6 [/mm] sein
nun setze ich einfach in [mm] x(x^{3}-x^{2}-7x+1) [/mm] = -6 ein und raus kommt das
-2 ; -1; 1; 3 ganzzahlige lösungen sind, gibt es nicht noch einen einfacherern Weg an das Ergebnis zu kommen?
Mfg Seb
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 13:49 Do 24.01.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo Sebi!
Es gibt viele Wege "Nullstellen" dieser Funktion zu berechnen. Zum einen wäre da angebracht eine Polynomdivision durchzuführen (eigentlich eher 2 mal) dann bekommst du eine quadratische fkt und dann mit der pq formel die restlichen 2 nullstellen zu bestimmen. Dann gibt es noch das sogennante Bombelli Verfahren welches ich dir aber absolut abrraten würde weil es eine gemeine rechnung ist. Ich denke dein Weg ist so ziemlich der einfachste und vorallem kürzeste bei dieser Funktion..
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 13:52 Do 24.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Tyskie
Das funktioniert aber nicht.
Aus x*y=-6 kann ich nicht folgern x oder y=-6
Marius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 Do 24.01.2008 | | Autor: | Tim82 |
Vielleicht mit der feinen Polynomdivision?!
[mm] x^4 [/mm] - [mm] x^3 [/mm] - [mm] 7x^2 [/mm] + x + 6 : (x - 1) = [mm] x^3 [/mm] - 7x - 6
[mm] (x^3 [/mm] - 7x - 6) * (x - 1) = 0
dann hat man die sache ein wenig verkürzt, ich würde sie dann nochmals anwenden um eine quadratische gleichung zu erhalten:
[mm] x^3 [/mm] - 7x - 6 : (x + 1) = [mm] x^2 [/mm] - x - 6
dann pq- Formel...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Do 24.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Da du nur die ganzzahligen Lösungen von
[mm] x^{4}-x^{3}-7x^{2}+x+6=0 [/mm] suchst, müssen diese auch die +6 ohne Rest teilen.
Bleiben nur die Möglichkeiten [mm] \pm1,\pm2,\pm3 [/mm] und [mm] \pm6.
[/mm]
Die Idee mut dem Ausklammern funktioniert nur, wenn du ein Produkt der Form [mm] (x+1)(x²+3x-4)=\red{0} [/mm] hast, dann kann ich folgern: x+1=0 oder x²+3x-4=0.
Marius
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