Gaußfunktion integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Murray |
Hallo.
Ich bin momentan dabei das bestimmte Integral
[mm]\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, dx[/mm]
zu berechnen.
Dass man die Gaußfunktion nicht elementar integrieren kann ist mir klar, aber ich meine gelesen zu haben, dass man sie in den Grenzen integrieren kann und das dabei natürlich 1 heraus kommst. Soweit sogut. Nur wie genau integriert man die Funktion in ihren Grenzen?
Die möglich numerischer Integration finde ich nicht so "schön".
Wäre super wenn ihr mir helfen könnten.
lg Dominik
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Hallo Murray,
> Hallo.
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> Ich bin momentan dabei das bestimmte Integral
> [mm]\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, dx[/mm]
> zu berechnen.
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> Dass man die Gaußfunktion nicht elementar integrieren kann
> ist mir klar, aber ich meine gelesen zu haben, dass man sie
> in den Grenzen integrieren kann und das dabei natürlich 1
> heraus kommst. Soweit sogut. Nur wie genau integriert man
> die Funktion in ihren Grenzen?
Da gibt es einen Trick.
Berechne statt
[mm]\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, dx[/mm]
[mm]\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, dx\right)^{2}=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \ dx \ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\ dy=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2-y^{2}} \ dx \ dy[/mm]
Führe man Polarkoordinaten ein:
[mm]x=r*\cos\left(\varphi\right)[/mm]
[mm]y=r*\sin\left(\varphi\right)[/mm]
So wird daraus:
[mm]\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2-y^{2}} \ dx \ dy=\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2 \pi} r*e^{-r^{2}} \ d\varphi \ dr[/mm]
Und das kann man jetzt berechnen.
>
> Die möglich numerischer Integration finde ich nicht so
> "schön".
>
> Wäre super wenn ihr mir helfen könnten.
>
> lg Dominik
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Murray |
Ich danke :) Jetzt ist mir auch genau klar wie man mit diesem Trick umgeht. ;)
Damit ist mein Problem gelöst. Polarkoordinaten sind eben ne tolle Sache.
lg Dominik
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