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Hi!
Ich soll mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes das elektr. Feld [mm]E(\vec{r})[/mm] einer homogen geladenen Kugel im Ursprung, mit Radius r und der Gesamtladung Q bestimmen.
Als Hilfestellung ist der Zusammenhang [mm]\vec{\nabla} \cdot E(\vec{r}) = 4 \cdot \pi \cdot \rho (\vec{r}) [/mm] gegeben (Ich nenne diesen Zusammenhang A).
Zunächst soll ich der Symmetrie des Problems angepasste Koordinaten wählen: Das wären Kugelkoordinaten.
Dann soll ich einen Ansatz für [mm]\vec{E}[/mm] finden. Diesen würde ich so wählen: Da das E-Feld meiner Meinung nach in Richtung des Radius r zeigt, kann man [mm] E(\vec{r}) = E(r) \cdot \vec{e_{r}} [/mm] schreiben.
Als nächstes soll ich die Ladungsdichte als Stufenfunktion (bzw. Heaviside-Fkt.) schreiben. Also kann man schreiben:
[mm]\rho(\vec{r}) = \theta(R-|\vec{r}|) \cdot \rho(\vec{r})[/mm]
Denn wenn ich [mm]r > R[/mm] wähle (ausserhalb der Kugel) wird die Ladungsdichte ja 0. Und wenn ich [mm]r \le R[/mm] wähle, dann ergibt sich meine Ladungsdichte so wie sie innerhalb der Kugel halt ist.
Okay, ich soll nun über die Beziehung A auf beiden Seiten das Volumenintegral bilden (über die Kugel) und die linke Seite in ein Oberflächenintegral umwandeln:
Dann steht dort:
[mm]\int_{V}^{} (\vec{\nabla}\cdot E(\vec{r})) \cdot dV = \int_{A}^{} \vec{E} \cdot d\vec{A}= 4 \cdot \pi \cdot \int_{V}^{} \rho(\vec{r}) \cdot dV[/mm] --> B
Wegen [mm] E(\vec{r}) = E(r) \cdot \vec{e_{r}} [/mm] und [mm]d\vec{A} = dA \cdot \vec{e_{r}}[/mm] folgt für das mittlere Flächenintegral:
[mm]\int_{A}^{} E(r) \cdot \vec{e_{r}} \cdot dA \cdot \vec{e_{r}} = A \cdot E(r) = 4 \pi r^2 \cdot E(r)[/mm]
Jetzt kommt mein eigentliches Problem:
Ich soll nun für die Fälle [mm]r \le R[/mm] und [mm]r > R[/mm] die rechte Seite (von B) ausrechnen. Nur die Ladungsdichte hängt doch von [mm]\vec{r}[/mm] ab. D.h. ich kann das Volumenintegral nicht einfach integrieren ohne die Ladungsdichte nun richtig zu kennen.
Oder heisst homogen geladene Kugel, dass die Ladungsdichte ohnehin nur von dem Radius r abhängt (also dem Betrag von [mm]\vec{r}[/mm])??
Wozu sollte ich die Ladungsdichte als Heaviside-Funktion ausdrücken, was bringt mir das??
Vielen Dank schonmal für eure Antworten. Ich hoffe ich habe einigermaßen übersichtlich das Problem geschildert.
Lg Matze die Katze
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> Hi!
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> Ich soll mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes das elektr.
> Feld [mm]E(\vec{r})[/mm] einer homogen geladenen Kugel im Ursprung,
> mit Radius r und der Gesamtladung Q bestimmen.
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> Als Hilfestellung ist der Zusammenhang [mm]\vec{\nabla} \cdot E(\vec{r}) = 4 \cdot \pi \cdot \rho (\vec{r})[/mm]
> gegeben (Ich nenne diesen Zusammenhang A).
>
> Zunächst soll ich der Symmetrie des Problems angepasste
> Koordinaten wählen: Das wären Kugelkoordinaten.
>
> Dann soll ich einen Ansatz für [mm]\vec{E}[/mm] finden. Diesen würde
> ich so wählen: Da das E-Feld meiner Meinung nach in
> Richtung des Radius r zeigt, kann man [mm]E(\vec{r}) = E(r) \cdot \vec{e_{r}}[/mm]
> schreiben.
>
> Als nächstes soll ich die Ladungsdichte als Stufenfunktion
> (bzw. Heaviside-Fkt.) schreiben. Also kann man schreiben:
>
> [mm]\rho(\vec{r}) = \theta(R-|\vec{r}|) \cdot \rho(\vec{r})[/mm]
>
> Denn wenn ich [mm]r > R[/mm] wähle (ausserhalb der Kugel) wird die
> Ladungsdichte ja 0. Und wenn ich [mm]r \le R[/mm] wähle, dann ergibt
> sich meine Ladungsdichte so wie sie innerhalb der Kugel
> halt ist.
>
> Okay, ich soll nun über die Beziehung A auf beiden Seiten
> das Volumenintegral bilden (über die Kugel) und die linke
> Seite in ein Oberflächenintegral umwandeln:
>
> Dann steht dort:
>
> [mm]\int_{V}^{} (\vec{\nabla}\cdot E(\vec{r})) \cdot dV = \int_{A}^{} \vec{E} \cdot d\vec{A}= 4 \cdot \pi \cdot \int_{V}^{} \rho(\vec{r}) \cdot dV[/mm]
> --> B
>
> Wegen [mm]E(\vec{r}) = E(r) \cdot \vec{e_{r}}[/mm] und [mm]d\vec{A} = dA \cdot \vec{e_{r}}[/mm]
> folgt für das mittlere Flächenintegral:
>
> [mm]\int_{A}^{} E(r) \cdot \vec{e_{r}} \cdot dA \cdot \vec{e_{r}} = A \cdot E(r) = 4 \pi r^2 \cdot E(r)[/mm]
>
> Jetzt kommt mein eigentliches Problem:
>
> Ich soll nun für die Fälle [mm]r \le R[/mm] und [mm]r > R[/mm] die rechte
> Seite (von B) ausrechnen. Nur die Ladungsdichte hängt doch
> von [mm]\vec{r}[/mm] ab. D.h. ich kann das Volumenintegral nicht
> einfach integrieren ohne die Ladungsdichte nun richtig zu
> kennen.
>
> Oder heisst homogen geladene Kugel, dass die Ladungsdichte
> ohnehin nur von dem Radius r abhängt (also dem Betrag von
> [mm]\vec{r}[/mm])??
Es heisst, dass die Ladungsdichte innerhalb der Kugel
nicht einmal von r abhängig, sondern konstant ist
(siehe unten !)
> Wozu sollte ich die Ladungsdichte als Heaviside-Funktion
> ausdrücken, was bringt mir das??
>
> Vielen Dank schonmal für eure Antworten. Ich hoffe ich habe
> einigermaßen übersichtlich das Problem geschildert.
>
> Lg Matze die Katze
Hallo Matze,
ich musste zuerst mal nachschlagen, was eine "Heaviside-
Funktion" eigentlich ist - also eine einfache Sprungfunktion -
ich dachte mir: "man kann Dinge auch geschwollener
ausdrücken als sie eigentlich verdienen ..." .
Im vorliegenden Fall wäre dies einfach die abschnittsweise
zu definierende Dichte, nämlich
$\ [mm] \rho(r)=\begin{cases} \rho_o, & \mbox{für } 0\le r \le R \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}$
[/mm]
Wenn die Kugel homogen mit Ladung belegt ist, heisst
dies, dass innerhalb der Kugel, also für [mm] 0\le [/mm] r [mm] \le [/mm] R, die
Dichte konstant ist, also eben
$\ [mm] \rho\ [/mm] =\ [mm] \rho_o\ [/mm] =\ [mm] \bruch{Gesamtladung}{Kugelvolumen}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{3\,Q}{4\,\pi\,R^3}$
[/mm]
Ich weiss nicht, ob damit schon alle deine Fragen beant-
wortet sind ...
LG Al-Chwarizmi
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