Gauß´sches Eliminationsverfahr < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Mi 31.01.2007 | | Autor: | MTBE |
| Aufgabe | Berechnen Sie in allen Fällen die Lösungen mit Elimination!
1. Für welches ß [mm] \in \IR [/mm] ist das Gleichungssystem lösbar oder eindeutig lösbar?
Berechnen Sie in allen Fällen die Lösungen mit Elimination!
2. Ist die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems für ß=1 invertierbar?
Wenn ja berechnen sie die Inverse.
Es handelt sich hierbei um eine Häufig gestellte Prüfungsfrage unseres Dozenten, jedoch habe ich bei dieser Frage keinen Lösungsansatz. |
x + y + ßz = ß
x + ßy + z = ß
ßx + y + z = 1
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Mi 31.01.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
sagt Dir das Gauß'sche Eliminationsverfahren denn überhaupt was?
Du musst das Gleichungssystem auf eine Stufendreiecksform umformen, dann kannst Du ablesen, ob das Gleichungssystem überhaupt lösbar ist, genau eine Lösung hat oder unendlich viele Lösungen besitzt.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Mi 31.01.2007 | | Autor: | MTBE |
Ja, das Gauß´sche Eliminationsverfahren sagt mir durchaus etwas...
Ich denke, dass die Stufendreiecksform bzw. Zeilenstufenform das gleiche ist, richtig?
man bringt die erweiterte Matrix
1 1 ß ß
1 ß 1 ß
ß 1 1 1
des Systems auf Zeilenstufenform
nur, was mache ich jetzt genau
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Mi 31.01.2007 | | Autor: | MTBE |
wie rechne ich nun mit der Zeilenstufenform weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Mi 31.01.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du musst durch umformen die Gleichung auf die Stufenform bringen. Danach kannst Du anhand der Werte auf der Diagonalen erkennen, ob die Gleichung eindeutig, nicht eindeutig oder unlösbar ist. Sind nämlich Nullen auf der Diagonalen ist das Gleichungssystem entweder nicht eindeutig lösbar oder unlösbar.
Die Umformungen sind wie folgt
[mm] \pmat{ 1 & 1 & \beta & \beta \\ 1 & \beta &1 & \beta \\ \beta & 1 & 1 & 1 } \to \pmat{ 1 & 1 & \beta & \beta \\ 0 & \beta-1 & 1-\beta & 0 \\ 0 & 1-\beta & 1-\beta^2 & 1-\beta^2 } \to \pmat{ 1 & 1 & \beta & \beta \\ 0 & \beta-1 & 1-\beta & 0 \\ 0 & 0 & 2-\beta-\beta^2 & 1-\beta^2 }
[/mm]
Jetzt muss man die Werte von [mm] \beta [/mm] bestimmen, für die ein Diagonalelement 0 werden kann.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mi 31.01.2007 | | Autor: | MTBE |
Herzlichen Dank für Deine Mühen.
Ich kann Deine Rechnungen nachvollziehen und hab das mit der Zeilenstufenform kapiert, verstehe jedoch nicht wie ich die einzelnen Werte für ß bestimmen soll. Was mache ich um festzustellen ob ich "Nullen auf der Diagonalen" habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Mi 31.01.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
in der 3. Zeile steht auf der Diagonalen ein Ausdruck der [mm] \beta [/mm] enthält. Das ist eine quadratische Gleichung die an bestimmten Stellen 0 wird. Diese Werte sind auszurechnen. Ebenso steht auf der 2. Zeile ein Ausdruck der [mm] \beta [/mm] enthält. Auch dafür kann man die Nullstellen bestimmen.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mi 31.01.2007 | | Autor: | MTBE |
In der zweiten Zeile ist 1 eine Nullstelle.
Setze ich in der dritten Zeile die beiden ß-Therme gleich und berechene die Nullstellen
2-ß-ß^{2} = 1-ß^{2} Nullstelle:1
oder berechen ich sie einzeln?
2-ß-ß^{2}=0 Nullstellen:-2;1
1-ß^{2}=0 Nullstelle: 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Mi 31.01.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du musst nur die Nullstellen der Diagonalen berechnen, also das (3,3) Element und nichts gleichsetzten.
Also sind die gesuchten Nullstellen 1 und -2. Jetzt musst Du diese Werte in die Dreiecksform einsetzten, und schauen welche Werte sich ergeben. Also, z.B. ist das (3,3) Element 0 für [mm] \beta=-2 [/mm] aber das (3,4) Element nicht, in diesem Fall gibt es keine Lösung, da die Aussage, bezogen auf das Gleichungssystem ja währe, 0*z=-3 was nicht geht.
Entsteht ein Ausdruck der Form 0=0, dann gibt es unendlich viele Lösungen. Z.B. für [mm] \beta=1
[/mm]
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mi 31.01.2007 | | Autor: | MTBE |
Ich verstehe nicht was mit dem Begriff der Diagonalen gemeint ist ("Nullstellen der Diagonalen") Handelt es sich hierbei immer um das (3,3) Element?
Setze ich nun für alle ß in meiner Matrix die Nullstellen 1, -2 ein und überprüfe die Lösungen?
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Hallo,
Ich verstehe nicht was mit dem Begriff der Diagonalen gemeint ist
Element 1. Zeile/ 1. Spalte
Element 2. Zeile/ 2. Spalte
Element 3. Zeile/ 3. Spalte
steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Mi 31.01.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
Also die Gleichung die zu untersuchen ist kann man doch in der Form
Ax=b mit
[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & \beta \\ 1 & \beta &1 \\ \beta & 1 & 1 } [/mm] und
[mm] b=\pmat{ \beta \\ \beta \\ 1 }
[/mm]
Nach der Transformation sieht die Matrix A wie folgt aus
[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & \beta \\ 0 & \beta-1 & 1-\beta \\ 0 & 0 & 2-\beta-\beta^2 } [/mm] und
[mm] b=\pmat{ \beta \\ 0 \\ 1-\beta^2 }
[/mm]
schreiben.
Der Begriff Diagonalelement bezieht sich auf die Elemente der Matrix A.
Wenn Du nun die Werte 1 und -2 für [mm] \beta [/mm] einsetzt stellt man fest, dass A(3,3)=0 gilt aber b(3,1) nur für [mm] \beta=1 [/mm] zu 0 wird.
Das bedeutet doch, wie vorher geschrieben, das für [mm] \beta=-2 [/mm] keine Lösung existieren kann. Und wenn man [mm] \beta=1 [/mm] einsetzt, stellt man fest das die Matrix A die wie folgt aussieht
[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 &1 \\ 1 & 1 & 1 }. [/mm] Hier sind alle Zeile linear abhängig, also ist die Matrix nicht zu invertieren. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Man kann allerdings auch noch die Dimension des Lösungsraums feststellen.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Mi 31.01.2007 | | Autor: | MTBE |
Ich denke, dass ich es begriffen habe.
Nochmal vielen herzlichen Dank für die Mühen und die Zeit die du geopfert und investiert hast.
Absolut Wahnsinn wie schnell die Antworten gekommen sind.
Einen schönen Abend noch.
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