Gaußsches Eliminationsverfahre < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei K ein Körper und [mm] a_{1}, [/mm] ..., [mm] a_{m} [/mm] Vektoren aus [mm] K^{n}.
[/mm]
(i) Wie kann man mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren entscheiden, ob [mm] a_{1}, [/mm] ..., [mm] a_{m} [/mm] linear unabhängig sind?
(ii) Wie kann man mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren eine Basis und (damit ) die Dimension des von [mm] a_{1},...,a_{m} [/mm] erzeugten Unterraums von [mm] K^{n} [/mm] bestimmen? |
Hallo
mein Problem ist, dass ich die Aufagben schon versteh aber was soll ich denn da alles machen?
Bei (i) zum Beispiel muss das Gaußssche Eliminationsverfahren mit m von Null verschiedenen Zeilen enden. das weiß ich aber muss ich da jetzt auch noch einen Beweis dafür führen?
LG Schmetterfee
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:28 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Schmetterfee |
muss ich zeigen, dass [mm] a_{1},...,a_{m} [/mm] linear unabhängig sind <=> Gaußsches Eliminationsverfahren nur die triviale Lösung besitzt?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:18 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Schmetterfee |
So hab ein bisschen was probiert und wolt fragen ob das schon ma die richtige Richtug ist:
Es gelte [mm] \summe_{i=1}^{m} \alpha_{i} a_{i}=0 [/mm] für gewisse [mm] \alpha_{i} \in [/mm] K. Des weiteren nehmen wir an, dass wir eine Matrix B= [mm] (\beta_{ij})_{i,j} [/mm] besitzen, d.h. [mm] \beta_{i,j}= \beta_{i} [/mm] für i=1,..,m
So erhalten wir folgendes GGleichungssystem:
[mm] \alpha_{1} \beta_{1}=0
[/mm]
[mm] \alpha_{1} \beta_{1j2}+ \alpha_{2} \beta_{2}=0
[/mm]
...
[mm] \alpha_{1} \beta_{1jm}+ \alpha_{2} \beta_{2jm}+...+\alpha_{m} \beta_{m}=0
[/mm]
Daraus ergibt sich sofort [mm] \alpha_{1}=...=\alpha_{m}=0
[/mm]
Daraus folgt, dass [mm] a_{1},...,a_{m} [/mm] linear unabhängig sind...
geht dies als Beweis der Rückrichtung?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
Hallo Schmetterfee,
> Sei K ein Körper und [mm]a_{1},[/mm] ..., [mm]a_{m}[/mm] Vektoren aus
> [mm]K^{n}.[/mm]
> (i) Wie kann man mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren
> entscheiden, ob [mm]a_{1},[/mm] ..., [mm]a_{m}[/mm] linear unabhängig sind?
>
> (ii) Wie kann man mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren
> eine Basis und (damit ) die Dimension des von
> [mm]a_{1},...,a_{m}[/mm] erzeugten Unterraums von [mm]K^{n}[/mm] bestimmen?
> Hallo
>
> mein Problem ist, dass ich die Aufagben schon versteh aber
> was soll ich denn da alles machen?
>
> Bei (i) zum Beispiel muss das Gaußssche
> Eliminationsverfahren mit m von Null verschiedenen Zeilen
> enden. das weiß ich aber muss ich da jetzt auch noch einen
> Beweis dafür führen?
Dein Beweis in der dritten (!) Frage geht in die richtige Richtung.
Die Fragen sind relativ "offen" gestellt, ich gehe also davon aus, dass nicht superexakte Beweise gefordert sind, sondern mehr: "Ja / Nein", Begründung.
Wenn [mm] a_{1},...,a_{m} [/mm] linear unabhängig sein sollen, muss gelten:
[mm] $\lambda_{1}a_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{m}*a_{m}= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \lambda_{1} [/mm] = ... = [mm] \lambda_{m} [/mm] = 0$.
Auf der linken Seite der Implikation steht gewissermaßen ein Gleichungssystem - und zwar in den Skalaren [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{m}.
[/mm]
Dieses Gleichungssystem kann man äquivalent umschreiben in die erweiterte Koeffizientenmatrix zur Lösung mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren:
[mm] $\lambda_{1}a_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{m}*a_{m}= [/mm] 0$
[mm] $\gdw \pmat{| & | & ... & | & | & | & 0 \\ a_{1} & a_{2} & ... & a_{m-1} & a_{m} & | & 0 \\ | & | & ... & | & | & | & 0}$
[/mm]
(D.h.: In den Spalten stehen die Vektoren - mach dir das mal durch ausmultiplizieren deutlich, dass das wirklich dasselbe ist!)
Nun muss durch Anwendung des Gaußschen Eliminationsverfahrens folgen, dass nur die Lösung [mm] $\lambda_{1} [/mm] = ... = [mm] \lambda_{m} [/mm] = 0$ eine Lösung des LGS ist, dann sind die Vektoren linear unabhängig.
Wie genau du das jetzt noch ausführen musst, weiß ich nicht. (Also zum Beispiel, was genau für die Koeffizientenmatrix bei solch einem homogenen LGS gelten muss, damit es nur genau eine Lösung, nämlich die triviale.
Bei (ii)
Musst du eben die Vektoren als Zeilen in die Matrix schreiben, dann Gauß-Algorithmus durchführen, und die "übrig gebliebenen" Zeilen bilden wieder als Spaltenvektoren aufgefasst eine Basis von [mm] .
[/mm]
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
> Hallo Schmetterfee,
>
> > Sei K ein Körper und [mm]a_{1},[/mm] ..., [mm]a_{m}[/mm] Vektoren aus
> > [mm]K^{n}.[/mm]
> > (i) Wie kann man mit dem Gaußschen
> Eliminationsverfahren
> > entscheiden, ob [mm]a_{1},[/mm] ..., [mm]a_{m}[/mm] linear unabhängig sind?
> >
> > (ii) Wie kann man mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren
> > eine Basis und (damit ) die Dimension des von
> > [mm]a_{1},...,a_{m}[/mm] erzeugten Unterraums von [mm]K^{n}[/mm] bestimmen?
> > Hallo
> >
> > mein Problem ist, dass ich die Aufagben schon versteh aber
> > was soll ich denn da alles machen?
> >
> > Bei (i) zum Beispiel muss das Gaußssche
> > Eliminationsverfahren mit m von Null verschiedenen Zeilen
> > enden. das weiß ich aber muss ich da jetzt auch noch einen
> > Beweis dafür führen?
>
> Dein Beweis in der dritten (!) Frage geht in die richtige
> Richtung.
> Die Fragen sind relativ "offen" gestellt, ich gehe also
> davon aus, dass nicht superexakte Beweise gefordert sind,
> sondern mehr: "Ja / Nein", Begründung.
>
> Wenn [mm]a_{1},...,a_{m}[/mm] linear unabhängig sein sollen, muss
> gelten:
>
> [mm]\lambda_{1}a_{1} + ... + \lambda_{m}*a_{m}= 0 \Rightarrow \lambda_{1} = ... = \lambda_{m} = 0[/mm].
>
> Auf der linken Seite der Implikation steht gewissermaßen
> ein Gleichungssystem - und zwar in den Skalaren
> [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{m}.[/mm]
> Dieses Gleichungssystem kann man äquivalent umschreiben
> in die erweiterte Koeffizientenmatrix zur Lösung mit dem
> Gaußschen Eliminationsverfahren:
>
> [mm]\lambda_{1}a_{1} + ... + \lambda_{m}*a_{m}= 0[/mm]
>
> [mm]\gdw \pmat{| & | & ... & | & | & | & 0 \\ a_{1} & a_{2} & ... & a_{m-1} & a_{m} & | & 0 \\ | & | & ... & | & | & | & 0}[/mm]
>
> (D.h.: In den Spalten stehen die Vektoren - mach dir das
> mal durch ausmultiplizieren deutlich, dass das wirklich
> dasselbe ist!)
>
> Nun muss durch Anwendung des Gaußschen
> Eliminationsverfahrens folgen, dass nur die Lösung
> [mm]\lambda_{1} = ... = \lambda_{m} = 0[/mm] eine Lösung des LGS
> ist, dann sind die Vektoren linear unabhängig.
>
> Wie genau du das jetzt noch ausführen musst, weiß ich
> nicht. (Also zum Beispiel, was genau für die
> Koeffizientenmatrix bei solch einem homogenen LGS gelten
> muss, damit es nur genau eine Lösung, nämlich die
> triviale.
>
okay einen großteil versteh ich ja..aber was sollen die Strich in der Matrix sein..soll das nur heißen, dass in der ersten Spalte die vielfachen von [mm] a_{1} [/mm] stehen?
kann ich die aufgabe auch lösen ohne homogene LGS zu kennen?..weil wir haben dieses verfahren grade erst eingeführt und haben noch nix von homogen oder dem gegenteil gehört...
LG Schmetterfee
> Bei (ii)
>
> Musst du eben die Vektoren als Zeilen in die Matrix
> schreiben, dann Gauß-Algorithmus durchführen, und die
> "übrig gebliebenen" Zeilen bilden wieder als
> Spaltenvektoren aufgefasst eine Basis von
> [mm].[/mm]
>
> Grüße,
> Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:56 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Schmetterfee |
irgendwie dreh ich mich im Kreis..gibt es auch ne Möglichkeit diesen Beweis mit Grundkenntnissen zu führne...kann ich nicht meinen beweisversuch von vorhin irgendiwe ausbauen das er passt?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
Hallo Schmetterfee,
> > Hallo Schmetterfee,
> >
> > > Sei K ein Körper und [mm]a_{1},[/mm] ..., [mm]a_{m}[/mm] Vektoren aus
> > > [mm]K^{n}.[/mm]
> > > (i) Wie kann man mit dem Gaußschen
> > Eliminationsverfahren
> > > entscheiden, ob [mm]a_{1},[/mm] ..., [mm]a_{m}[/mm] linear unabhängig sind?
> > >
> > > (ii) Wie kann man mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren
> > > eine Basis und (damit ) die Dimension des von
> > > [mm]a_{1},...,a_{m}[/mm] erzeugten Unterraums von [mm]K^{n}[/mm] bestimmen?
> > > Hallo
> > >
> > > mein Problem ist, dass ich die Aufagben schon versteh aber
> > > was soll ich denn da alles machen?
> > >
> > > Bei (i) zum Beispiel muss das Gaußssche
> > > Eliminationsverfahren mit m von Null verschiedenen Zeilen
> > > enden. das weiß ich aber muss ich da jetzt auch noch einen
> > > Beweis dafür führen?
> >
> > Dein Beweis in der dritten (!) Frage geht in die richtige
> > Richtung.
> > Die Fragen sind relativ "offen" gestellt, ich gehe also
> > davon aus, dass nicht superexakte Beweise gefordert sind,
> > sondern mehr: "Ja / Nein", Begründung.
> >
> > Wenn [mm]a_{1},...,a_{m}[/mm] linear unabhängig sein sollen, muss
> > gelten:
> >
> > [mm]\lambda_{1}a_{1} + ... + \lambda_{m}*a_{m}= 0 \Rightarrow \lambda_{1} = ... = \lambda_{m} = 0[/mm].
>
> >
> > Auf der linken Seite der Implikation steht gewissermaßen
> > ein Gleichungssystem - und zwar in den Skalaren
> > [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{m}.[/mm]
> > Dieses Gleichungssystem kann man äquivalent
> umschreiben
> > in die erweiterte Koeffizientenmatrix zur Lösung mit dem
> > Gaußschen Eliminationsverfahren:
> >
> > [mm]\lambda_{1}a_{1} + ... + \lambda_{m}*a_{m}= 0[/mm]
> >
> > [mm]\gdw \pmat{| & | & ... & | & | & | & 0 \\ a_{1} & a_{2} & ... & a_{m-1} & a_{m} & | & 0 \\ | & | & ... & | & | & | & 0}[/mm]
>
> >
> > (D.h.: In den Spalten stehen die Vektoren - mach dir das
> > mal durch ausmultiplizieren deutlich, dass das wirklich
> > dasselbe ist!)
> >
> > Nun muss durch Anwendung des Gaußschen
> > Eliminationsverfahrens folgen, dass nur die Lösung
> > [mm]\lambda_{1} = ... = \lambda_{m} = 0[/mm] eine Lösung des LGS
> > ist, dann sind die Vektoren linear unabhängig.
> >
> > Wie genau du das jetzt noch ausführen musst, weiß ich
> > nicht. (Also zum Beispiel, was genau für die
> > Koeffizientenmatrix bei solch einem homogenen LGS gelten
> > muss, damit es nur genau eine Lösung, nämlich die
> > triviale.
> >
> okay einen großteil versteh ich ja..aber was sollen die
> Strich in der Matrix sein..soll das nur heißen, dass in
> der ersten Spalte die vielfachen von [mm]a_{1}[/mm] stehen?
>
> kann ich die aufgabe auch lösen ohne homogene LGS zu
> kennen?..weil wir haben dieses verfahren grade erst
> eingeführt und haben noch nix von homogen oder dem
> gegenteil gehört...
Okay.
Dann nehmen wir nur die Matrix A, in der als Zeilen die Vektoren [mm] a_{1} [/mm] bis [mm] a_{m} [/mm] als Zeilenvektoren stehen.
Die senkrechten Striche sollen übrigens nur andeuten, dass der Vektor [mm] a_{1} [/mm] eben die erste Spalte der Matrix ist, der Vektor [mm] a_{2} [/mm] die zweite Spalte, usw.
Du kannst ja schon von vornherein annehmen, dass m [mm] \le [/mm] n ist (wenn [mm] m\ge [/mm] n, sind es mehr Vektoren als Dimension des VR --> Linear abhängig).
Und nun wendest du einfach die Gaußelimination auf die obige Matrix A an. Wenn eine Nullzeile bei diesem Verfahren entsteht, bedeutet das nichts anderes, als dass sich einer der Vektoren [mm] a_{1} [/mm] als Linearkombination der anderen schreiben lässt.
--> Dann sind die Vektoren linear abhängig.
(Am besten, du machst dir das klar, anhand von elementaren Zeilenumformungen des Typs
"Zeile i + skalares Vielfaches einer anderen Zeile j -> Zeile i".
)
Wenn keine Nullzeile entsteht, sind sie linear unabhängig.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
So die Matrix sieht denn ja wie folgt aus:
[mm] A=(\vektor{a_{1} \\ ... \\ a_{m}}) [/mm] = [mm] (\pmat{\lambda_{11} & ... & \lambda_{1n} \\ ... & ... & ... \\ \lambda_{m1} & ... & \lambda_{mn} })
[/mm]
mit [mm] a_{i}= (\lambda_{i1}, [/mm] ..., [mm] \lambda_{im}) [/mm] mit i= 1,...,m
aber wie wende ich denn hier das gaußsche eliminationsverfahren an?...ich kann doch nichts umformen oder so...
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Do 28.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst das nicht machen, sondern nur sagen,: falls eine Nullzeile entsteht, beim Gaussverfahren kann man die Zeilenvektoren , also die [mm] a_i [/mm] offensichtlich zu 0 kombinieren, also sind sie dann lin abh. falls keine 0 Zeile entsteht gibt es nur die triviale Lösung alle [mm] \lambda_i=0 [/mm] .
Aber hinten steht doch keine Matrix mit [mm] \lambda, [/mm] sondern Matrix mit den Zeilenvektoren [mm] a_i*Vektor [/mm] aus den [mm] \lambda_i=0 [/mm] ist dein LGS.
Also nix rechnen, nur in Worten erläutern!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Danke für die hilfe war schon etwas verzweifelt was ich zeigen muss...
also würde die Matrix so aussehen?
A= [mm] \vektor{a_{1} \\ ... \\ a_{m}} [/mm] = [mm] \pmat{ \lambda_{11} & ... & \lambda_{1n} \\ ... & ... & ... \\ \lambda_{m1} & ... & \lambda_{mn} }
[/mm]
so steht das nämlich bei uns im Skript definiert...ich kann mir das nur noch nicht so ganz vorstellen wie man von der Ersten Matrix zur zweiten kommt...ich weiß das dies was grundlegendes ist aber sind die [mm] \lambda [/mm] Koeffizienten zu den a Vektoren?
ist das das gleiche wie
[mm] \pmat{ \lambda_{11}a_{11} & ... & \lambda_{1n}a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ \lambda_{m1}a_{m1} & ... & \lambda_{mn}a_{mn} }
[/mm]
lässt man einfach nur die a weg oder ist diese Matrix noch wieder was anderes?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:36 Fr 29.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Matrix mit den vielen [mm] \lambda [/mm] ist nicht was sinnvolles.
du hast doch :
[mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_i*a_i=0 a_i [/mm] Vektoren, [mm] \lambda_i [/mm] Zahlen . und das soll nur gelten für alle [mm] \lambda_i [/mm] =0 für die unabhängigkeit. da gibts doch keine matrix aus [mm] \lambda [/mm] s?
sondern ne matrix mit den Zeilenvektoren [mm] a_i [/mm]
A* [mm] \vektor{\lambda_1 \\ \lambda_2\\....\\\lambda_n}=0
[/mm]
und jetzt auf A Gauss anwenden und dann reden wann alle [mm] \lambda_i [/mm] 0 sind!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Hallo
> die Matrix mit den vielen [mm]\lambda[/mm] ist nicht was
> sinnvolles.
> du hast doch :
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\lambda_i*a_i=0 a_i[/mm] Vektoren, [mm]\lambda_i[/mm]
> Zahlen . und das soll nur gelten für alle [mm]\lambda_i[/mm] =0
> für die unabhängigkeit. da gibts doch keine matrix aus
> [mm]\lambda[/mm] s?
> sondern ne matrix mit den Zeilenvektoren [mm]a_i[/mm]
> A* [mm]\vektor{\lambda_1 \\ \lambda_2\\....\\\lambda_n}=0[/mm]
Ist A denn jetzt= [mm] (a_{1}...a_{m}? [/mm] und die nehme ich mal die [mm] \lambda...und [/mm] erhalte sozu sagen: eine Matrix mit a und [mm] \lambda??
[/mm]
LG Schmetterfee
> und
> jetzt auf A Gauss anwenden und dann reden wann alle
> [mm]\lambda_i[/mm] 0 sind!
> Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Fr 29.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass A die matrix aus den Zeilenvektoren [mm] a_i [/mm] ist hab ich doch geschrieben.
Dass man ein LGS als A*x=b schreiben kann solltest du doch eigentlich wissen?
wenn du einen Spaltenvektor als "Matrix" mit nur einer Spalte auffasst nur dann ist $ [mm] \vektor{\lambda_1 \\ \lambda_2\\....\\\lambda_n} [/mm] $ eine Matrix.
Nimm doch mal A und multiplizier mit dem Vektor mit den komponenten [mm] \lambda_i [/mm] dann hast du doch das LGS von dem du zeigen willst, dass es nur die Lösungen [mm] \lambda_i=0 [/mm] hat:
irgendwie versteh ich nicht mehr wo wir uns nicht verstehen.
Vielleich schreibst dus einfach mal für 3dimensionale Vektoren a1,a2,a3 mit [mm] a1=(a1_1,a1_2,a1_3) [/mm] usw hin und es wird dir klarer?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Okay habe ich gemacht und das auch verstanden..
jetzt sitzt ich am zweiten Teil der Aufgabe. Es ist ja klar...dass ich zeigen muss das es eine Basis ist und die Dimension.
Um zu zeigen, dass es eine Basis ist muss ich ja die l.u. zeigen also siehe (i) und das sie ganz U erzeugt aber kann man das überhaupt mit dem gauschen Verfahren ermitteln?...oder kann ich einfach laut Aufgabe davon ausgehen, dass [mm] dimK^{n}=m [/mm] ist? und von hier dann weiter argumentieren?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Fr 29.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. wenn das Gaussverv. keine Nullzeile liefert sind die [mm] a_i [/mm] ne Basis, da lin unabh.
2. Wenn das Gausv. Nullzeilen liefert, bilden die restlichen ne Basis. (die sind ja dann lin unabh. und Linearkombinationen der [mm] a_i
[/mm]
probier wieder im [mm] \IR^3
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
das heißt dann wenn es keine Nullzeile gibt, dann ist die Dimension gleich der Anzahl der [mm] a_{1},...,a_{m}...
[/mm]
und wenn es eine Nullzeile gibt, dann sind es m-der linear abhängigen vektoren...oder?oder muss ich hierirgendwie mit dem Zeilenrang kommentieren?
LG Schmetterfee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Fr 29.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, der Zeilenrang ist die dimension des UR.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
ich hab mir das nochmal durch dacht reicht es zu sagen, dass die [mm] a_{i} [/mm] l.u. sind weil damit habe ich doch noch nicht gezeigt, dass sie ganz U erzeugen...
|
|
|
| |
|
Okay doofe Frage steht ja schon in der aufgabe das [mm] a_{1}...a_{m} [/mm] den Untervektorraum erzeugen..also ist schon klar was ich als antworts chreiben muss...danke für die Unterstützung..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Fr 29.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
WENN keine Nullzeile entsteht bilden die [mm] a_i [/mm] ne basis es UR und der ist m dim. WENN einige Nullzeilen entstehen, dann ist die din des UR = rang der matrix.
Gruss leduart
|
|
|
|
