Gauß-Jordan-Verfahren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:28 Di 23.08.2005 | | Autor: | Flaminia |
Kleine Anmerkung vorne weg:
Es reicht, wenn man den letzten kleinen Abschnitt liest ... *schnüff*
Hallo!
Über die Ferien haben wir die Aufgabe bekommen uns mit dem Gauß-Jordan-Verfahren zu beschäftigen. Also habe ich das Ganze mal ins Internet eingetippt und ich muss ganz ehrlich gestehen, dass ich nicht wirklich eine Seite gefunden habe, wo das für mich verständlich erklärt war. (An dieser Stelle: Wenn irgendjemand eine solche Seite kennt - Links werden gerne entgegengenommen)
In der Schule hatten wir allerdings mal eine Beispielaufgabe gerechnet und so wirklich schwer erschien mir das Ganze nicht. Folglich habe ich mir einfach mal eine Aufgabe rausgesucht und gerechnet. Aber irgendwie komme ich einfach nicht auf das richtige Ergebnis und ich weiß wirklich nicht, wo der Fehler ist.
Meine Bitte an euch: Zunächst möchte ich natürlich gene wissen, wo mein Fehler ist. Wenn ihr mir da weiter helfen könnte, wäre das schon mal viel wert. Außerdem würde ich aber gerne wissen, ob man das Ganze auch einfacher hätte rechnen können. Mir erscheint der Rechenweg nämlich ein bisschen umständlich. Es kann zwar sein, dass das so sein muss, aber vielleicht gibt es da ja ein paar Wege, wie man so eine Aufgabe schneller lösen kann.
Ich wusste beispielsweise auch nicht, welche Zeile bzw. Spalte ich zuerst auflösen sollte und dazu gibt es ja bestimmt ein paar Regeln, z.B. dass man mit der ersten Spalte anfangen soll, oder so was in der Art. Es wäre also wirklich nett, wenn ihr da Tipps für mich hättet oder mir sagt, was man bei solchen Aufgaben beachten muss.
Vielen Dank schon mal im Voraus.
Die Aufgabe:
2 [mm] x_{1} [/mm] - 4 [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] = 0
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 12
5 [mm] x_{1} [/mm] + [mm] 5x_{2} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] = 0
(Ich bezweifle, dass das Folgende die richtige Schreibweise ist, aber ich wüsste nicht, wie ich das sonst aufschreiben soll.)
[mm] \pmat{ 2 & -4 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 5 & 5 & -1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 12 \\ 0 }
[/mm]
(1. Zeile " /2 ", 2. Zeile " - erste Zeile/2", 3. Zeile " -5 * zweite Zeile")
[mm] \pmat{ 1 & -2 & -0,5 \\ 0 & 3 & 1,5 \\ 0 & 0 & -6 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 12 \\ -60 }
[/mm]
(1. Zeile " /0,5 ", 2. Zeile " /3 ", 3. Zeile " /6 ")
[mm] \pmat{ 1 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & 0,5 \\ 0 & 0 & -1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 4 \\ -10 }
[/mm]
( 1. Zeile " + 4* zweite Zeile")
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0,5 \\ 0 & 0 & -1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 16 \\ 4 \\ -10 }
[/mm]
(1. Zeile " + dritte Zeile ", 2. Zeile " + dritte Zeile/2 ", 3. Zeile " *(-1) ")
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 6 \\ -1 \\ 10 }
[/mm]
So, ... umständlicher ging es nicht mehr, fals jemand fragen sollte. Ich hoffe, man blickt durch.
... Ich krieg die Krise ... ich hab den Fehler doch tatsächlich gefunden *heul* Alles umsonst. *schnüff* Als ich im zweiten Schritt die erste Zeile durch 0,5 geteilt habe, habe ich vergessen, die 1 auch zu teilen ... das Leben ist doch echt unfair ... beim Endergebnis ist [mm] x_{1} [/mm] also nicht 6 sondern 3 und damit ist alles richtig. *schnief* Na ja, den Fehler braucht ihr also nicht mehr suchen. ...
Ein paar Anregungen, wie man das Ganze leichter und vor allen Dingen übersichtlicher (und wahrscheinlich auch richtiger ^^) aufschreiben kann, sind dennoch sehr erwünscht, genauso wie Tipps zum Rechnen, häufige Fehlerquellen und Links zum Gauß-Jordan-Verfahren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Flaminia |
Vielen Dank für deine Antwort.
Ich hätte das am liebsten auch in eine Matrix geschrieben, aber das habe ich nicht hinbekommen. Aber jetzt weiß ich ja, wie es geht.
Die Links habe ich mir zwar noch nicht näher betrachtet, aber schaden werden sie mit Sicherheit nicht. Ich danke dir, dass du dir die Mühe gemacht hast und sie rausgesucht hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Flaminia |
Ich habe da eine Aufgabe, mit der ich überhaupt nicht klar komme. Das schlimme daran ist, dass die Lösung dabei steht ... samt Lösungsweg. *drop*
Also, die Aufgabe:
I. 5x - y + 3z = a
II. 3x + 5y - z = b
III. -x + 3y + 5z = c
Als Lösung steht jetzt da:
"1. Schritt: III) als 1.PZ, I)' = I) + 5*1.PZ, II)' = II) + 3*1.PZ
2. Schritt: I)' als 2.PZ, II)'' = II' 1*2.PZ"
Das habe ich auch gemacht (hoffe ich zumindest) und bei mir steht da nun:
I. -x + 3y + 5z = c
II. 0 + 14y + 28z = 5c + a
III. 0 + 0 - 14z = -5c - a + b
Laut Lösung:
"Nun erhält man die Lösungsmenge als
L = { ( 1/14(2a+b-c), 1/14(2b+c-a), 1/14(a+2c-b) ) }"
Also, ... ich erhalte die nicht, egal wie ich es drehe und wende. Könnte mir bitte jemand sagen, wie man darauf kommt? Vielleicht habe ich auch schon einen Fehler beim 1. oder 2. Schritt gemacht ... keine Ahnung
Außerdem weiß ich nicht, was daran das Gauß-Jordan-Verfahren sein soll. Aber laut Überschrift ist es das. ... Wie man vielleicht merkt, bin ich ziemlich ratlos. Über jede Anregung wäre ich deswegen sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich wende das Eliminationsverfahren für dich mal an:
[mm] $\pmat{5 & -1 & 3 & | & a \\ 3 & 5 & -1 & | & b \\ -1 & 3 & 5 & | & c}$
[/mm]
[mm] $\pmat{15 & -3 & 9 & | & 3a \\ -15 & -25 & 5 & | & -5b \\ -15 & 45 & 75 & | & 15c}$
[/mm]
[mm] $\pmat{15 & -3 & 9 & | & 3a \\ 0 & -28 & 14 & | & 3a-5b \\ 0 & 42 & 84 & | & 3a+15c}$
[/mm]
[mm] $\pmat{15 & -3 & 9 & | & 3a \\ 0 & -28 & 14 & | & 3a-5b \\ 0 & 28 & 56 & | & 2a+10c}$
[/mm]
[mm] $\pmat{15 & -3 & 9 & | & 3a \\ 0 & -28 & 14 & | & 3a-5b \\ 0 & 0 & 70 & | & 5a-5b+10c}$
[/mm]
[mm] $\pmat{5 & -1 & 3 & | & a \\ 0 & -28 & 14 & | & 3a-5b \\ 0 & 0 & 14 & | & a-b+2c}$
[/mm]
So, daraus sollte danndie Behauptung folgen (falls ich mich nicht verrechnet habe...  )
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Flaminia |
Zunächst einmal vielen Dank für deine Antwort.
Die Schritte konnte ich leicht nach vollziehen und ein Fehler ist mir auch nicht aufgefallen, dennoch komme ich nicht auf das richtige Ergebnis, wenn ich das Ganze ausrechne.
Natürlich stimmt die Lösung für z = 1/14(a+2c-b) noch überein, aber wenn ich y ausrechnen will, erhalte ich eine andere Lösung. Es müsste "1/14(2b+c-a)" rauskommen, aber mein Ergebnis lautet "1/56*a + 3/56*b + 1/4*c".
... Da mein Ergebnis also nicht stimmt, habe ich versucht die ganze Aufgabe von Anfang an noch mal alleine zu rechnen. Dabei bekam ich folgende Matrix raus:
[mm] \pmat{ -1 & 3 & 5 \left| & c \\ 0 & 14 & 28 \left| & a+5c \\ 0 & 0 & 14 \left| & -b+a+2c } [/mm]
Das ist ja so ähnlich, wie das, was ich ganz am Anfang mal ausgerechnet hatte, nur das in der letzten Zeile auf der rechten Seite -5c anstatt -2c stand. War wohl ein Rechenfehler.
So, wenn ich das ausrechne, komme ich auf das richtige Ergebnis für z und für y, aber für x, was ja eigentlich = ( 1/14(2a+b-c) sein müsste, bekomme ich "-21/14*c - 8/14*a + 11/14*b" raus.
Nun habe ich mir das Ganze noch mal betrachtet. Du hattest in der ersten Zeile auf der rechten Seite a stehen und bist auf das Ergebnis für z gekommen, ich hatte da c stehen und bin auf das Ergebnis für z und y gekommen. ... Logische Schlussfolgerung (kleiner Scherz): Wenn in der ersten Zeile auf der rechten Seite b stehen bleibt, muss ich auf das Ergebnis für z, y und x kommen. ... Das ist natürlich nicht wirklich logisch, aber ich habe es dennoch ausprobiert. Und man glaubt es kaum, ich habe tatsächlich die richtigen Lösungen für alle drei Variablen rausbekommen.
Die Matrix dazu sieht so aus:
[mm] \pmat{ 3 & 5 & -1 \left| & b \\ 0 & 14 & 28 \left| & a+5c \\ 0 & 0 & 14 \left| & -b+a+2c } [/mm]
Aber mal ehrlich, das kann's doch nicht sein. Ich kann doch nicht jedes Mal alle Variablen ausprobieren, bis ich dann irgendwann mal auf ein Ergebnis komme.
Also Leute von heute (bzw. vom Mathe-Forum):
Ich bitte um Antworten.
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Hallo Flaminia,
> Natürlich stimmt die Lösung für z = 1/14(a+2c-b) noch
> überein, aber wenn ich y ausrechnen will, erhalte ich eine
> andere Lösung. Es müsste "1/14(2b+c-a)" rauskommen, aber
> mein Ergebnis lautet "1/56*a + 3/56*b + 1/4*c".
> ... Da mein Ergebnis also nicht stimmt, habe ich versucht
> die ganze Aufgabe von Anfang an noch mal alleine zu
> rechnen. Dabei bekam ich folgende Matrix raus:
>
> [mm]\pmat{ -1 & 3 & 5 \left| & c \\ 0 & 14 & 28 \left| & a+5c \\ 0 & 0 & 14 \left| & -b+a+2c }[/mm]
ich habe die Auflösungsschritte ausführlich aufgeschrieben:
[mm]
\begin{gathered}
14\;z\; = \; - b\; + \;a\; + \;2\;c \hfill \\
\Rightarrow \;z\; = \;\frac{1}
{{14}}\;\left( { - b\; + \;a\; + \;2\;c} \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
[mm]
\begin{gathered}
14\;y\; + \;28\;z\; = \;a\; + \;5\;c \hfill \\
\Rightarrow \;y\; = \;\frac{1}
{{14}}\;\left( {a\; + \;5\;c\; - \;28\;z} \right) \hfill \\
\Leftrightarrow \;y\; = \;\frac{1}
{{14}}\;\left( {a\; + \;5\;c\; - \;\frac{{28}}
{{14}}\;\left( { - b\; + \;a\; + \;2\;c} \right)} \right) \hfill \\
\Leftrightarrow \;y\; = \;\frac{1}
{{14}}\;\left( {a\; + \;5\;c\; - \;2\;\left( { - b\; + \;a\; + \;2\;c} \right)} \right) \hfill \\
\Leftrightarrow \;y\; = \;\frac{1}
{{14}}\;\left( { - \;a\; + \;c\; + \;2\;b} \right) \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
[mm]
\begin{gathered}
- \;x\; + \;3\;y\; + \;5\;z\; = \;c \hfill \\
\Rightarrow \;x\; = \; - \;\left( {c\; - \;3\;y\; - \;5\;z} \right) \hfill \\
\Leftrightarrow \;x\; = \; - \;\left( {c\; - \;\frac{3}
{{14}}\;\left( { - \;a\; + \;c\; + \;2\;b} \right)\; - \;\frac{5}
{{14}}\;\left( { - b\; + \;a\; + \;2\;c} \right)} \right) \hfill \\
\Leftrightarrow \;x\; = \; - \;\left( {\frac{1}
{{14}}\;c\; - \;\frac{1}
{{14}}\;b\; - \;\frac{2}
{{14}}\;a} \right) \hfill \\
\Leftrightarrow \;x\; = \;\frac{1}
{{14}}\;\left( {2\;a\; + \;b\; - \;c} \right) \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Flaminia |
*drop* Vielen Dank! Hab meine Fehler gefunden. Bei der Matrix, die du mir aufgelöst hast, habe ich bei der Auflösung nach x auf der rechten Seite +5z gerechnet anstatt 5z und bei der Matrix von Julius habe ich für z = ¼ * (a-b+2c) anstatt z = 1/14 * (a-b+2c) eingesetzt. ... Oh man, das sind ja mal wieder Fehler. So viel Arbeit im Prinzip für nichts. Na ja, ich danke dir auf jeden Fall.
Ich habe jetzt allerdings noch eine Frage:
Bei dem Gauß-Jordan-Verfahren muss man ja eigentlich eine Matrix bilden, die zum Beispiel folgendermaßen aussieht:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & \left| & 7 \\ 0 & 1 & 0 & \left| & 6 \\ 0 & 0 & 1 & \left| & 5 }
[/mm]
Jetzt haben wir das nicht so gemacht. Das liegt ja wahrscheinlich an den drei zusätzlichen Variablen a,b und c, oder? Ist das denn immer so, dass es bei drei zusätzlichen Variablen reicht, so lange aufzulösen, bis in der Ecke drei Nullen stehen? (Hört sich blöd an, aber ich wusste nicht, wie ich das anders hätte ausdrücken können.) Und wie weit muss man beispielsweise auflösen, wenn zwei oder vier zusätzliche Variablen auftreten?
Hätte man denn jetzt bei unsere Aufgabe auch so lange auflösen können, bis man auf den normalen Aufbau (6 Nullen, drei Einsen) gekommen wäre? Ich habe das nämlich mal versucht, aber gelungen ist es mir nicht.
Wäre wirklich nett, wenn mir jemand die Fragen noch beantworten könnte.
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Hallo Flaminia,
> Bei dem Gauß-Jordan-Verfahren muss man ja eigentlich eine
> Matrix bilden, die zum Beispiel folgendermaßen aussieht:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & \left| & 7 \\ 0 & 1 & 0 & \left| & 6 \\ 0 & 0 & 1 & \left| & 5 }[/mm]
>
> Jetzt haben wir das nicht so gemacht. Das liegt ja
> wahrscheinlich an den drei zusätzlichen Variablen a,b und
> c, oder? Ist das denn immer so, dass es bei drei
> zusätzlichen Variablen reicht, so lange aufzulösen, bis in
> der Ecke drei Nullen stehen? (Hört sich blöd an, aber ich
> wusste nicht, wie ich das anders hätte ausdrücken können.)
> Und wie weit muss man beispielsweise auflösen, wenn zwei
> oder vier zusätzliche Variablen auftreten?
Bei gleichbleibender Anzahl der Gleichungen ändert sich dann nichts.
Im Prinzip muss man soweit auflösen, daß man eine Dreiecksmatrix erhält. Unterhalb dieser Dreiecksmatrix können noch Nullzeilen stehen.
> Hätte man denn jetzt bei unsere Aufgabe auch so lange
> auflösen können, bis man auf den normalen Aufbau (6
> Nullen, drei Einsen) gekommen wäre? Ich habe das nämlich
> mal versucht, aber gelungen ist es mir nicht.
Ja, das hätte man können.
[mm]
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - 1} \hfill & 3 \hfill & 5 \hfill & c \hfill \\
0 \hfill & {14} \hfill & {28} \hfill & {a\; + \;5\;c} \hfill \\
0 \hfill & 0 \hfill & {14} \hfill & {a\; - \;b\; + \;2\;c} \hfill \\
\end{array} } \right)
[/mm]
3. Zeile mal (-2) und zur 2. Zeile addiert,
3. Zeile mal 5 und zum (-14) fachen der 1. Zeile addiert:
[mm]
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{14} \hfill & { - 42} \hfill & 0 \hfill & {5\;a\; - \;5\;b\; - \;4\;c} \hfill \\
0 \hfill & {14} \hfill & 0 \hfill & { - \;a\; + \;2\;b\; + \;c} \hfill \\
0 \hfill & 0 \hfill & {14} \hfill & {a\; - \;b\; + \;2\;c} \hfill \\
\end{array} } \right)
[/mm]
2. Zeile mal 3 und zur 1. Zeile addiert:
[mm]
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{14} \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill & {2\;a\; + \;b\; - \;c} \hfill \\
0 \hfill & {14} \hfill & 0 \hfill & { - \;a\; + \;2\;b\; + \;c} \hfill \\
0 \hfill & 0 \hfill & {14} \hfill & {a\; - \;b\; + \;2\;c} \hfill \\
\end{array} } \right)
[/mm]
Dann noch durch 14 geteilt:
[mm]
\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill & {\frac{{2\;a\; + \;b\; - \;c}}
{{14}}} \hfill \\
0 \hfill & 1 \hfill & 0 \hfill & {\frac{{ - \;a\; + \;2\;b\; + \;c}}
{{14}}} \hfill \\
0 \hfill & 0 \hfill & 1 \hfill & {\frac{{a\; - \;b\; + \;2\;c}}
{{14}}} \hfill \\
\end{array} } \right)
[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Fr 26.08.2005 | | Autor: | Flaminia |
Vielen Dank für deine Antwort.
Das Umformen konnte ich auch gut nachvollziehen. Also, danke, dass du dir so viel Arbeit gemacht hast, die ganzen Schritte einzeln aufzuschreiben.
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
...
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http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F-Jordan-Algorithmus