www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenZahlentheorieGaußklammer Ungleichung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Zahlentheorie" - Gaußklammer Ungleichung
Gaußklammer Ungleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gaußklammer Ungleichung: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:07 Di 17.04.2012
Autor: Omikron123

Aufgabe
[mm] [x_1]+...+[x_k]\le{[x_1+...+x_k]} [/mm]  für alle [mm] x_i \in\IR [/mm]  [] bezeichnet die Abrundungsfunktion

Wie kann man diese Ungl. am elegantesten beweisen?

Ich kenne nur den folgenden Beweis, und möchte fragen ob der so in Ordnung ist.

Nach Def. gilt ja [mm] [x_i]\le{x_i} [/mm]

=> [mm] [x_1]+...+[x_k]\le{[[x_1]+y_1...+[x_k]+y_k]} [/mm]

Falls nun die Summe der [mm] y_i [/mm] <1 dann besteht Gleichheit [x]+[y]=[x+y]

Falls die Summe der [mm] y_i [/mm] >=1 dann steht in den Klammern

[mm] [[x_1]+...+[x_k]+1+R]\ge{[[x_1]+...+[x_k]]}>[x_1]+...+[x_k] [/mm]

        
Bezug
Gaußklammer Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:30 Di 17.04.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> [mm][x_1]+...+[x_k]\le{[x_1+...+x_k]}[/mm]  für alle [mm]x_i \in\IR[/mm]  []
> bezeichnet die Abrundungsfunktion
>  Wie kann man diese Ungl. am elegantesten beweisen?
>  
> Ich kenne nur den folgenden Beweis,

Du kennst ihn, oder Du hast ihn erstellt und willst wissen, ob er stimmt? Wenn Du ihn "kennst" (etwa aus einem Lehrbuch), dann sollte er auch stimmen...

> und möchte fragen ob
> der so in Ordnung ist.

Nein!
  

> Nach Def. gilt ja [mm][x_i]\le{x_i}[/mm]

Das ist klar!
  

> => [mm][x_1]+...+[x_k]\le{[[x_1]+y_1...+[x_k]+y_k]}[/mm]

Woher kommen denn hier die [mm] $y_i$ [/mm] und welche Bedingung erfüllen sie? Ohne dieses Wissen/Hinweis ist der Beweis einfach unvollständig.
  

> Falls nun die Summe der [mm]y_i[/mm] <1 dann besteht Gleichheit
> [x]+[y]=[x+y]
>  
> Falls die Summe der [mm]y_i[/mm] >=1 dann steht in den Klammern
>  
> [mm][[x_1]+...+[x_k]+1+R]\ge{[[x_1]+...+[x_k]]}>[x_1]+...+[x_k][/mm]

Schreibe es halt nochmal neu und richtig auf. Mir ist schon klar, was Deine Idee ist:
Jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] kann man schreiben als
$$x=[x]+y(x)$$
mit einem $0 [mm] \le [/mm] y(x) < [mm] 1\,.$ [/mm]
Und umgekehrt:
Gilt $x=n+r$ mit einem $n [mm] \in \IZ$ [/mm] und $0 [mm] \le [/mm] r < [mm] 1\,,$ [/mm] so folgt [mm] $n=[x]\,.$ [/mm]
Dürft Ihr dieses Wissen denn benutzen? Falls noch nicht: Dann sind diese beiden Behauptungen auch noch nachzuweisen (und mögen sie Dir auch noch so trivial erscheinen!)!

Und nun:
Schreib' das ganze damit halt mal ausfürhlich hin - schreibe das alles nochmal sauber auf. Dieser Ansatz ist hier sicher brauchbar, keine Frage, aber bei Dir oben könnten die [mm] $y_i$ [/mm] schon alles mögliche sein - es ist unklar, ob sie nur $0 [mm] \le y_i [/mm] < 1$ erfüllen sollen, oder was sonst für sie gelten sollte, und daher kann man den Beweis so alleine nicht stehen lassen! (Auch, wenn jmd., der sich auskennt, sich vll. dazudenken kann, was Du machen willst: Es MUSS aufgeschrieben werden, weil sonst wichtige Informationen fehlen!)

P.S.
Mit der Dezimaldarstellung einer reellen Zahl könnte man hier auch argumentieren (auch, wenn die Argumentation weniger schön wäre wie bei Dir oben).

Oder man benutzt, ähnlich wie bei Dir: Für $x [mm] \in \IR$ [/mm] und $n [mm] \in \IZ$ [/mm] gilt [mm] $[x]=n\,$ [/mm] genau dann, wenn $n [mm] \le [/mm] x < n+1$ ist. (Das wäre dann aber auch nachzurechnen!)

Hier gibt's halt mehrere Möglichkeiten, wie man den Beweis führen könnte...

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Gaußklammer Ungleichung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:31 Di 17.04.2012
Autor: Omikron123

Der Beweis entstammt von mir, habe ihn aus keinem Lehruch (sonst wäre er wohl wahrscheinlich viel genauer gewesen).

Nun, ich verwende also, dass sich jedes x darstellen lässt als x=[x]+(Differenz von x und [x]:=y), also x=[x]+y wobei [mm] 0\le{y}<1 [/mm]

=> [mm] [x_1]+...+[x_k]\le{[[x_1]+y_1+...+[x_k]+y_k]}. [/mm] Diese Ungleichung müsste nun verständlich sein, ist die Ausgangsungleichung, nur umgeschrieben.

Jetzt schaue ich mir [mm] \summe_{i=1}^{k}y_i [/mm] an. Wenn diese <1, so muss die Gleichheit gelten, also [mm] [x_1]+...+[x_k]=[[x_1]+y_1+...+[x_k]+y_k] [/mm]

[mm] \summe_{i=1}^{k}y_i \ge{1} [/mm] => [mm] [x_1]+...+[x_k]\le{[[x_1]+...+[x_k]+1+R]} [/mm]

[mm] [[x_1]+...+[x_k]+1+R]\ge{[[x_1]+...+[x_k]]}\ge{[x_1]+...+[x_k]} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Gaußklammer Ungleichung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Do 19.04.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]