Gaußscher Integralsatz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:23 Di 24.01.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Sei
$ [mm] A:=\{(x,y,z) \in \IR^3 \ : \ \bruch{x^2}{4}+y^2+\bruch{z^2}{9} \le 1 \} [/mm] $
und [mm] F:\IR^3\to \IR^3 [/mm] das Vektorfeld
[mm] F(x,y,z):=(3x^2,y^2-2x.z^3).
[/mm]
Berechnen Sie das Integral
$ [mm] \integral_{\partial A} [/mm] dS $
wobei [mm] \nu [/mm] immer die äußere Einheitsnormale bezeichne. |
Hallo!
Mit [mm] \integral_{A}{div(F)} [/mm] muss ich zuerst die Divergenz berechnen:
[mm] \bruch{\partial F_1}{\partial x}=6xz, [/mm] $ \ \ \ \ $ [mm] \bruch{\partial F_2}{\partial x}=2y, [/mm] $ \ \ \ \ $ [mm] \bruch{\partial F_3}{\partial x}=3z^2
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow div(F)=6xz+2y+3z^2 [/mm] $
Jetzt bräuchte ich eine Parametrisierung von A.. und genau da komme ich nicht weiter. Kann mir jemand erklären wie ich auf diese komme?
Edit: Oder sollte ich hier eher die äußeren Einheitsnormalen explizit berechnen??
Danke schonmal!
Gruß
chesn
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 11:20 Di 24.01.2012 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
> Sei
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> [mm]A:=\{(x,y,z) \in \IR^3 \ : \ \bruch{x^2}{4}+y^2+\bruch{z^2}{9} \le 1 \}[/mm]
>
> und [mm]F:\IR^3\to \IR^3[/mm] das Vektorfeld
>
> [mm]F(x,y,z):=(3x^2,y^2-2x.z^3).[/mm]
>
> Berechnen Sie das Integral
>
> [mm]\integral_{\partial A} dS[/mm]
Für den Fall, dass mit [mm] \partial{A} [/mm] eine geschlossene Randkurve gemeint ist, solltest du deinen Ansatz noch einmal überdenken.
> wobei [mm]\nu[/mm] immer die äußere Einheitsnormale bezeichne.
>
>
> Hallo!
>
> Mit [mm]\integral_{A}{div(F)}[/mm] muss ich zuerst die Divergenz
> berechnen:
Dem würde ich widersprechen. Hinweis: Der Integralsatz von Stokes lautet
[mm] \integral_{\partial{A}}^{}{\vec{F}*d\vec{s}}=\integral_{A}^{}{rot\vec{F}*d\vec{A}}
[/mm]
> [mm]\bruch{\partial F_1}{\partial x}=6xz,[/mm] [mm]\ \ \ \[/mm]
> [mm]\bruch{\partial F_2}{\partial x}=2y,[/mm] [mm]\ \ \ \[/mm]
> [mm]\bruch{\partial F_3}{\partial x}=3z^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow div(F)=6xz+2y+3z^2[/mm]
>
> Jetzt bräuchte ich eine Parametrisierung von A.. und genau
> da komme ich nicht weiter. Kann mir jemand erklären wie
> ich auf diese komme?
>
> Edit: Oder sollte ich hier eher die äußeren
> Einheitsnormalen explizit berechnen??
>
> Danke schonmal!
>
> Gruß
> chesn
Viele Grüße, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Di 24.01.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo! Danke erstmal für die Antwort.
Ich hänge immer noch daran, eine geeignete Parametrisierung von A zu finden.
Erinnert mich an die Einheitskugel mit $ [mm] x^2+y^2+z^2\le [/mm] 1 $ ist die Parametrisierung dann ähnlich?
Beim Satz von Stokes brauche ich (zumindest in den Anwendungsbeispielen die ich gefunden habe) doch auch eine Parametrisierung, oder?
Edit: Hab mal die Parametrisierung der Einheitskugel so umgebaut, dass für
$ [mm] \bruch{x^2}{4}+y^2+\bruch{z^2}{9} \le [/mm] 1 $ die Gleichheit gilt:
[mm] {2*sin(\theta)*cos(\phi), sin(\theta)*sin(\phi), 3*sin(\theta)}
[/mm]
Hilft mir das weiter?
Danke und lieben Gruß!
chesn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Di 24.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Parametrisierung ist fast richtig, die y-Komponente ist aber [mm] sin(\phi)cos(\theta)
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Di 24.01.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo! Danke erstmal, das hat mir schonmal einiges weiter geholfen.
Aber wenn es sich um ein Ellipsoid handelt, warum ist die y-Komponente dann [mm] sin(\phi)cos(\theta) [/mm] ?
![[]](/images/popup.gif) Hier ist es ja auch [mm] sin(\theta)sin(\phi) [/mm]
Gruß
chesn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Di 24.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte aus deinem z auf den cos geschlossen. dann wäre x und y falsch. richtig ist, wenn x,y wie bei dir, dann [mm] z=3cos\theta [/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Di 24.01.2012 | | Autor: | chesn |
oh ja.. jetzt seh ichs. vielen dank!
gruß
chesn
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 12:52 Di 24.01.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
es soll hier der Fluss von F durch die Oberfläche des Ellipsoids berechnet werden, da ist keine Randkurve. Wenn man das Integral nicht direkt berechnen will, dann über Gauss
[mm] \int_V \operatorname{div} \vec [/mm] F [mm] \; \mathrm [/mm] dV = [mm] \oint_{S} \vec [/mm] F [mm] \cdot \vec n\; \mathrm dS\,. [/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Di 24.01.2012 | | Autor: | Marcel08 |
Sorry, wenn ich den Autor durch meinen Einwand durcheinander bringe, aber ich tue mich nach wie vor etwas schwer mit Leduart´s Verbesserung:
[mm] \integral_{V}^{}{div {F} dV}=\oint_{S}F*\vec{n}dS.
[/mm]
Für mich setzt diese Darstellung ein Volumenintegral mit einem Ringintegral in Verbindung. Eine solche geometrische Beziehung kannte, bzw. kenne ich nicht. Vielleicht liegt hier aber auch ein Missverständnis vor, was die verwendeten Symbole betrifft. Den Integralsatz von Gauß kenne ich in der folgenden Form:
[mm] \integral_{\partial{V}}^{}{\vec{F}*d\vec{A}}=\integral_{V}^{}{div\vec{F}dV}
[/mm]
Den Integralsatz von Stokes hingegen kenne ich in der Form:
[mm] \oint_{\partial{A}}{\vec{F}*d\vec{s}}=\integral_{\partial{A}}^{}{\vec{F}*d\vec{s}}=\integral_{A}^{}{rot\vec{F}*d\vec{A}}, [/mm] mit [mm] d\vec{A}=\vec{n}*dA
[/mm]
Dabei bezeichnen
[mm] \partial{V} [/mm] eine geschlossene Randfläche des Volumens V
V ein einfach zusammenhängendes Volumen
[mm] \partial{A} [/mm] eine geschlossene Randkurve der Fläche A (vgl. auch "Ringintegral")
A eine einfach zusammenhängende Fläche
[mm] d\vec{s} [/mm] ein gerichtetes Linienelement
[mm] d\vec{A} [/mm] ein gerichtetes Flächenelement, wobei [mm] \vec{n} [/mm] senkrecht auf der Fläche A steht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Di 24.01.2012 | | Autor: | chesn |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Also da im Skript noch nichts vom Integralsatz von Stokes steht, denke ich mal dass leduart richtig liegt. Ich stell mal rein was ich habe, um zu sehen ob ich es jetzt auch richtig verstehe:
\integral_{\partial A}{<F,\nu> dS}=\integral_{A}{div(F) \ dA}
D.h. ich berechne zuerst $ div(F)=6xz+2y+3z^2 $ und setze dann x,y,z aus der Parametrisierung $ h(\theta,\phi)=\pmat{ 2\cdot{}sin(\theta)\cdot{}cos(\phi) \\ sin(\theta)\cdot{}sin(\phi) \\ 3\cdot{}cos(\theta)}} $ ein.
Damit habe ich div(F)=36*sin(\theta)*cos(\theta)*cos(\phi)+2sin(\theta)*sin(\phi)+27*cos^2(\theta)
Wegen $ 0\le\theta\le \pi $ und $ 0\le\phi\le 2\pi$ ist dann das zu berechnende Integral:
\integral_{0}^{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{div(F) \ d\phi \ d\theta}
Passt das so??
Vielen Dank!
Gruß
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:02 Mi 25.01.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo! Geht ja nur darum, ob mein Vorgehen so richtig ist.. kann da jemand schnell was zu sagen? Wäre sehr nett. :)
Gruß
chesn
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> Hallo!
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> Also da im Skript noch nichts vom Integralsatz von Stokes
> steht, denke ich mal dass leduart richtig liegt.
In der Aufgabenstellung wird A ja eindeutig dem [mm] \IR^{3} [/mm] zugeordnet, sodass es sich um ein Volumen handeln muss. Außerdem kann es sich bezüglich des Ausdrucks
[mm] \vec{n}*dS=d\vec{S}
[/mm]
nur um ein infinitesimal kleines, orientiertes Flächenteilstück handeln, da der Normalenvektor immer senkrecht auf der Fläche steht. Leduart hat demnach Recht. Speziell in der Elektrotechnik verknüpft man mit dem Ausdruck A nahezu immer eine Fläche. Der Mensch ist eben ein Gewohnheitstier, sodass ich genauer hätte hinschauen sollen, sorry nochmal.
> Ich stell
> mal rein was ich habe, um zu sehen ob ich es jetzt auch
> richtig verstehe:
>
> [mm]\integral_{\partial A}{ dS}=\integral_{A}{div(F) \ dA}[/mm]
Der linke Ausdruck beschreibt also eine Integration, welche sich auf eine geschlossene Hüllfläche bezieht. Der rechte Ausdruck hingegen beschreibt die Integration eines Volumens. Ein Ringintegral, welches sich auf die Integration einer geschlossenen Randkurve bezieht, kommt hier also nicht zu Anwendung.
> D.h. ich berechne zuerst [mm]div(F)=6xz+2y+3z^2[/mm]
Betrachte hier noch einmal den ersten Summanden deiner Divergenzberechnung. Woher kommt diesbezüglich der Faktor z?
> und setze dann
> x,y,z aus der Parametrisierung [mm]h(\theta,\phi)=\pmat{ 2\cdot{}sin(\theta)\cdot{}cos(\phi) \\ sin(\theta)\cdot{}sin(\phi) \\ 3\cdot{}cos(\theta)}}[/mm]
> ein.
> Damit habe ich
> [mm]div(F)=36*sin(\theta)*cos(\theta)*cos(\phi)+2sin(\theta)*sin(\phi)+27*cos^2(\theta)[/mm]
s.o.
> Wegen [mm]0\le\theta\le \pi[/mm] und [mm]0\le\phi\le 2\pi[/mm] ist dann das
> zu berechnende Integral:
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{div(F) \ d\phi \ d\theta}
[/mm]
> Passt das so??
Beachte zunächst, dass [mm] \vec{F} [/mm] ein Vektorfeld und nicht etwa ein Skalarfeld (Schreibweise: F) darstellt. Meiner Meinung nach fehlt darüber hinaus noch das Produkt der Metrikkoeffizienten des durch den Ellipsoiden verzerrten Kugelkoordinatensystems, bzw. die Funktionaldeterminante des Ellipdoiden
[mm] abch_{r}h_{\vartheta}h_{\varphi}=abcr^{2}sin(\vartheta)drd\vartheta{d\varphi}, [/mm] mit [mm] \varphi\in[0,2\pi], \vartheta\in[0,\pi], r\in[0,1] [/mm] sowie speziell in dieser Aufgabe a=2, b=1, c=3.
Die Integration über r dürfte demnach, so wie du es oben gemacht hast, nicht neutral zu 1 gesestzt werden. Unter Berücksichtigung dieser Überlegungen erhält man dann für die Berechnung des geschlossenen Hüllflächenintegrals unter Anwendung des Gaußschen Integralsatzes
[mm] \integral_{\partial{A}}^{}{\vec{F}*d\vec{S}}=\integral_{\varphi=0}^{2\pi}{}\integral_{\vartheta=0}^{\pi}{}\integral_{r=0}^{1}{(div\vec{F})abcr^{2}sin(\vartheta)drd\vartheta{d\varphi}}, [/mm] mit [mm] d\vec{S}=\vec{\nu}*d{S}
[/mm]
> Vielen Dank!
>
> Gruß
> chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Sa 28.01.2012 | | Autor: | chesn |
Dankeschön erstmal! Soweit habe ich es jetzt verstanden.
Mir ist aufgefallen, dass ich das Vektorfeld falsch abgeschrieben habe.
In der Aufgabe heißt es [mm] 3x^2*z [/mm] anstatt [mm] 3x^2.
[/mm]
Die Divergenz dürfte daher stimmen.
Viele Grüße
chesn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Sa 28.01.2012 | | Autor: | chesn |
Ist die Ellipse eigentlich symmetrisch in dem Sinne, dass ich schreiben kann:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi}\integral_{0}^{1}{\*}=8*\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}\integral_{0}^{1}{\*} [/mm] ?
wobei [mm] \* [/mm] natürlich das ist was im Integral stehen sollte. ;)
Oder gibt es eine schlauere Umformung um zu vermeiden dass sich negative und positive Flächenstücke zu 0 summieren?
Gruß
chesn
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> Ist die Ellipse eigentlich symmetrisch in dem Sinne, dass
> ich schreiben kann:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi}\integral_{0}^{1}{\*}=8*\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}\integral_{0}^{1}{\*}[/mm]
> ?
In einem kleinen Gedankenexperiment erhalte ich diesbezüglich die achtfache Multiplikation eines Viertelkugelausschnitts, woraus sich dann wiederum 2 Kugeln ergeben. Ich denke, das wäre etwas zu viel des Guten. Ich verstehe auch nicht, wieso du das machen möchtest. Wenn du dieser Problematik ein sphärisches Koordinatensystem [mm] (r,\vartheta,\varphi) [/mm] zugrunde legst, so erhältst du eine vollständige Kugel mit Radius 1, wenn du
a) den Radius [mm] r\in[0,1], [/mm]
b) den Polarwinkel [mm] \vartheta\in[0,\pi] [/mm] und
c) den Azimutwinkel [mm] \varphi\in[0,2\pi) [/mm]
wählst. Die zugehörigen (Einheits-)Spannvektoren [mm] \vec{e}_{r},\vec{e}_{\vartheta} [/mm] und [mm] \vec{e}_{\varphi} [/mm] bilden in dieser Reihenfolge auch ein gültiges Rechtssystem.
> wobei [mm]\*[/mm] natürlich das ist was im Integral stehen sollte.
> ;)
>
> Oder gibt es eine schlauere Umformung um zu vermeiden dass
> sich negative und positive Flächenstücke zu 0 summieren?
>
> Gruß
> chesn
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