Gaußverfahren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Lavanya |
| Aufgabe | Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper K:
[mm] x_{1}+ x_{3}+ x_{5} [/mm] + [mm] x_{6} [/mm] = 0
[mm] x_{2}+ x_{3} [/mm] + [mm] x_{4}+ x_{5} [/mm] =1
[mm] x_{1}+x_{4} +x_{5} +x_{6} [/mm] = 1
[mm] x_{2}+ x_{3}+ x_{5} [/mm] = 0
[mm] x_{1}+ x_{2}+ x_{3}+ x_{4}+ x_{6} [/mm] = 1
<bringen sie dieses lineare Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren in Zeilen StufenForm und bestimmen Sie seine Lösungsmenge
(a) für K = [mm] \IR
[/mm]
(b) für K= ( [mm] \IZ/2 \IZ) [/mm] |
Hallo Ihr lieben...
Bei dieser Aufgabe ist es ja eigentlich nicht so schwer...
Schreibarbeit....
Zumindest bei der Aufgabe (a) ..
Ich weiß leider nicht was und vor allem wie ich (b) machen soll....
Ich hoffe da kann mit jemand weiter helfen...
MFG
Lavanya
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Fr 06.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Lavanya,
[mm] \IZ/2 \IZ [/mm] ist ein recht angenehmer Körper:
es gibt nur zwei Zahlen (0 und 1), und dann beachte man noch die Rechenregel 1+1 = 0 (d.h. auch -1 = 1) und dann geht alles wie bei a)!
Gruß
piet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Lavanya |
Danke erstmal...
Ich war ja gerade dabei die Aufgabe (a) zu machen... aber hab es noch nicht ganz fertig....Ich weiß nicht wie ich das genau machen soll... In den Büchern und im Internet und sógar im Vorlesungsscript wird das Gaußverfahren anders beschrieben...
Kann mir jemand sagen wie die Matrix am Ende aus sehen muss?
Muss in der Diagonalen überall eine eins stehen ?
oder...
Müssen von der linken Seite der Stufe überall Nullen stehen...
Denn wenn unter der Stufe überall Nullen stehen, bekomme ich für [mm] x_{3}und x_{5} [/mm] = 0 raus... für den rest steht 0 = 0 ...
MFG
dilani
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> Ich war ja gerade dabei die Aufgabe (a) zu machen... aber
> hab es noch nicht ganz fertig....Ich weiß nicht wie ich das
> genau machen soll... In den Büchern und im Internet und
> sógar im Vorlesungsscript wird das Gaußverfahren anders
> beschrieben...
Mmh - tatsächlich? Hast du vielleicht mal in ein Schulbuch geguckt? Das müsste sogar - recht verständlich wahrscheinlich - in einem Grundkurs-Mathebuch stehen (so 11. oder 12. Klasse). Aber egal, ich sag dir mal, was ich dazu weiß. 
> Kann mir jemand sagen wie die Matrix am Ende aus sehen
> muss?
>
> Muss in der Diagonalen überall eine eins stehen ?
Nein.
> oder...
>
> Müssen von der linken Seite der Stufe überall Nullen
> stehen...
Ich bin mir nicht ganz sicher, was bei dir die Stufe ist, aber ich glaube, das ist richtig. Also, die Matrix muss aussehen wie eine untere Dreiecksmatrix. Das heißt, dass auf der Diagonalen irgendetwas stehen darf, unterhalb der Diagonalen nur Nullen und oberhalb der Diagonalen wiederum irgendwas. Also steht in der ersten Spalte nur ein einziger Eintrag, nämlich in der ersten Zeile. In der zweiten Spalte können zwei Einträge stehen, nämlich die ersten beiden, in der dritten drei (die ersten drei) usw. usw., und der Rest sind jeweils nur Nullen.
> Denn wenn unter der Stufe überall Nullen stehen, bekomme
> ich für [mm]x_{3}und x_{5}[/mm] = 0 raus... für den rest steht 0 =
> 0 ...
Das habe ich jetzt mal nicht nachgerechnet. Aber evtl. möchtest du die Matrix, die du am Ende erhältst, mal posten?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
P.S.: Warum hast du das denn nur als Mitteilung gepostet? Es war doch eindeutig eine Frage, oder? Und Mitteilungen werden meistens höchstens von den Leuten gelesen, die in dem Thread schon was geantwortet haben...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Lavanya |
Hallo,
es wäre Lieb wenn ihr mir hier sagen könntet wie ich hier weiter machen soll ...
was heißt es , wenn in der lezten Spalte nur Nullen stehen...
Es ist zu Aufgabe... (b)
bin bis hier hin gekommen... den Anfang hab ich weg gelassen..
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 | 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 | 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 | 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 | 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 | 0} [/mm]
Wie muss ich jetzt hier in dem Körper K = ( [mm] \IZ/2 \IZ [/mm] ) weiter machen ?
|
|
|
| |
|
Hallo!
Also, ich hoffe mal, ich rede hier jetzt keinen Stuss... 
> was heißt es , wenn in der lezten Spalte nur Nullen
> stehen...
Naja, dann steht da ja quasi so etwas wie: 0*a+0*b+0*c+0*d+0*e+0*f=0 und das ist das Gleiche wie 0=0 und das ist offensichtlich wahr. Das bedeutet dann, dass es egal ist, was du für f einsetzt, wenn du die anderen Variablen alle richtig belegst, sind mit jedem beliebigen f alle Gleichungen erfüllt.
> Es ist zu Aufgabe... (b)
>
> bin bis hier hin gekommen... den Anfang hab ich weg
> gelassen..
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 | 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 | 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 | 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 | 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 | 0}[/mm]
>
> Wie muss ich jetzt hier in dem Körper K = ( [mm]\IZ/2 \IZ[/mm] )
> weiter machen ?
Naja, eigentlich genauso, wie über [mm] \IZ [/mm] oder jedem anderen Körper. Du fängst unten an, die Variablen auszurechnen:
0=0 da brauchst du nichts mehr zu rechnen. In der vorletzten Zeile steht dann d=1; in der dritten Zeile steht: c=0; in der zweiten: b+e=0 und in der ersten: a+e+f=1. Wenn du die Gleichung b+e=0 noch nach e "auflöst" bekommst du e=-b und das kannst du in a+e+f=1 einsetzen, dann hast du a-b+f=1. Das wiederum kannst du noch z. B. nach a auflösen: a=1+b-f.
Eine eindeutige Lösung wirst du nicht bekommen, denn du hast ein unterbestimmtes LGS, du wirst also immer nur eine Lösung in Abhängigkeit einer Variablen rausbekommen.
Viele Grüße
Bastiane
P.S.: Ich bin mir gerade nicht ganz so sicher, ob ich mich hier irgendwo vertan habe, jedenfalls bekomme ich hier im Moment nur eine Abhängigkeit von zwei Variablen raus...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 Fr 06.01.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Es ist zu Aufgabe... (b)
> >
> > bin bis hier hin gekommen... den Anfang hab ich weg
> > gelassen..
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 | 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 | 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 | 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 | 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 | 0}[/mm]
> >
> > Wie muss ich jetzt hier in dem Körper K = ( [mm]\IZ/2 \IZ[/mm] )
> > weiter machen ?
>
> Naja, eigentlich genauso, wie über [mm]\IZ[/mm] oder jedem anderen
> Körper. Du fängst unten an, die Variablen auszurechnen:
Also von [mm] ''$\IZ$ [/mm] oder jedem anderen Koerper'' zu reden ist ein wenig gewagt, nicht das noch jemand auf die Idee kommt dass [mm] $\IZ$ [/mm] ein Koerper ist
> 0=0 da brauchst du nichts mehr zu rechnen. In der
> vorletzten Zeile steht dann d=1; in der dritten Zeile
> steht: c=0; in der zweiten: b+e=0 und in der ersten:
> a+e+f=1. Wenn du die Gleichung b+e=0 noch nach e "auflöst"
> bekommst du e=-b und das kannst du in a+e+f=1 einsetzen,
> dann hast du a-b+f=1. Das wiederum kannst du noch z. B.
> nach a auflösen: a=1+b-f.
>
> Eine eindeutige Lösung wirst du nicht bekommen, denn du
> hast ein unterbestimmtes LGS, du wirst also immer nur eine
> Lösung in Abhängigkeit einer Variablen rausbekommen.
In Abhaengigkeit von zwei Variablen! Es gibt hier sechs Variablen und fuenf Gleichungen, von denen eine wegfaellt (da $0 = 0$), also sechs Variablen und vier Gleichungen.
> P.S.: Ich bin mir gerade nicht ganz so sicher, ob ich mich
> hier irgendwo vertan habe, jedenfalls bekomme ich hier im
> Moment nur eine Abhängigkeit von zwei Variablen raus...
Ja, weil das $A$ aus $A x = b$ eine $5 [mm] \times [/mm] 6$-Matrix ist
LG Felix
|
|
|
|
