Gauß Quadraturformel(Numerik) < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Integral: I(f) = [mm] \integral_{-1}^{1}{f(t) dt}
[/mm]
Quadraturformel: Q(f) [mm] =b_0 f(t_0)+b_1 f(t_1)+b_2 f(t_2)+b_3 f(t_3)
[/mm]
[mm] b_0=-1, t_1=-\bruch{1}{5}\wurzel{5}, t_2=\bruch{1}{5}\wurzel{5}, t_3=1
[/mm]
(a) Gewichte bestimmen, Q(f) mindestens Ordnung 4
(b) Welche Ordnung hat Q(f)? |
Hallo,
erstmal muss ich mich für die doch nicht ganz genauen Aufgabenstellungen entschuldigen, ich hab die Aufgabe schnell noch in einer Klausur abgeschrieben, weil ich sie nicht lösen konnte.
Ich hab nun wirklich lang nach einer ähnlichen Aufgabe gesucht, leider ohne Erfolg. Auch unser Skript gibt dazu leider nichts Preis.
Könnte mir Jemand erklären, was ich eigentlich tun soll? Und vorallem wie ich das machen soll? Auch der Artikel bei Wikipedia hilft mir leider nicht wirklich. Wäre sehr dankbar über jegliche Information! Ich wäre auch dankbar über ein verständliches Beispiel, so das ich es auf meine Aufgabe ableiten könnte.
Gruß
|
|
| |
|
anstatt [mm] b_0=-1 [/mm] sollte es bestimmt [mm] t_0=-1 [/mm] heißen !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 Sa 02.10.2010 | | Autor: | Leipziger |
Ja, stimmt, Tippfehler, aber leider weiß ich immernoch nicht, was zu tun ist!
|
|
|
| |
|
Hallo Leipziger,
> Integral: I(f) = [mm]\integral_{-1}^{1}{f(t) dt}[/mm]
>
> Quadraturformel: Q(f) [mm]=b_0 f(t_0)+b_1 f(t_1)+b_2 f(t_2)+b_3 f(t_3)[/mm]
>
> [mm]b_0=-1, t_1=-\bruch{1}{5}\wurzel{5}, t_2=\bruch{1}{5}\wurzel{5}, t_3=1[/mm]
>
> (a) Gewichte bestimmen, Q(f) mindestens Ordnung 4
> (b) Welche Ordnung hat Q(f)?
> Hallo,
>
> erstmal muss ich mich für die doch nicht ganz genauen
> Aufgabenstellungen entschuldigen, ich hab die Aufgabe
> schnell noch in einer Klausur abgeschrieben, weil ich sie
> nicht lösen konnte.
>
> Ich hab nun wirklich lang nach einer ähnlichen Aufgabe
> gesucht, leider ohne Erfolg. Auch unser Skript gibt dazu
> leider nichts Preis.
>
> Könnte mir Jemand erklären, was ich eigentlich tun soll?
> Und vorallem wie ich das machen soll? Auch der Artikel bei
> Wikipedia hilft mir leider nicht wirklich. Wäre sehr
> dankbar über jegliche Information! Ich wäre auch dankbar
> über ein verständliches Beispiel, so das ich es auf meine
> Aufgabe ableiten könnte.
Das Vorgehen ist ![[]](/images/popup.gif) hier auf Seite 206 beschrieben.
Wobei hier, meines Erachtens, nur die
Gewichte [mm]b_{i}, \ i=0,1,2,3[/mm] zu berechnen sind
>
> Gruß
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 So 03.10.2010 | | Autor: | Leipziger |
Vielen Dank Mathepower, das sieht endlich mal vernünftig aus!
Ich schaus mir an, wenn ich noch Fragen haben sollte meld ich mich.
Gruß Leipziger
|
|
|
| |
|
okay ich habe jetzt die gewichte berechnet und komme auf
[mm] b_0=\bruch{1}{6}, b_1=\bruch{1}{2}, b_2=\bruch{1}{2}, b_3=b_1=\bruch{1}{6} [/mm]
stimmt das soweit?
Jetzt hab ich aber noch nen Problem, ich soll ja die Gauß-Quadratur (Q(f) $ [mm] =b_0 f(t_0)+b_1 f(t_1)+b_2 f(t_2)+b_3 f(t_3) [/mm] $) aufstellen, ich hab jetzt also meine b's und meine t's aber wo nehm ich die Funktion f her ... ist f das Produkt was ich immer integriere?
Gruß Leipziger
|
|
|
| |
|
Hallo Leipziger,
> okay ich habe jetzt die gewichte berechnet und komme auf
>
> [mm]b_0=\bruch{1}{6}, b_1=\bruch{1}{2}, b_2=\bruch{1}{2}, b_3=b_1=\bruch{1}{6}[/mm]
[mm]b_{0}[/mm] und [mm]b_{3}[/mm] stimmen.
Für [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] habe ich etwas anderes heraus.
>
> stimmt das soweit?
>
> Jetzt hab ich aber noch nen Problem, ich soll ja die
> Gauß-Quadratur (Q(f) [mm]=b_0 f(t_0)+b_1 f(t_1)+b_2 f(t_2)+b_3 f(t_3) [/mm])
> aufstellen, ich hab jetzt also meine b's und meine t's aber
> wo nehm ich die Funktion f her ... ist f das Produkt was
> ich immer integriere?
Der Integrand f läßt sich darstellen als:
[mm]f\left(x\right)=f\left(x\right)*w\left(x\right)[/mm]
mit [mm]w\left(x\right)=1[/mm]
>
> Gruß Leipziger
>
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Mh, Mathepower... also ich hab gerade noch mal mein [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_3 [/mm] berechnet und komme wieder auf das gleiche ergebnis... ist es denn bei mir ein Vorzeichenfehler, oder ist mein komplettes Ergebnis falsch?
Und zu deiner Beschreibung des Integranden, ich bin ehrlich, das hilft mir nicht wirklich.
Was ist jetzt f(x) ? Das war ja vorher meine Frage, und irgendwie kann ich mit deiner Antwort nicht viel anfangen.
Ist f(x)= [mm] \produkt_{j=1}^{n} \bruch{x-x_j}{x_i-x_j} [/mm] ?
Gruß Leipziger
|
|
|
| |
|
Hallo Leipziger,
> Mh, Mathepower... also ich hab gerade noch mal mein [mm]b_1[/mm] und
> [mm]b_3[/mm] berechnet und komme wieder auf das gleiche ergebnis...
> ist es denn bei mir ein Vorzeichenfehler, oder ist mein
> komplettes Ergebnis falsch?
Poste doch die zu den Gewichten gehörenden Integranden.
Damit sind schliesslich die Gewichte [mm]b_{i}, \ i=0,1,2,3[/mm] berechnet worden.
>
> Und zu deiner Beschreibung des Integranden, ich bin
> ehrlich, das hilft mir nicht wirklich.
>
> Was ist jetzt f(x) ? Das war ja vorher meine Frage, und
> irgendwie kann ich mit deiner Antwort nicht viel anfangen.
>
> Ist f(x)= [mm]\produkt_{j=1}^{n} \bruch{x-x_j}{x_i-x_j}[/mm] ?
>
Nein.
>
> Gruß Leipziger
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
So
[mm] w_1=\integral_{-1}^{1}{\bruch{(x-1)(x+1)(x-\bruch{1}{5}\wurzel{5})}{(-\bruch{1}{5}\wurzel{5}+1)(\bruch{1}{5}\wurzel{5}-1)(-\bruch{2}{5}\wurzel{5}) dx}=\bruch{1}{\bruch{8*\wurzel{5}}{15}}*\bruch{4*\wurzel{5}}{15}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] wobei [mm] \bruch{4*\wurzel{5}}{15} [/mm] die Stammfunktion mit den schon eingesetzen Grenzen ist..
Aber Mathepower, wie kann ich nun [mm] f(t_0) [/mm] z.b. aufschreiben?
Gruß Leipziger
|
|
|
| |
|
Hallo Leipziger,
> So
>
> [mm]w_1=\integral_{-1}^{1}{\bruch{(x-1)(x+1)(x-\bruch{1}{5}\wurzel{5})}{(-\bruch{1}{5}\wurzel{5}+1)(\bruch{1}{5}\wurzel{5}-1)(-\bruch{2}{5}\wurzel{5}) dx}=\bruch{1}{\bruch{8*\wurzel{5}}{15}}*\bruch{4*\wurzel{5}}{15}}[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]w_1=\integral_{-1}^{1}{\bruch{(x-1)(x+1)(x-\bruch{1}{5}\wurzel{5})}{(-\bruch{1}{5}\wurzel{5}+1)(\red{-}\bruch{1}{5}\wurzel{5}-1)(-\bruch{2}{5}\wurzel{5})} dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2},[/mm] wobei [mm]\bruch{4*\wurzel{5}}{15}[/mm] die
> Stammfunktion mit den schon eingesetzen Grenzen ist..
>
> Aber Mathepower, wie kann ich nun [mm]f(t_0)[/mm] z.b. aufschreiben?
Der Integrand f ist nicht gegegeben, insofern ist [mm]f(t_0)[/mm]
auch nicht anzugeben.
>
> Gruß Leipziger
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ja, du hast recht, das "-" hatte ich vergessen einzutippen... aber das Ergebnis ist trotzdem das, was ich auch berechnet habe, also es kommt bei mir immernoch [mm] b_1=\bruch{1}{2} [/mm] heraus.
Und ich denke, laut Aufgabenstellung, ich soll
Q(f)= [mm] b_0 f(t_0)+b_1 f(t_1)+b_2 f(t_2)+b_3 f(t_3)
[/mm]
aufstellen, mit mindestens Ordnung 4. Dafür bräuchte ich aber doch f(t) oder nicht? Steh ich grad so auf dem Schlauch?^^
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Leipziger,
> Ja, du hast recht, das "-" hatte ich vergessen
> einzutippen... aber das Ergebnis ist trotzdem das, was ich
> auch berechnet habe, also es kommt bei mir immernoch
> [mm]b_1=\bruch{1}{2}[/mm] heraus.
Bei mir kommt immer noch was anderes heraus.
>
> Und ich denke, laut Aufgabenstellung, ich soll
> Q(f)= [mm]b_0 f(t_0)+b_1 f(t_1)+b_2 f(t_2)+b_3 f(t_3)[/mm]
>
> aufstellen, mit mindestens Ordnung 4. Dafür bräuchte ich
> aber doch f(t) oder nicht? Steh ich grad so auf dem
> Schlauch?^^
>
> Gruß
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Okay, haben nen Fehler gefunden. ENDLICH :D
Also nun komm ich auf [mm] \bruch{5}{6}, [/mm] ich hoffe das stimmt?
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Leipziger,
> Okay, haben nen Fehler gefunden. ENDLICH :D
>
> Also nun komm ich auf [mm]\bruch{5}{6},[/mm] ich hoffe das stimmt?
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Gruß
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ich danke dir, für deine Geduld, einmal verrechnen und man macht immer wieder den gleichen Fehler..
Aber was mach ich nun mit Q(f), ich kann also die Quadraturformel gar nicht aufstellen, weil mir ja f(t) fehlt, oder?
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Leipziger,
> Ich danke dir, für deine Geduld, einmal verrechnen und man
> macht immer wieder den gleichen Fehler..
>
> Aber was mach ich nun mit Q(f), ich kann also die
> Quadraturformel gar nicht aufstellen, weil mir ja f(t)
> fehlt, oder?
Die Quadraturformel ist ja gegeben.
Hier waren nur noch die Gewichte [mm]b_{i}, \ i=0,1,2,3[/mm] zu berechnen.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Leipziger |
Alles klar, dankeschön!
Gruß Leipziger, und schönen Abend
|
|
|
|
