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Hallo Leute
Ich bin mir euch der Begriff Gauss'sche Elimination etwas. Nun soll ich das auf das folgende anwenden:
[mm] 3x+4y+7z=b_3
[/mm]
[mm] x+2y+z=b_2
[/mm]
[mm] ax+y+(a+1)z=b_1
[/mm]
Also:
[mm] \pmat{ 3 & 4 & 7 & b_3 \\ 1 & 2 & 1 & b_2 \\ a & 1 & a+1 & b_1}
[/mm]
Mein Vorgehen bis jetzt war: In der ersten Zeile mal [mm] \bruch{1}{3} [/mm] zu rechnen. Dann habe ich die erste Zeile mal -1 gerechnet und es mit der 2.Zeile addiert.
Stimmt das? Oder gebe es einen einfacheren/richtigen Beginn?
Gruss
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Hallo blackkilla,
> Hallo Leute
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> Ich bin mir euch der Begriff Gauss'sche Elimination etwas.
> Nun soll ich das auf das folgende anwenden:
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> [mm]3x+4y+7z=b_3[/mm]
> [mm]x+2y+z=b_2[/mm]
> [mm]ax+y+(a+1)z=b_1[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]\pmat{ 3 & 4 & 7 & b_3 \\ 1 & 2 & 1 & b_2 \\ a & 1 & a+1 & b_1}[/mm]
>
> Mein Vorgehen bis jetzt war: In der ersten Zeile mal
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] zu rechnen. Dann habe ich die erste Zeile mal
> -1 gerechnet und es mit der 2.Zeile addiert.
>
> Stimmt das? Oder gebe es einen einfacheren/richtigen
Ja, das stimmt.
> Beginn?
>
> Gruss
Gruss
MathePower
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Hallo, um die Brüche zu umgehen, bilde eine neue 1. Zeile:
Zeile 1 minus 3 mal Zeile 2
Steffi
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Mal Zeile 2? Ist das erlaubt? Ich dachte bei der gaussschen Elimination darf man nur Zeilen miteinander addieren oder einzelne Zeile mit einem Faktor multiplizieren...
Wenn ich nun das a in der dritten Zeile loswerden will muss ich die erste Zeile mal -a rechnen und addieren?
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Du addierst dabei doch ;) "....3 mal Zeile 2...."
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Ich versteh das nicht ganz!^^
Also soll ich die 2. Zeile mal -3 rechnen und mit der ersten Zeile addieren?
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> Ich versteh das nicht ganz!^^
>
> Also soll ich die 2. Zeile mal -3 rechnen und mit der
> ersten Zeile addieren?
Hallo,
Du sollst nicht unbedingt, sondeern Du könntest.
ja, bei Deiner Startmatrix/dem StartLGS.
Der Unterschied zu Deinem Beginn ist nur klein, aber indem Du so wie oben rechnest, umgehst Du das Rechnen mit Brüchen.
Gruß v. Angela
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Ich habe im Buch gelesen, dass die Matrix sone Treppenform annehmen soll. Nach eurer Methode für ohne die Brüche würde in der ersten Zeile für x ein 0 stehen. Jedoch müsste das nur in der 2. und 3. zeile der Fall sein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Fr 27.05.2011 | | Autor: | mrkva |
<<Ich habe im Buch gelesen, dass die Matrix sone Treppenform annehmen <<soll. Nach eurer Methode für ohne die Brüche würde in der ersten Zeile <<für x ein 0 stehen. Jedoch müsste das nur in der 2. und 3. zeile der <<Fall sein.
Genau richtig, du musst die Matrix auf so eine Treppenform bekommen. Um aber das rechnen mit Bruchen zu vermeiden kannst du einzelne Zeilen auch vertauschen. Rechne es aber doch erst mal durch, wie es dir am einfachst passt.
Gruß
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Ok ich hab es jetzt anders gemacht. Da die zweite Zeile bereits ein 1 vorne für x hat. Hab ich es als neue erste Zeile gewählt.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & b_2 \\ 3 & 4 & 7 & b_3 \\ a & 1 & a+1 & b_1} [/mm]
Nun habe ich die erste Zeile mal -3 gerechnet und mit Zeile 2 addiert und die erste Zeile mit -a multipliziert und mit Zeile 3 addiert:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & b_2 \\ 0 & -2 & 4 & b_3-3b_2 \\ 0 & 1-2a & 1 & b_1-ab_2} [/mm]
Nun hab ich ma in den Lösungen nachgeschaut. Nach ihr sollte die Matrix nach der gauss'schen Elimination folgendermassen aussehen:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & b_2 \\ 0 & 1 & -2 & \bruch{3}{2}b_2-\bruch{1}{2}b_3 \\ 0 & 0 & 3-4a & b_1+(2a-\bruch{3}{2})b_2+(\bruch{1}{2}-a)b_3} [/mm]
So wies aussieht bin ich auf dem richtigen Weg. Um auf die Lösung zu kommen, müsste ich Zeile mit [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] multiplizieren. Doch wie komm ich auf die richtige Zeile 3?
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Hallo blackkilla,
> Ok ich hab es jetzt anders gemacht. Da die zweite Zeile
> bereits ein 1 vorne für x hat. Hab ich es als neue erste
> Zeile gewählt.
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> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & b_2 \\
3 & 4 & 7 & b_3 \\
a & 1 & a+1 & b_1}[/mm]
>
> Nun habe ich die erste Zeile mal -3 gerechnet und mit Zeile
> 2 addiert und die erste Zeile mit -a multipliziert und mit
> Zeile 3 addiert:
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & b_2 \\
0 & -2 & 4 & b_3-3b_2 \\
0 & 1-2a & 1 & b_1-ab_2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun hab ich ma in den Lösungen nachgeschaut. Nach ihr
> sollte die Matrix nach der gauss'schen Elimination
> folgendermassen aussehen:
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & b_2 \\
0 & 1 & -2 & \bruch{3}{2}b_2-\bruch{1}{2}b_3 \\
0 & 0 & 3-4a & b_1+(2a-\bruch{3}{2})b_2+(\bruch{1}{2}-a)b_3}[/mm]
>
> So wies aussieht bin ich auf dem richtigen Weg. Um auf die
> Lösung zu kommen, müsste ich Zeile mit [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
> multiplizieren. Doch wie komm ich auf die richtige Zeile
> 3?
Nun, ausgehend von der Matrix [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & b_2 \\
0 & -2 & 4 & b_3-3b_2 \\
0 & 1-2a & 1 & b_1-ab_2}[/mm] addiere zunächst mal
das [mm](1-2a)[/mm]-fache von Zeile 2 auf das [mm]2[/mm]-fache von Zeile 3.
Dann verschwindet der Eintrag [mm]a_{32}[/mm]. Anschließend kannst du in Zeile 2 mit [mm]-1/2[/mm] durchmultiplizieren, wie du es auch vorhattest.
Dann nur noch in der neuen dritten Zeile [mm] $\cdot{}1/2$ [/mm] und du hast die Darstellung oben
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank ich konnte dein Lösungsweg nachvollziehen. Warum kann ich nicht schon vorher die Zeile 2 mit [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] multiplizieren und dann noch mit (-1+2a) multiplizieren und dann zu Zeile 3 addieren?
Und wie gesagt habe ich diese Matrix ja der Lösung entnommen. Aber warum hört die hier auf? Muss nicht in der Zeile y und z 0 sein, in der Zeile 2 x und z 0 usw.?
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> Vielen Dank ich konnte dein Lösungsweg nachvollziehen.
> Warum kann ich nicht schon vorher die Zeile 2 mit
> [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] multiplizieren und dann noch mit (-1+2a)
> multiplizieren und dann zu Zeile 3 addieren?
Hallo,
das kannst Du auch machen.
>
> Und wie gesagt habe ich diese Matrix ja der Lösung
> entnommen. Aber warum hört die hier auf?
Weil die Matrix jetzt ZSF hat.
> Muss nicht in der
> Zeile y und z 0 sein, in der Zeile 2 x und z 0 usw.?
Für die ZSF ist das nicht erforderlich.
Aber wenn Du Lust hast, kannst Du noch weitermachen bis zur reduzierten ZSF.
Gruß v. Angela
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Was bedeutet ZSF? Und wie bemerke ich, dass ich es nun habe?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:16 So 29.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ZSF=Zeilen-Stufen-Form (manche sagen auch Treppenform. die hat deine angegebene Loesung.
Dann bist du fertig, weil du aus der letzten Zeile z, danach aus der vorletzten y und dann aus der ersten x ausrechnen kannst, wenn das System ne Loesung hat.
Vorsicht, wenn du beim Umformen mit parametern wie 1-2a multiplizierst oder dividierst, erst hinschreiben [mm] 1-2a\ne [/mm] 0
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:41 So 29.05.2011 | | Autor: | blackkilla |
Vielen Dank! Eure Tipps waren mir sehr behilflich!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:38 So 29.05.2011 | | Autor: | blackkilla |
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Die ursprüngliche Aufgabenstellung war eigentlich bei folgendem Gleichungssystem diejenigen Werte von a, für die sie eine eindeutige Lösung hat zu finden.
Das Gleichungssystem war ja:
ax + y + [mm] (a+1)z=b_1
[/mm]
[mm] x+2y+z=b_2
[/mm]
[mm] 3x+4y+7z=b_3
[/mm]
Dank eurer Hilfe bin ich schliesslich auf die Matrix gekommen, die ich brauchte. Nun heisst es das System hat nur dann eine (eindeutige) Lösung wenn [mm] a\not=\bruch{3}{4}. [/mm] Warum?
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Hallo, es wird durch 3-4a geteilt, für [mm] a=\bruch{3}{4} [/mm] wird durch Null geteilt, Steffi
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Was wird durch 3-4a geteilt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Mo 30.05.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Was wird durch 3-4a geteilt?
Du hast doch:
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & b_2 \\ 0 & 1 & -2 & \bruch{3}{2}b_2-\bruch{1}{2}b_3 \\ 0 & 0 & \red{3-4a} & b_1+(2a-\bruch{3}{2})b_2+(\bruch{1}{2}-a)b_3} [/mm] $
Um an der rot markierten Stelle eine 1 zu bekommte, teilst du die letzte Zeile durch 3-4a, das darfst du aber nur, wenn [mm] 3-4a\ne0\Leftrightarrow a\ne\frac{3}{4} [/mm] also musst du den Fall [mm] a=\frac{3}{4} [/mm] noch gesondert betrachten.
Marius
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