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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Mi 17.03.2010 | | Autor: | coucou |
| Aufgabe | | Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren. |
Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe
3x-4y+7z= 0
-x+ 2y + z=0
2x+ 5y+7z= 0
Gerechnet habe ich
3x+4y + 7z = 0
10y + 10 z = 0
7y + 7z = 0
3x+ 4y+ 7z = 0
10y + 10z = 0
Und hier liegt das Problem! 0=0
Denn verknüpft man die 2. und 3. Gleichung des zweiten Systems f#ällt nicht nur y weg, sondern auch z.
Somit komme ich nicht auf die gewünschte Form mit Z= ...
Was tun?
Vielen Dank,
LG,
coucou
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Hallo!
> Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme mit dem
> Gaußschen Eliminationsverfahren.
> Hallo!
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> Ich habe folgende Aufgabe
>
> 3x-4y+7z= 0
> -x+ 2y + z=0
> 2x+ 5y+7z= 0
>
> Gerechnet habe ich
>
> 3x+4y + 7z = 0
> 10y + 10 z = 0
> 7y + 7z = 0
>
> 3x+ 4y+ 7z = 0
> 10y + 10z = 0
> Und hier liegt das Problem! 0=0
> Denn verknüpft man die 2. und 3. Gleichung des zweiten
> Systems f#ällt nicht nur y weg, sondern auch z.
> Somit komme ich nicht auf die gewünschte Form mit Z= ...
> Was tun?
Du hast dich wahrscheinlich beim Umformen vertan (oder dich vertippt), denn ich kann nicht nachvollziehen, wieso beim zweiten Gleichungssystem plötzlich vor der "4" in der ersten Zeile ein "+" steht und kein Minus mehr.
Außerdem kann ich nicht nachvollziehen, wie du auf die zweite und dritte Zeile gekommen bist.
Auf jeden Fall: Das Gleichungssystem hat nur eine Lösung x = 0,y = 0, z = 0; du müsstest also am Ende eigentlich auf deine gewünschte Form kommen, wenn du richtig umformst.
Bitte poste also beim nächsten Mal etwas ausführlicher deine Rechnungen, damit wir besser erklären / helfen können, was du falsch gemacht hast.
Noch kurz was Allgemeines: Du hast oben ein "homogenes" LGS vorliegen, das heißt die rechte Seite besteht nur aus Nullen. Dann hat das LGS immer mindestens die Lösung (0,0,0), und wenn dann solche Fälle entstehen, dass eine ganze Zeile wegfällt, gibt es unendlich viele Lösungen.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Mi 17.03.2010 | | Autor: | coucou |
Das mit dem Minus war ein Tippfehler in der ersten Gleichung. Also stimmt es mit dem Plus in der zweiten Gleichung.
Ich bin auf die Gleichungen gekommen indem ich beiim ersten Nummer ! und 2, sowie Nummer 1 und 3 und beim zweiten 2 und 3 verknüpft habe, wobei eben bei 2 und 3 0=0 rauskommt.
Weiß nicht, wie ich dort auf ein vernünftiges Ergebnis kommen soll.
LG,
coucou
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Mi 17.03.2010 | | Autor: | Fawkes |
hi,
wie schon stephan geschrieben hat, so schreibe bitte deine Rechnung hier mal ausführlicher auf, da ich nicht gerne die Aufgabe selbst nachrechnen möchte. Sollte es tatsächlich so sein, dass du für die 2. und 3. Gleichung 0=0 rausbekommst, so hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Bekommt man nur bei einer Gleichung 0=0 so hat es ebenfalls unendlich viele Lösungen. Man geht hierbei so vor, das man eine Variable wählt die noch nicht eindeutig bestimmt ist, zB z. dies ginge jedoch nicht wenn aus der ersten Zeile schon folgt, das z=2 oder so ist. Wähle jedenfalls jetzt z=a (a ist hierbei eine Variable und es gilt a [mm] \in [/mm] Körper). Da du ja bei deinem Bsp zweimal 0=0 hast, musst du noch auch noch eine zweite Variable zB. y=b wählen, wobei hier das selbe gilt wie bei z=a. Nun setze dies in die erste Gleichung ein und schon hast du es :)
Gruß Fawkes
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mi 17.03.2010 | | Autor: | coucou |
Gut, dann versuche ich mal, meinen Rechenweg genauer zu erklären.
Die Aufgabe
3x+4y+7z=0
-x+2y+z=0
2x+5y+7z=0
war bekannt
ich habe daraufhin die erste Gleichung als Bezugsgleichung gewählt, sie also behalten
3x+4y+7z=0
die erste und zweite mit dem Additionsverfahren zusammen gerechnet (die zweite Gleichung mal 3)
10y+10z=0
und die erste und dritte (erste mal -2, dritte mal drei)
7y + 7z = 0
dann habe ich die ersten beiden Gleichungen behalten, sie waren ja nun in der gewünmschten Form
3x+4y+7z=0
10y + 10z =0
und die zweite und dritte Gleichung (zweite mal -7, dritte mal 10) addiert, wobei 0=0 entsteht, was mir vor ein Rätsel stellt.
Ich hoffe, so ist es verständlicher.
LG,
coucou
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Ja der Rechenweg ist richtig, am Ende erhälts du eine Gleichung 0=0. Wie in der anderen Antwort schon festgestellt, kannst du damit eine Variable frei wählen.
z.B. z=a
Für x und y kriegst du dann jeweils einen Ausdruck der Form [mm] y=k_{1}*a [/mm]
bzw. [mm] x=k_{2}*a [/mm]
Insgesamt hast du dann [mm] \infty [/mm] Lösungen. Mit der ursprünglichen Matrix (mit der -4) ergibt sich eine eindeutige Lösung, was ein kleiner Tippfehler so ausmachen kann
Gruss Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Mi 17.03.2010 | | Autor: | coucou |
Ist mit z= a und y= b einfach gemeint, dass ich für beide eine beliebige Zahl einsetze? Z.B. 1 und 2? Weil das eine mögliche Lösung wäre?
(Ist zwar bei diese Aufgabe gar nicht so, aber rein informativ wäre es gut zu wissen)
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> Ist mit z= a und y= b einfach gemeint, dass ich für beide
> eine beliebige Zahl einsetze? Z.B. 1 und 2? Weil das eine
> mögliche Lösung wäre?
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> (Ist zwar bei diese Aufgabe gar nicht so, aber rein
> informativ wäre es gut zu wissen)
Genau, du kannst so viele Parameter frei wählen, wie du Gleichungen der Form 0=0 hast. Die dritte Variable ist aber dann von den anderen beiden abhängig (in diesem Fall). Hast du einmal 0=0, wähle z.B. x=a; y und z sind dann beide abhängig von deinem gewählten a (unendlich viele Lösungen)
Gruss Christian
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