Gauss Verfahren < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Jule_ |
| Aufgabe | Ein Schiff hat doppelt so viel Passagiere wie Kabinen. Anzahl Passagiere und Anzahl Servicepersonal ist um 30 weniger als 3-fache Anzahl Kabinen. Anzahl Kabinen, der Passagiere und des Servicepersonals beträgt zusammen das fünfache des Alters des Kapitäns. Anzahl Kabinen und Servicepers. plus Alter des Kapitäns übertrifft die Anzahl der Passagiere um 20.
Gesucht: p = Passgiere; k = Kabinen; s = Service; a = Alter Kapitän |
Hallo, ich habe die Aufgabe wie folgt gelöst:
Gleichungen sind schon umgestellt.
I -p+s+k+a=20
II p+s+k-5a=0
III p+s-3k =-30
IV p-2k =0
IIa=II+I 2s+2k-4a=20
IIIa=II-III 4k-5a=30
IVa=III-IV s-k=-30
IIb=IIa-2IV 4k-a=80
IIIb=IIIa-IIb -a=-50
a=50
weiter einsetzen ergibt: k=70; s=40; p=140
Ich habe den Eindruck dass ich das Ganze ziemlich umständlich gelöst habe und die Bezeichnungen der resultierenden Gleichungen auch nicht stimmen. Habe es nur durch Probieren rausbekommen und somit schon etwas länger gebraucht.
Ich denke auch nicht, dass ich das Gauss Verfahren angewandt habe, oder?
Bitte um Korrektur bzw. Hilfe wie es einfacher (vielleicht nach Schema F) geht.
Danke im voraus
PS: wir durften nicht mit GTR lösen!!
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Hallo Jule,
> Ein Schiff hat doppelt so viel Passagiere wie Kabinen.
> Anzahl Passagiere und Anzahl Servicepersonal ist um 30
> weniger als 3-fache Anzahl Kabinen. Anzahl Kabinen, der
> Passagiere und des Servicepersonals beträgt zusammen das
> fünfache des Alters des Kapitäns. Anzahl Kabinen und
> Servicepers. plus Alter des Kapitäns übertrifft die Anzahl
> der Passagiere um 20.
> Gesucht: p = Passgiere; k = Kabinen; s = Service; a = Alter
> Kapitän
> Hallo, ich habe die Aufgabe wie folgt gelöst:
> Gleichungen sind schon umgestellt.
>
> I -p+s+k+a=20
> II p+s+k-5a=0
> III p+s-3k =-30
> IV p-2k =0
>
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> IIa=II+I 2s+2k-4a=20
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> IIIa=II-III 4k-5a=30
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> IVa=III-IV s-k=-30
>
> IIb=IIa-2IV 4k-a=80
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> IIIb=IIIa-IIb -a=-50
> a=50
>
> weiter einsetzen ergibt: k=70; s=40; p=140
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich habe den Eindruck dass ich das Ganze ziemlich
> umständlich gelöst habe und die Bezeichnungen der
> resultierenden Gleichungen auch nicht stimmen. Habe es nur
> durch Probieren rausbekommen und somit schon etwas länger
> gebraucht.
> Ich denke auch nicht, dass ich das Gauss Verfahren
> angewandt habe, oder?
>
> Bitte um Korrektur bzw. Hilfe wie es einfacher (vielleicht
> nach Schema F) geht.
Zunächst wissen wir, dass nach (IV)[mm] p=2k[/mm], dies in Gleichung (III)eingesetzt ergibt:
[mm]p+s-3k=-30 \Rightarrow s=3k-30+p=k-30 [/mm]
Dieses wiederum in Gleichung (I) eingesetzt:
[mm]k+s+a-p=20\Rightarrow a=p+20-k-s=2k+20-k-\left ( k - 30 \right ) = 50[/mm]
Aus Gleichung (II) ergibt sich k die Anzahl der Kabinen:
[mm]p+s+k=5a \gdw 2k+k-30+k=250 \gdw 4k-30=250 \Rightarrow k=70 \Rightarrow p=2k=140, s=k-30=40[/mm]
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> Danke im voraus
>
> PS: wir durften nicht mit GTR lösen!!
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Jule_ |
.....und wenn ich das Ganze mit dem Gauss Verfahren lösen muss d.h. in Stufenform bringen muss???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Jule_ |
Hat keiner mehr Lust mir zu helfen?
Bin für jeden Tipp dankbar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Fr 08.02.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo Jule,
> Hat keiner mehr Lust mir zu helfen?
Doch schon.
> Bin für jeden Tipp dankbar!
Gruß
MathePower
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Hallo Jule,
> .....und wenn ich das Ganze mit dem Gauss Verfahren lösen
> muss d.h. in Stufenform bringen muss???
Dann machste das am besten in Form von einer Matrix. Die nimmste her und fuehrst die Zeilen-/Spaltenmanipulationen durch, bis letztendlich die Stufenform erreicht ist.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Jule_ |
Leider habe ich nur wage Ahnung wie das geht. Wäre lieb, wenn du es mir zeigen könntest!!
Gruß
Jule
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Hallo Jule,
> Leider habe ich nur wage Ahnung wie das geht. Wäre lieb,
> wenn du es mir zeigen könntest!!
So, Du hast also die Gleichungen (I) bis (IV). Übersetzt in eine Matrix sieht das so aus:
[mm]\pmat{ -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -5 \\ 1 & 1 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & 0} * \pmat{ p \\ s \\ k \\ a} = \pmat{ 20 \\ 0 \\ -30 \\ 0}[/mm]
Vertauschen wir nun die letzte Spalte mit der ersten:
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & -1 \\ -5 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1} * \pmat{ a \\ s \\ k \\ p} = \pmat{ 20 \\ 0 \\ -30 \\ 0}[/mm]
Multiplizieren wir nun die 1. Zeile mit 5 und addieren sie zur 2. Zeile:
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 6 & 6 & -4 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1} * \pmat{ a \\ s \\ k \\ p} = \pmat{ 20 \\ 100 \\ -30 \\ 0}[/mm]
Dividieren wir nun die 2. Zeile durch 2:
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1} * \pmat{ a \\ s \\ k \\ p} = \pmat{ 20 \\ 50 \\ -30 \\ 0}[/mm]
Vertauschen wir dann die 2. Zeile mit der 3. Zeile:
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & 3 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & 1} * \pmat{ a \\ s \\ k \\ p} = \pmat{ 20 \\ -30 \\ 50 \\ 0}[/mm]
Subtrahieren wir nun das 3-fache der 2. Zeile von der 3. Zeile:
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 12 & -5 \\ 0 & 0 & -2 & 1} * \pmat{ a \\ s \\ k \\ p} = \pmat{ 20 \\ -30 \\ 140 \\ 0}[/mm]
Vertauschen wir die 3. Zeile mit der 4. Zeile:
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 12 & -5} * \pmat{ a \\ s \\ k \\ p} = \pmat{ 20 \\ -30 \\ 0\\ 140}[/mm]
Addieren wir nun das 6-fache der 3. Zeile zur 4.Zeile:
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1} * \pmat{ a \\ s \\ k \\ p} = \pmat{ 20 \\ -30 \\ 0\\ 140}[/mm]
So, jetzt haben wir die Stufenform erreicht.
Das Ganze kann man auch noch so machen, daß die Lösung da steht:
Addiere das (-1)-fache der 4. Zeile zur 3. Zeile,
Addiere das (-1)-fache der 4. Zeile zur 2. Zeile,
Addiere die 4. Zeile zur 3. Zeile:
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} * \pmat{ a \\ s \\ k \\ p} = \pmat{ 160 \\ -170 \\ -140 \\ 140}[/mm]
Division der 3. Zeile durch 2:
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} * \pmat{ a \\ s \\ k \\ p} = \pmat{ 160 \\ -170 \\ 70 \\ 140}[/mm]
Addiere das 3-fache der 3. Zeile zur 2. Zeile und
addiere das (-1)-fache der 3. Zeile zur 1. Zeile:
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} * \pmat{ a \\ s \\ k \\ p} = \pmat{ 90 \\ 40 \\ 70 \\ 140}[/mm]
Addiere das (-1)-fache der 2. Zeile zur 1. Zeile:
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} * \pmat{ a \\ s \\ k \\ p} = \pmat{ 50 \\ 40 \\ 70 \\ 140}[/mm]
Alle diese Zeilen-/Spaltenmanipulationen verändern die Lösungsmenge des Gleichungssytems nicht.
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> Gruß
> Jule
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Jule_ |
Vielen Dank!! 
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