Gaußklammer, [-x], [x] < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:14 Fr 16.03.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Man finde und beweise eine Formel, welche [ - x ] durch [ x ] ausdrückt (für x [mm] \in \IR [/mm] ) |
[2,5] =2
[-2,5]=-3
[1,5]=1
[-1,5]=-2
Meine Vermtung war: [-x] = [x] * (-1) -1
Jedoch [2] = 2
[-2] = -2
Also stimmt mein Vermutung nicht für die ganzen Zahlen.
Habt ihr eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:42 Fr 16.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man finde und beweise eine Formel, welche [ - x ] durch [ x
> ] ausdrückt (für x [mm]\in \IR[/mm] )
> [2,5] =2
> [-2,5]=-3
>
> [1,5]=1
> [-1,5]=-2
>
> Meine Vermtung war: [-x] = [x] * (-1) -1
>
> Jedoch [2] = 2
> [-2] = -2
> Also stimmt mein Vermutung nicht für die ganzen Zahlen.
>
> Habt ihr eine Idee?
dann schreibe es doch als Fallunterscheidung:
[mm] $$[-x]=\begin{cases} ..., & \mbox{für } x \in \IR \setminus \IZ \\ ..., & \mbox{für } x \in \IZ \end{cases}\,.$$
[/mm]
Eine andere Idee wäre es, sich das ganze mal "graphisch" anzuschauen. Dann sieht man, dass "fast überall" [mm] $[x+0.5]=-[-x+0.5]\,$ [/mm] gilt (man kann die Funktion "durch Verschiebung um 0.5 nach links "fast" zu einer ungeraden Funktion machen: d.h. so, dass dann $f(-x)=-f(x)$ gilt - leider nur fast!").
Aber hier sind es halt dann die $x [mm] \in (0.5*\IZ)\,,$ [/mm] "die da nicht mitspielen wollen".
Also:
Ich denke, um eine Fallunterscheidung wirst Du nicht drum herumkommen (jedenfalls sehe ich gerade nicht, wie). Es ist aber auch nicht schlimm, welche hinzuschreiben...
P.S.
Das "Problem" ist, wenn Du Dir den Graphen mal anschaust:
Die "Stufen" der Form [mm] $[...)\,$ [/mm] im ersten Quadranten (also jeweils der Graph von [mm] $f_{|[k,k+1)}$ [/mm] ($k [mm] \in \IN_0$)) [/mm] haben auch im dritten Quadranten diese Form [mm] $[...)\,.$ [/mm] Besser wäre es, wenn sie dort diese Form [mm] $(...]\,$ [/mm] hätten...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:02 Fr 16.03.2012 | | Autor: | quasimo |
okay.
> dann schreibe es doch als Fallunterscheidung:
$ [mm] [-x]=\begin{cases}(-1)*[x] -1 , & \mbox{für } x \in \IR \setminus \IZ \\ [x], & \mbox{für } x \in \IZ \end{cases}\,. [/mm] $
Gut, jetzt hätte ich noch die Frage, wie ich den Beweis durchführen kann.
Mittels Induktion fällt mal flach. Hast du da noch eine idee?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:27 Fr 16.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> okay.
> > dann schreibe es doch als Fallunterscheidung:
>
> [mm][-x]=\begin{cases}(-1)*[x] -1 , & \mbox{für } x \in \IR \setminus \IZ \\ [x], & \mbox{für } x \in \IZ \end{cases}\,.[/mm]
>
>
> Gut, jetzt hätte ich noch die Frage, wie ich den Beweis
> durchführen kann.
> Mittels Induktion fällt mal flach.
Auf jeden Fall geht das nicht!
>Hast du da noch eine
> idee?
klar: Für $x [mm] \in \IZ$ [/mm] ist dann wegen [mm] $[-x]=-x=-[x]\,$ [/mm] (beachte: $-x [mm] \in \IZ \gdw [/mm] x [mm] \in \IZ$) [/mm] obige Aussage trivial. Für $x [mm] \in \IR \setminus \IZ$ [/mm] ist $[x] [mm] \le [/mm] x < [x]+1$ und [mm] $[x]\,$ [/mm] ist die einzige ganze Zahl [mm] $z\,$ [/mm] mit $z [mm] \le [/mm] x < [mm] z+1\,.$ [/mm] Das kannst Du dann benutzen (für $x [mm] \notin \IZ$ [/mm] wird [mm] $[x]\,$ [/mm] sogar durch $[x] < x < [mm] [x]+1\,$ [/mm] charakterisiert).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Fr 16.03.2012 | | Autor: | quasimo |
> und $ [mm] [x]\, [/mm] $ ist die einzige ganze Zahl $ [mm] z\, [/mm] $ mit $ z [mm] \le [/mm] x < [mm] z+1\,. [/mm] $
Warum gilt das ?? Also wieso ist es die EINZIGE ganze Zahl mit..
d.h. wenn $ s [mm] \le [/mm] x<s+1 $ mit einem $ [mm] s\in \IZ\,, [/mm] $ dann kann nur s=[x] sein.
Es gilt doch genauso [mm] [-x]\le [/mm] -x [mm] \le [/mm] [-x] +1
Angenommen x>0
s < x <s+1
-(s+1) < -x < -s
Ich komme noch nicht ganz dahinter ;)
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Sa 17.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > und [mm][x]\,[/mm] ist die einzige ganze Zahl [mm]z\,[/mm] mit [mm]z \le x < z+1\,.[/mm]
>
> Warum gilt das ?? Also wieso ist es die EINZIGE ganze Zahl
> mit..
> d.h. wenn [mm]s \le x
> s=[x] sein.
>
> Es gilt doch genauso [mm][-x]\le[/mm] -x [mm]\le[/mm] [-x] +1
was willst Du mir damit sagen?
> Angenommen x>0
> s < x <s+1
> -(s+1) < -x < -s
>
> Ich komme noch nicht ganz dahinter ;)
Ich komme nicht dahinter, was Du eigentlich fragen willlst ^^
Es ist kein Problem, meine Aussage oben zu beweisen:
Sei dazu $x [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest:
1.) Existenz (bzw. Beweis, dass [mm] $[x]\,$ [/mm] die gewünschte Eigenschaft hat): Zu jedem [mm] $x\,$ [/mm] existiert schonmal ein $z [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $z [mm] \le [/mm] x < [mm] z+1\,.$ [/mm]
Denn: Setze [mm] $z:=[x]\,,$ [/mm] dann ist $x [mm] \ge [/mm] z$ nach Definition von [mm] $[x]\,.$ [/mm] Wäre $z+1 [mm] \le x\,,$ [/mm] so müsste aber $[x] [mm] \ge [/mm] z+1$ sein - schließlich wäre dann [mm] $z+1\,$ [/mm] eine ganze Zahl, die [mm] $\le [/mm] x$ ist, aber $z+1 > [mm] z\,.$ [/mm] Das kann also nicht sein. Somit muss $z+1 > [mm] x\,$ [/mm] gelten und damit insgesamt $[x]=z [mm] \le [/mm] x < [mm] z+1\,.$
[/mm]
2.) Eindeutigkeit: Seien [mm] $z_0 \in \IZ$ [/mm] und $z:=[x] [mm] \in \IZ\,.$ [/mm] Nach 1.) wissen wir, dass $z=[x] [mm] \le [/mm] x < [x]+1=z+1$ gilt. Gelte nun auch [mm] $z_0 \le [/mm] x < [mm] z_0+1\,.$ [/mm] Dann folgt einerseits aus den Ungleichungen
$$z [mm] \le [/mm] x [mm] \text{ und }x [/mm] < [mm] z_0+1$$
[/mm]
sofort [mm] $z_0+1-z [/mm] >0$ bzw.
[mm] $$z_0-z [/mm] > [mm] -1\,,$$ [/mm]
andererseits genauso aus den Ungleichungen
[mm] $$z_0 \le [/mm] x [mm] \text{ und }x [/mm] < z+1$$
alsdann
[mm] $$z-z_0 [/mm] > [mm] -1\,.$$ [/mm]
Wegen [mm] $z,z_0 \in \IZ$ [/mm]
also
[mm] $$z_0-z \ge [/mm] 0 [mm] \text{ und }z-z_0 \ge 0\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$z_0 [/mm] -z [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \ge -(z_0-z)\,.$$
[/mm]
Das impliziert [mm] $z_0-z=0$ [/mm] bzw. [mm] $z=z_0\,.$
[/mm]
P.S.
Um die Aussage ohne irgendwelche großen Theoriekenntnisse einzusehen:
Schreibe [mm] $x\,$ [/mm] als unendlichen Dezimalbruch, wobei wir nur die "Ganzzahl-Komma-Periode 9"-Schreibweise nicht verwenden/zulassen, sondern dafür halt die passende ganze Zahl schreiben:
Etwa
[mm] $$2,\overline{9}=3$$
[/mm]
oder
[mm] $$-5,\overline{9}=-6\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Do 22.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo, mit vielen Tipps von Mitstudenten kamen wir zu dem:
[-x]=-[x]+[[x]-x]
Das ist noch zuzeigen.
x=a+b mit a [mm] \in \IZ [/mm] und b [mm] \in [/mm] [0,1)
[-a-b]=-[a+b]+[[a+b]-a-b]
[-a-b]=-a+[a-a-b]
[-a-b] = -a + [-b]
-a + [-b] = - a + [-b]
Was hälst du davon?
Kannst du mir das vlt korrigieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Fr 23.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, mit vielen Tipps von Mitstudenten kamen wir zu dem:
>
> [-x]=-[x]+[[x]-x]
testen wir es erstmal:
Für $x [mm] \in \IZ$ [/mm] ist klar, dass die Gleichheit gilt. Für $x=-6.2$ ist $[-x]=-7$ und $-[x]+[[x]-x]=-6+(-1)=-7,$ passt schonmal.
> Das ist noch zuzeigen.
Ich ergänze das mal:
Also zu zeigen ist
[mm] $$(\star)\;\;\;[-x]=-[x]+[\;[x]-x\;]\,.$$
[/mm]
Also: Sei $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Dann gibt es eine eindeutige Schreibweise
> x=a+b mit a [mm]\in \IZ[/mm] und b [mm]\in[/mm] [0,1)
denn das geht dann und nur dann, wenn [mm] $a:=[x]\,$ [/mm] und [mm] $b:=x-[x]\,.$
[/mm]
Wichtig ist nun:
Dann ist [mm] $(\star)$ [/mm] äquivalent zu
[mm] $$[-a-b]=-[a+b]+[[a+b]-a-b]\,$$
[/mm]
[mm] $$\red{\gdw} [/mm] [-a-b]=-a+[a-a-b]$$
[mm] $$\red{\gdw} [/mm] [-a-b] = -a + [-b]$$
[mm] $$\red{\gdw} [/mm] -a + [-b] = - a + [-b]$$
> Was hälst du davon?
Du musst Dir jedenfalls klarmachen, was da eigentlich steht: Denn: Du willst ja eine Folgerungskette $A [mm] \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow (\star)$ [/mm] eigentlich aufstellen, wobei [mm] $A\,$ [/mm] dann eine offensichtlich wahre Aussage ist. Zu oben: Gelten denn die von mir ergänzten Äquivalenzzeichen? Falls nicht, wäre es nicht schlimm, sofern wenigstens alle [mm] $\Leftarrow$ [/mm] gelten (auch das, wo ich es in Worten ausdrücke: "... ist [mm] $(\star)$ [/mm] äquivalent...").
> Kannst du mir das vlt korrigieren?
Ich würd's auf jeden Fall nicht so kompliziert/unstrukturiert machen. Und warum [mm] $-a+[-b]=[-a-b]\,$ [/mm] gilt, ist da oben nicht direkt ersichtlich - und das ist eigentlich das Wesentliche der Aufgabe.
Also:
Wie von mir angemerkt sei für $x [mm] \in \IR$ [/mm] nun [mm] $a:=[x]\,$ [/mm] und $b:=x-[x] [mm] \in [0,1)\,.$ [/mm] (Beachte: Nach Definition von [mm] $[x]\,$ [/mm] folgt direkt $b [mm] \in [/mm] [0,1)$!)
Dann gilt [mm] $x=a+b\,.$ [/mm] Nach Definition von [mm] $a\,$ [/mm] und wegen $b [mm] \in [/mm] [0,1)$ ist $-a-b [mm] \in (-a-1,-a]\,.$
[/mm]
------------------------
Einschub:
Wir behaupten zunächst:
[mm] $[-a-b]=-a+[-b]\,.$
[/mm]
Das beweise nun bitte selbstständig (mit Beachtung der Aussage im blauen Satz) - es geht einfach etwa mit Fallunterscheidungen:
1. Fall: Sei [mm] $b=0\,.$ [/mm] Dann ...
2. Fall: Für $b [mm] \not=0$ [/mm] gilt $b [mm] \in (0,1)\,,$ [/mm] also folgt...
Ende Einschub!
------------------------
Und jetzt kannst Du im wesentlichen alles das machen, was Du oben gemacht hast:
Im Einschub haben wir erkannt, dass folgende Gleichheit gilt
[mm] $$[-a-b]=-a+[-b]\,.$$
[/mm]
Damit erhalten wir
$$[-a-b]=-a+[-b]$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] [-(a+b)]=-a+[a-a-b]$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] [-x]=-[x]+[a-(a+b)]$$
[mm] $$\Rightarrow [-x]=-[x]+[[x]-x]\,.$$
[/mm]
Damit gilt [mm] $(\star)$!
[/mm]
Ist Deinem Vorschlag von oben sehr ähnlich, aber vor allem:
Die Gleichungen stehen nicht zusammenhangslos da, sondern man erkennt, welche Folgerungen man braucht. Und das ist eigentlich immer das Wesentliche in Beweisen!
(Mach' Dir das klar: Wenn ich $x [mm] \in \IR$ [/mm] habe und schreibe
[mm] $$x^2=4\,,$$
[/mm]
[mm] $$x=2\,,$$
[/mm]
so stehen da einfach nur zwei Gleichungen da. Hier dürfte man übrigens nur [mm] $x^2=4 \Leftarrow [/mm] x=2$ schreiben - aber das erkennt man an der obigen Schreibweise gar nicht.
Wäre $x [mm] \ge [/mm] 0$ vorausgesetzt, und wenn man dann
[mm] $$x^2=4\,,$$
[/mm]
[mm] $$x=2\,,$$
[/mm]
sehen würde, so könnte man den Bezug [mm] $x^2=4 \gdw [/mm] x=2$ "interpretieren wollen" - was hier ginge (wegen $x [mm] \ge [/mm] 0$).
Die Sache ist nur die: Wenn man Gleichungen nur aneinanderreiht, dann ist es so, wie wenn man Aussagen aneinanderreiht. Es ist vollkommen unklar, welcher Bezug nun gemeint ist und verwendet wird/verwendet werden soll. Deswegen: Lerne, die Symbole [mm] $\Leftarrow\,,$ $\Rightarrow$ [/mm] und [mm] $\gdw$ [/mm] (korrekt) zu benutzen - und mache Dir immer klar, wo Du eigentlich hinwillst, und wo Du starten kannst. Nicht immer braucht man bei einem Beweis überall [mm] $\gdw\,.$ [/mm] Oben habe ich ja auch nur noch [mm] $\Rightarrow$ [/mm] benutzt!)
Gruß,
Marcel
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