Gauss-Verfahren Diagonalmatrix < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 Do 12.02.2009 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimme die Lösungen des Gleichungssystems
[mm] \bruch{1}{3}a +\bruch{1}{6}b +\bruch{1}{4}c [/mm] = 13
[mm] \bruch{1}{3}a +\bruch{1}{4}c +\bruch{1}{5}d [/mm] = 15
[mm] \bruch{1}{6}b +\bruch{1}{4}c +\bruch{1}{5}d [/mm] = 14
[mm] \bruch{1}{3}a +\bruch{1}{6}b +\bruch{1}{5}d [/mm] = 12
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Moin,
daraus folgt
[mm] \pmat{ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{6} & \bruch{1}{4} & 0 : 13 \\ \bruch{1}{3} & 0 & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{5} : 15 \\ 0 & \bruch{1}{6} & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{5} : 14\\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{6} & 0 & \bruch{1}{5} : 12}
[/mm]
Meine die Frage ist, wie kann ich diese Matrix systematisch in eine Diagonalmatrix verwandeln?
Es geht mir also nicht (nur) um die Umwandlung in eine Dreiecksmatrix,
sondern um Zeilen, in denen auf der linken Seite jeweils nur an einer Stelle eine Zahl ungleich null steht.
Wie könnte ich da am einfachsten vorgehen?
Meine Lösungsvariante funktioniert, das weiss ich, aber darum geht es mir nicht...
[mm] \pmat{ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{6} & \bruch{1}{4} & 0 : 13 } [/mm] *(-1)
[mm] \pmat{ \bruch{1}{3} & 0 & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{5} : 15 } [/mm]
[mm] \pmat{ 0 & \bruch{1}{6} & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{5} : 14 } [/mm]
[mm] \pmat{ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{6} & 0 & \bruch{1}{5} : 12}
[/mm]
[mm] \pmat{ -\bruch{1}{3} & -\bruch{1}{6} & -\bruch{1}{4} & 0 : -13 } [/mm]
[mm] \pmat{ \bruch{1}{3} & 0 & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{5} : 15 } [/mm] II+I
[mm] \pmat{ 0 & \bruch{1}{6} & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{5} : 14 } [/mm]
[mm] \pmat{ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{6} & 0 & \bruch{1}{5} : 12} [/mm] IV+I
[mm] \pmat{ -\bruch{1}{3} & -\bruch{1}{6} & -\bruch{1}{4} & 0 : -13 } [/mm]
[mm] \pmat{ 0 & -\bruch{1}{6} & 0 & \bruch{1}{5} : 2 } [/mm]
[mm] \pmat{ 0 & \bruch{1}{6} & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{5} : 14 } [/mm] III+II
[mm] \pmat{ 0 & 0 & -\bruch{1}{4} & \bruch{1}{5} : -1} [/mm]
[mm] \pmat{ -\bruch{1}{3} & -\bruch{1}{6} & -\bruch{1}{4} & 0 : -13 } [/mm]
[mm] \pmat{ 0 & -\bruch{1}{6} & 0 & \bruch{1}{5} : 2 } [/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 & \bruch{1}{4} & \bruch{2}{5} : 16} [/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 & -\bruch{1}{4} & \bruch{1}{5} : -1} [/mm] IV + III
[mm] \pmat{ -\bruch{1}{3} & -\bruch{1}{6} & -\bruch{1}{4} & 0 : -13 } [/mm] *(-12)
[mm] \pmat{ 0 & -\bruch{1}{6} & 0 & \bruch{1}{5} : 2 } [/mm] *30
[mm] \pmat{ 0 & 0 & \bruch{1}{4} & \bruch{2}{5} : 16} [/mm] *20
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & \bruch{3}{5} : 15} *\bruch{5}{3}
[/mm]
[mm] \pmat{ 4 & 2 & 3 & 0 : 156 } [/mm]
[mm] \pmat{ 0 & -5 & 0 & 6 : 60 } [/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 5 & 8 : 320} [/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 : 25} [/mm]
d= 25
5c +8d = 320
c= 24
-5b +6d = 60
b= 18
4a +2b +3c = 156
a= 12
Wie gesagt, wie kann ich vorgehen, wenn ich die Gleichungsumformungen am Ende vermeiden will?
Danke & Gruß
Wolfgang
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> Bestimme die Lösungen des Gleichungssystems
>
> [mm]\bruch{1}{3}a +\bruch{1}{6}b +\bruch{1}{4}c[/mm] = 13
> [mm]\bruch{1}{3}a +\bruch{1}{4}c +\bruch{1}{5}d[/mm] = 15
> [mm]\bruch{1}{6}b +\bruch{1}{4}c +\bruch{1}{5}d[/mm] = 14
> [mm]\bruch{1}{3}a +\bruch{1}{6}b +\bruch{1}{5}d[/mm] = 12
>
>
> Moin,
>
> daraus folgt
>
> [mm]\pmat{ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{6} & \bruch{1}{4} & 0 : 13 \\ \bruch{1}{3} & 0 & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{5} : 15 \\ 0 & \bruch{1}{6} & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{5} : 14\\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{6} & 0 & \bruch{1}{5} : 12}[/mm]
>
>
> Meine die Frage ist, wie kann ich diese Matrix
> systematisch in eine Diagonalmatrix verwandeln?
>
> Es geht mir also nicht (nur) um die Umwandlung in eine
> Dreiecksmatrix,
> sondern um Zeilen, in denen auf der linken Seite jeweils
> nur an einer Stelle eine Zahl ungleich null steht.
Also willst du die Matrix auf Diagonalgestalt bringen.
>
> Wie könnte ich da am einfachsten vorgehen?
>
> Meine Lösungsvariante funktioniert, das weiss ich, aber
> darum geht es mir nicht...
>
> [mm]\pmat{ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{6} & \bruch{1}{4} & 0 : 13 }[/mm]
> *(-1)
> [mm]\pmat{ \bruch{1}{3} & 0 & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{5} : 15 }[/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & \bruch{1}{6} & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{5} : 14 }[/mm]
> [mm]\pmat{ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{6} & 0 & \bruch{1}{5} : 12}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -\bruch{1}{3} & -\bruch{1}{6} & -\bruch{1}{4} & 0 : -13 }[/mm]
> [mm]\pmat{ \bruch{1}{3} & 0 & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{5} : 15 }[/mm]
> II+I
> [mm]\pmat{ 0 & \bruch{1}{6} & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{5} : 14 }[/mm]
> [mm]\pmat{ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{6} & 0 & \bruch{1}{5} : 12}[/mm]
> IV+I
>
> [mm]\pmat{ -\bruch{1}{3} & -\bruch{1}{6} & -\bruch{1}{4} & 0 : -13 }[/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & -\bruch{1}{6} & 0 & \bruch{1}{5} : 2 }[/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & \bruch{1}{6} & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{5} : 14 }[/mm]
> III+II
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & -\bruch{1}{4} & \bruch{1}{5} : -1}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -\bruch{1}{3} & -\bruch{1}{6} & -\bruch{1}{4} & 0 : -13 }[/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & -\bruch{1}{6} & 0 & \bruch{1}{5} : 2 }[/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & \bruch{1}{4} & \bruch{2}{5} : 16}[/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & -\bruch{1}{4} & \bruch{1}{5} : -1}[/mm] IV +
> III
>
> [mm]\pmat{ -\bruch{1}{3} & -\bruch{1}{6} & -\bruch{1}{4} & 0 : -13 }[/mm]
> *(-12)
> [mm]\pmat{ 0 & -\bruch{1}{6} & 0 & \bruch{1}{5} : 2 }[/mm] *30
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & \bruch{1}{4} & \bruch{2}{5} : 16}[/mm] *20
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & \bruch{3}{5} : 15} *\bruch{5}{3}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 4 & 2 & 3 & 0 : 156 }[/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & -5 & 0 & 6 : 60 }[/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 5 & 8 : 320}[/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 : 25}[/mm]
>
Die einzelnen Rechnungen habe ich nicht überprüft.
Rechne nun [mm] $III-8\cdot{}IV$ [/mm] und [mm] $II-6\cdot{}IV$
[/mm]
Nun musst du noch versuchen in der 3. Spalte in der 1. und 2. Zeile versuchen Nullen zu bekommen. Ich denke, dass schaffst du alleine 
> d= 25
>
> 5c +8d = 320
>
> c= 24
>
> -5b +6d = 60
>
> b= 18
>
> 4a +2b +3c = 156
>
> a= 12
>
> Wie gesagt, wie kann ich vorgehen, wenn ich die
> Gleichungsumformungen am Ende vermeiden will?
>
> Danke & Gruß
> Wolfgang
>
Gruß Patrick
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Do 12.02.2009 | | Autor: | hase-hh |
Ok, aber wie geht das allgemein?
Ich suche nach einer einfachen, systematischen Lösungsvariante, ausgehend von der gegebenen Matrix,
oder auch ein einfaches Beispiel... mit kurzer Erklärung?
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 01:20 Fr 13.02.2009 | | Autor: | max3000 |
Das selbe musst du doch jetzt eigentlich nur nochmal von unten her machen.
Also [mm] III=III-\bruch{a_{34}}{a_{44}}*VI [/mm] und so weiter. Da kannst du die oberen Nebendiagonalen eliminieren.
Eine andere Erklärung wäre vielleicht noch, dass du die Zeilen und Spalten der erhaltenen Dreiecksmatrix so vertauschst, dass sie die Form
[mm] \pmat{x & 0 & 0 & 0 \\ x & x & 0 & 0 \\ x & x & x & 0 \\ x & x & x & x}
[/mm]
hat. Im Endeffekt nur spiegeln um die Achse / (ist das verständlich?). Dann wendest du deinen Algorithmus von oben nochmal darauf an.
Ist beides im Prinzip das selbe. Nur einmal von unten mit dem Standardalgorithmus, oder halt erst vertauschen und dann wieder von oben auseliminieren mit dem Standardalgorithmus.
Hoffe das war irgendwie verständlich.
Schönen Gruß.
Max
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:32 Fr 13.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Max,
ich bin zu müde, um etwas Handfestes dazu zu schreiben, aber ich stimme Dir vorerst nur zur Hälfte zu:
> Das selbe musst du doch jetzt eigentlich nur nochmal von
> unten her machen.
> Also [mm]III=III-\bruch{a_{34}}{a_{44}}*VI[/mm] und so weiter. Da
> kannst du die oberen Nebendiagonalen eliminieren.
Nämlich bis hier. Das ist richtig gedacht. Im Prinzip ist diese Umformung der Matrix ja nur die Verallgemeinerung des Lösungsprinzips über das Einsetzen der schon ermittelten Werte.
Schwierig wird es ab hier:
> Eine andere Erklärung wäre vielleicht noch, dass du die
> Zeilen und Spalten der erhaltenen Dreiecksmatrix so
> vertauschst, dass sie die Form
>
> [mm]\pmat{x & 0 & 0 & 0 \\ x & x & 0 & 0 \\ x & x & x & 0 \\ x & x & x & x}[/mm]
>
> hat. Im Endeffekt nur spiegeln um die Achse / (ist das
> verständlich?). Dann wendest du deinen Algorithmus von oben
> nochmal darauf an.
> Ist beides im Prinzip das selbe.
Das kann man wohl nicht sagen. Im Prinzip hieße das ja, dass ich ohne die Spiegelung, genauer Transposition, den Gaußalgorithmus jetzt auf die Spalten anwende - denn die Zeilen der transponierten Matrix entsprechen ja den Spalten der ursprünglichen. Da der Gauß-Algorithmus auch Vertauschungen von Zeilen erlaubt, entsteht hier doch ein Problem.
> Nur einmal von unten mit
> dem Standardalgorithmus, oder halt erst vertauschen und
> dann wieder von oben auseliminieren mit dem
> Standardalgorithmus.
ersteres ja, das zweite aber m.E. nicht.
> Hoffe das war irgendwie verständlich.
>
> Schönen Gruß.
>
> Max
Liebe Grüße,
reverend
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 08:49 Fr 13.02.2009 | | Autor: | angela.h.b. |
> Das selbe musst du doch jetzt eigentlich nur nochmal von
> unten her machen.
> Also [mm]III=III-\bruch{a_{34}}{a_{44}}*VI[/mm] und so weiter. Da
> kannst du die oberen Nebendiagonalen eliminieren.
Hallo,
das wäre die übliche Vorgehensweise, ich glaube, man nennt es erweiterter Gauß- Algorithmus.
Wenn man Gauß kann, kapiert man das auch recht schnell, und man kommt ohne selbstgestellte Fallen zum Ergebnis.
>
> Eine andere Erklärung wäre vielleicht noch, dass du die
> Zeilen und Spalten der erhaltenen Dreiecksmatrix so
> vertauschst,
Vor dem hier vorgeschlagenen Tun möchte ich eindringlich warnen.
Das Vertauschen von Zeilen ist kein Problem.
Den Spaltentausch könnte man durchführen, damit einher geht allerdings eine Umbenennung der Variablen, dessen sollte man sich bewußt sein, und es ist gewiß erwähnenswert.
Man hat also einen ziemlichen Aufwand: Matrix umschreiben, notieren, was die neuen mit den alten Variablen zu tun haben - aber funktionieren tut's.
> dass sie die Form
>
> [mm]\pmat{x & 0 & 0 & 0 \\ x & x & 0 & 0 \\ x & x & x & 0 \\ x & x & x & x}[/mm]
>
> hat. Im Endeffekt nur spiegeln um die Achse / (ist das
> verständlich?).
Mit "Spiegeln" läuft hier allerdings überhaupt gar nichts. man bräuchte ja auch eine Anweisung, was mit der rechten Spalte geschehen soll.
Wenn man das GS [mm] \pmat{ 1 & 2 &3 & &|4\\ 0 & 5 &6 & &|7\\ 0 & 0 &8 & &|9} [/mm] vorliegen hat,
ist das doch etwas völlig anderes als [mm] \pmat{ 1 & 0 &0 & &|4\\ 2 & 5 &0 & &|7\\ 3 & 6&8 & &|9} [/mm] ,
und ich müßte wohl schwer nachdenken, und den Zusammenhang zwischen der Lösung des Ursprungssystems zu der Lösung dieses Systems herzustellen.
Gruß v. Angela
> Dann wendest du deinen Algorithmus von oben
> nochmal darauf an.
> Ist beides im Prinzip das selbe. Nur einmal von unten mit
> dem Standardalgorithmus, oder halt erst vertauschen und
> dann wieder von oben auseliminieren mit dem
> Standardalgorithmus.
>
> Hoffe das war irgendwie verständlich.
>
> Schönen Gruß.
>
> Max
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 10:55 Fr 13.02.2009 | | Autor: | max3000 |
Ja, du hast schon recht.
Ist zu Umständlich mit Variablen vertauschen und so.
Das würde Sinn machen wenn man die Matrixform wieder auf die Gleichungsform zurückführt und dann hin und hertauscht.
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