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Hallo,
ich soll beweisen: Ist A [mm] \in \IK^{nxn} [/mm] regulär mit [mm] A^{-1} [/mm] = A', so hat die Matrix (A | [mm] E_{n}) [/mm] die Gaußsche Normalform [mm] (E_{n} [/mm] | A').
Die Umkerhrung dieses Satzes wurde bereits in der Vorlesung bewiesen. Ich habe diesen Satz und seine Umkehrung an einigen konkreten Beispielen nachvollzogen und das Prinzip verstanden. Auch habe ich den Beweis der Umkehrung verstanden. Diesen Satz zu beweisen fällt mir allerdings etwas schwer. Hier mein Versuch:
Da A regulär ist und A' die Inverse zu A ist gilt immer: AA' = [mm] E_{n}.
[/mm]
Ja - das wars auch schon. Mir ist schon klar, dass A' praktisch alle Umformungen repräsentiert, die notwendig sind, um aus (A | [mm] E_{n}) [/mm] die Matrix [mm] (E_{n} [/mm] | A') werden zu lassen. Aber das wird ja nicht reichen als Beweis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Sa 29.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Ich würd dir gern helfen, aber ich komme mit deinen Bezeichnungen nicht ganz klar.
A'... ist das die transponierte von A oder irgendeine beliebige andere Matrix?
[mm] (A|E_n)... [/mm] Was hat das zu bedeuten? Eigentlich kenne ich das nur als Skalarprodukt, aber mit Matrizen macht das ja keinen Sinn.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 Sa 29.12.2007 | | Autor: | abi2007LK |
So wie ich die Aufgabe verstehe ist A' = [mm] A^{-1} [/mm] also ist A' und [mm] A^{-1} [/mm] die Inverse zu A. Die haben da nur einen zusätzlichen Namen (A') für [mm] A^{-1} [/mm] eingeführt.
[mm] (A|E_n) [/mm] soll die Matrix A sein, die mit der Einheitsmatrix erweitert wurde.
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> Die haben da nur einen
> zusätzlichen Namen (A') für [mm]A^{-1}[/mm] eingeführt.
Glaub' ich nicht! (Wozu sollte das gut sein?)
Sonst stünde dort auch - wenn überhaupt - [mm] A':=A^{-1}. [/mm]
Ich nehme an, daß mit A' die transponierte Matrix gemeint ist - aber das solltest Du anhand Deiner Aufzeichnungen herausbekommen können.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Sa 29.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> > Die haben da nur einen
> > zusätzlichen Namen (A') für [mm]A^{-1}[/mm] eingeführt.
>
> Glaub' ich nicht! (Wozu sollte das gut sein?)
> Sonst stünde dort auch - wenn überhaupt - [mm]A':=A^{-1}.[/mm]
Manche Leute lassen das ``:'' bei Definitionen leider oefter mal weg. Hier ist schon $A' := [mm] A^{-1}$ [/mm] gemeint, zumindest wenn die Aufgabenstellung loesbar sein soll, da [mm] $(E_n [/mm] | [mm] A^{-1})$ [/mm] nunmal die Gaussche Normalform von $(A | [mm] E_n)$ [/mm] ist (und diese hier eindeutig ist).
LG Felix
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> Manche Leute lassen das '':'' bei Definitionen leider
> oefter mal weg. Hier ist schon [mm]A' := A^{-1}[/mm] gemeint,
> zumindest wenn die Aufgabenstellung loesbar sein soll, da
> [mm](E_n | A^{-1})[/mm] nunmal die Gaussche Normalform von [mm](A | E_n)[/mm]
> ist (und diese hier eindeutig ist).
Hallo,
ich würde die Aufgabe eher so lesen, daß das, was Du sagst, in dieser Aufgabe lediglich für den Spezialfall einer Matrix A mit [mm] AA^{T}=E_n [/mm] gezeigt werden soll.
(Aber letztendlich muß abi2007LK wissen, ob sich bei ihnen hinter A' etwas besonderes verbirgt.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Sa 29.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Angela
> > Manche Leute lassen das '':'' bei Definitionen leider
> > oefter mal weg. Hier ist schon [mm]A' := A^{-1}[/mm] gemeint,
> > zumindest wenn die Aufgabenstellung loesbar sein soll, da
> > [mm](E_n | A^{-1})[/mm] nunmal die Gaussche Normalform von [mm](A | E_n)[/mm]
> > ist (und diese hier eindeutig ist).
>
> ich würde die Aufgabe eher so lesen, daß das, was Du sagst,
> in dieser Aufgabe lediglich für den Spezialfall einer
> Matrix A mit [mm]AA^{T}=E_n[/mm] gezeigt werden soll.
> (Aber letztendlich muß abi2007LK wissen, ob sich bei
> ihnen hinter A' etwas besonderes verbirgt.)
Ok, so kann man's auch lesen, aber ich denke beide Interpretationen der Aufgabenstellungen liefern gleich viel Arbeit, um zur Loesung zu kommen. Insofern wuerd es mich wundern, wenn tatsaechlich [mm] $A^{-1} [/mm] = [mm] A^T$ [/mm] sein sollte. Aber man weiss ja nie... :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Di 01.01.2008 | | Autor: | abi2007LK |
Tschuldigung, dass ich mich so spät melde. War krank.
Mit A' ist die Inverse gemeint. Dennoch ist mir nich klar, die ich das dann beweise...
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> ich soll beweisen: Ist A [mm]\in \IK^{nxn}[/mm] regulär mit [mm]A^{-1}[/mm] =
> A', so hat die Matrix (A | [mm]E_{n})[/mm] die Gaußsche Normalform
> [mm](E_{n}[/mm] | A').
Hallo,
ich weiß ja nicht, was bei Euch so alles dran war und wie Ihr es aufschreibt, daher nur etwas vage:
A ist reguär, also ist der Rang von A =n, und man kann A mit dem Gauß-Jordan-Alg. in die Form [mm] E_n [/mm] bringen.
Die Umformungen des GJA kann man als Produkte v. Elementarmatrizen schreiben, das Produkt dieser Matrizen sei B.
Es ist BA=E, also ist [mm] B=A^{-1}
[/mm]
Dieselben Umformungen werden auch auf die rechte Seite angewendet, also hat man dort am Ende
[mm] E_n*B=E_n*A^{-1}=A^{-1}.
[/mm]
Was ich jetzt gesagt habe, ist im Grunde das, was Du selbst schreibst:
> Mir ist schon klar, dass A' praktisch alle Umformungen repräsentiert, die notwendig sind,
> um aus (A | $ [mm] E_{n}) [/mm] $ die Matrix $ [mm] (E_{n} [/mm] $ | A') werden zu lassen.
Gruß v. Angela
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