Gauß < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
Ich muss folgende drei Aufgaben mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren lösen.
http://img129.imageshack.us/img129/2363/231006py6.jpg
Bei 1) Ist mir die Vorgehensweise klar. Ich schreib das ganze als Matrix hin und rechne solange, bis ich in einer Zeile zwei Nullen in einer Zeile eine Null und in der dritten Zeile keine Null habe.
Dann schreib ich für das Ganze wieder Gleichungen hin und kann x1, x2 und x3 ausrechnen. Daran erkennne ich dann, ob lin. abh. oder lin. unabh.
Meine Fragen hab ich jetzt zu 2) und 3). Bei 2) hab ich ja jetzt 4 Vektoren, wie geht's dann da?
Bei 3) hab ich ja ein inhomogenes Lineares Gleichungssystem; wie lös ich jetzt das?
Vielen Dank für eure Hilfe!!!
Christopher
|
|
| |
|
Die Aufgabe 3 wird auch nach Gauß gelöst, es entstehen aber zwei Parameter, System als Matrix schreiben:
1. Zeile: 1 2 3 1 2
2. Zeile: 2 -4 -1 3 3
3. Zeile: -2 -12 -13 -1 -5
4. Zeile: 7 6 14 8 13
Neue Matrix bilden:
1. Zeile: 1 2 3 1 2
2. Zeile: 0 -16 -14 2 -2 2. Zeile plus 3. Zeile
3. Zeile: -2 -12 -13 -1 -5
4. Zeile: 0 8 7 -1 1 7 mal 1. Zeile minus 4. Zeile
Neue Matrix bilden:
1. Zeile: 1 2 3 1 2
2. Zeile: 0 -16 -14 2 -2
3. Zeile: 0 -8 -7 1 -1 2 mal 1. Zeile plus 3. Zeile
4. Zeile: 0 0 0 0 0 2. Zeile plus 2 mal 4. Zeile
man erkennt, dass die zweite Zeile das Doppelte der 3. Zeile ist, man kann bilden:
[mm] -8x_2-7x_3+x_4=-1 [/mm] (aus der 3. Zeile)
es gibt also zwei Parameter: [mm] x_4=s [/mm] und [mm] x_3=t
[/mm]
diese in die 3. Zeile einsetzen, nach [mm] x_2 [/mm] umstellen, [mm] x_2=-\bruch{7}{8}t+\bruch{1}{8}s+\bruch{1}{8}
[/mm]
damit in die 1. Gleichung, man erhält [mm] x_1=\bruch{7}{4}-\bruch{5}{4}t-\bruch{5}{4}s,
[/mm]
wenn Du mit allen vier Gleichungen die Probe machst heben sich die Parameter auf.
Viel Erfolg Steffi21
|
|
|
| |
|
und wie schaut's mit der 2. Aufgabe aus?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Fr 27.10.2006 | | Autor: | ron |
Hallo Chris,
der Gaussalgorithmus führt auf die Bestimmung des Ranges einer Matrix, in deinen Worten besitzt die Matrix vollen Rang wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind, dann ex. eine Lösung des homogenen Linearen Gleichungssystems (LGS) A x = 0
Jetzt ist es zweckmäßig den Algorithmus, vergleiche erste Antwort, auf die Spaltenelemente unterhalb oder oberhalb der Hauptdiagonalen zu beziehen. Dann ist dein Ziel eine untere Dreiecksmatrix zu "erzeugen" , sieht so aus für eine 4 x 4 Matrix
[mm] \pmat{1 & * & * & * \\ 0 & 1 & * & * \\ 0 & 0 & 1 & * \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
Die Einträge * sind irgendwelche Zahlen [mm] a_{ij} \in \IR [/mm] die sich ergeben bei dem Algorithmus. Jetzt kann diese Matrix auf jeden Fall in eine Diagonalmatrix, mit lauter 1 auf der Hauptdiagonalen sonst nur Nullen überführt werden. Die Matrix hat dann vollen Rang und die Vektoren sind linear unabhängig.
Jetzt kommt es wie in Aufgabe 3 vor, dass Zeilen identisch sind (also Vektoren linear abhängig sind!), dann kann keine eindeutige Lösung abgegeben werden, aber eine Lösungsmenge in Abhängigkeit von Parametern (in aufgabe 3 waren es s und t [mm] \in \IR [/mm] ).
Zum besseren Verständnis schaue hier nach:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F-Algorithmus
Gruß
Ron
|
|
|
|
