Gaußsches Eliminierungsverfahr < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 So 04.02.2007 | | Autor: | lyly22 |
Hallo, meine Frage ist wann man die Gleichung beim Gaußschen Eliminierungsverfahren tauschen sollte?
Ich hab das mal getestet, da hab ich bei beiden Fällen die selben Ergebnisse (also kein Unterschied).
Ich glaube aber dass man manchmal die gleichungen vertauschen soll um zu rechnen.
MfG
lyly22
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 So 04.02.2007 | | Autor: | thoma2 |
meinst du damit
[mm] \pmat{ 1 & 2 &| 5 \\ 3 & 4 &| 6}
[/mm]
durch
[mm] \pmat{ 3 & 4 &| 6 \\ 1 & 2 &| 5} [/mm] ?
immer, das macht keinen unterschied
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Hallo lyly22,
> Ich glaube aber dass man manchmal die gleichungen
> vertauschen soll um zu rechnen.
Wenn das Diagonalelement [mm]a_{ii}[/mm] bei einem LGS 0 wird, so bricht das Gauß-Verfahren ohne Pivotisierung zusammen, weil du ja die komplette Spalte unter [mm]a_{ii}[/mm] eliminierst, indem du formal [mm]a_{ji}:=a_{ji}-\tfrac{a_{ji}}{a_{ii}}\cdot{a_{ii}}[/mm] mit [mm]j>i[/mm] rechnest. Nun könnte man natürlich hingehen und in einer praktischen Implementierung sofort [mm]a_{ji}:=0[/mm] setzen. Letztlich nützt dir das aber nichts, da du ja diese Subtraktion auf alle Zeilen unterhalb [mm]a_{ii}[/mm] anwendest. M.a.W. mußt du diesen Quotienten oben berechnen und kriegst eine Division durch Null.
Ein anderer Grund, warum Pivotisierung wichtig ist, liegt in der Stabilität des Gauß-Algorithmus. Man kann zeigen, daß dieser Algorithmus ohne Pivotisierung sehr anfällig gegenüber Rundungsfehlern bei Gleitkommazahlen ist, so daß am Ende trotz richtiger Anwendung des Algos falsche Ergebnisse rauskommen.
Grüße
Karl
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