Gebiet, offen und zusammenhäng < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Mi 03.08.2011 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Sei D = { z [mm] \in \IC [/mm] / |z-1| < 1 } und E = {z [mm] \in [/mm] C / Re(z) < 0}
Zeigen Sie: D und E sind Gebiete. |
Hallo zusammen,
ich habe mir über die Aufaben schon lange Gedanken gemacht.
Um zu zeigen dass es Gebiet sind muss ich zeigen, dass D und E jeweils offen und zusammenhängend sind.
Für E scheint mir das klar zu sein, denn E = (- [mm] \infty [/mm] ; 0) x [mm] \IR [/mm] )
Diese Menge ist offensichtlich offen und zusammenhängend.
Als Kugel könnte man beispielsweise B(z;Re(z) / 2) verwenden. Diese Kugel liegt komplett in E, also ist D offen.
Nun aber zu D.
Da hab ich ehrlich gesagt nicht so wirklich Ahnung wie ich da offen und zusammenhängend zeigen soll. Vor allem deswegen nicht, weil ich nicht weiß wie ich mir die Menge vorstellen soll.
Ist das ein Kreis?!
Bräuchte da nen Tipp und wie man da dann den Beweis anfangen könnte.
Vielen Dank und schönen Nachmittag noch :)
Lg
Tina
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Hallo Tina,
> Sei $D = [mm] \{ z \in \IC \ \mid \ |z-1| < 1 \}$ [/mm] und $E = [mm] \{z \in\IC \ \mid \ \operatorname{Re}(z) < 0\}$
[/mm]
>
> Zeigen Sie: $D$ und $E$ sind Gebiete.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe mir über die Aufaben schon lange Gedanken
> gemacht.
> Um zu zeigen dass es Gebiet sind muss ich zeigen, dass $D$
> und $E$ jeweils offen und zusammenhängend sind.
>
> Für $E$ scheint mir das klar zu sein, denn $E = (- [mm] \infty [/mm] , [mm] 0)\times \IR$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die untere Halbebene ..
>
> Diese Menge ist offensichtlich offen und zusammenhängend.
> Als Kugel könnte man beispielsweise B(z;Re(z) / 2)
> verwenden. Diese Kugel liegt komplett in E, also ist D
> offen.
Jo, und was ist mit "zusammenhängend"?
>
>
> Nun aber zu D.
>
> Da hab ich ehrlich gesagt nicht so wirklich Ahnung wie ich
> da offen und zusammenhängend zeigen soll. Vor allem
> deswegen nicht, weil ich nicht weiß wie ich mir die Menge
> vorstellen soll.
>
> Ist das ein Kreis?!
Eine Kreisscheibe (ohne Rand)
Geometrisch bedeutet [mm]|z-w|<\alpha[/mm], dass [mm]z[/mm] von [mm]w[/mm] einen Abstand kleiner als [mm]\alpha[/mm] hat.
Setze doch [mm]z=x+iy[/mm] ein:
[mm]|z-1|=|x+iy-1|=|(x-1)+iy|=\sqrt{(x-1)^2+y^2} \ \overset{!}{<} \ 1[/mm]
[mm]\Rightarrow (x-1)^2+y^2< 1[/mm]
[mm](x-x_M)+(y-y_M)=r^2[/mm] ist die aus der Schule bekannte Kreisgleichung mit Mittelpunkt [mm]M=(x_M,y_M)[/mm] und Radius [mm]r[/mm]
Es ist [mm]D[/mm] also die Kreisscheibe (ohne Kreisrand) (auch offene Kreisscheibe genannt) mit Mittelpunkt [mm](1,0)[/mm] bzw. [mm]z=1+0i=1[/mm] mit Radius [mm]1[/mm]
>
> Bräuchte da nen Tipp und wie man da dann den Beweis
> anfangen könnte.
Nun weißt du ja, was für ein Gebilde das Biest ist.
Klappt es damit schon?
Bestimmt!
>
> Vielen Dank und schönen Nachmittag noch :)
>
> Lg
> Tina
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mi 03.08.2011 | | Autor: | tinakru |
Danke für deine ausführliche Antwort.
Da wär ich nie draufgekommen, dass es die Kreisscheibe mit Mittelpunkt (1/0) ist.
Offen ist für mich immer relativ leicht nachzuprüfen.
Das größere Problem bereitet mir zusammenhängend.
Ich will das nur sehr ungern mit der direkten Definition nachprüfen, haben wir eigentlich auch in der VL nie gemacht.
Gibts da nicht ne Alternative wie man das prüfen kann?
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Hiho,
> Das größere Problem bereitet mir zusammenhängend.
>
> Ich will das nur sehr ungern mit der direkten Definition
> nachprüfen, haben wir eigentlich auch in der VL nie
> gemacht.
> Gibts da nicht ne Alternative wie man das prüfen kann?
ihr hattet bestimmt auch den Begriff wegzusammenhängend.
Schlag mal nach, was das ist und zeige dann, dass beide Mengen wegzusammenhängend sind, daraus folgt sofort, dass sie auch zusammenhängend sind 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mi 03.08.2011 | | Autor: | tinakru |
Ja wir hatten den Begriff wegzusammenhängend.
Eine Menge M ist wegzusammenhängend, falls es zu allen Punkten z, w aus D eine stückweise glatte Kurve (= Weg) in D mit Anfangspunkt z und Endpunkt w gibt.
Ein Beispiel haben wir leider nicht gemacht in der Vorlesung.
Was soll ich da in meinem Fall für einen Weg nehmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:49 Do 04.08.2011 | | Autor: | Stoecki |
Für die Menge D würde ich zwei beliebige Punkte x und y wählen und zeigen, dass es jeweils einen Weg zum Mittelpunkt gibt. (überleg dir einfach, wie man eine Funktion bauen kann, die die Strecke zwischen x und dem Mittelpunkt und dem Mittelpunkt und y beschreibt. Tipp: Denk mal an Konvexität) der Weg ist dann eine aneinanderreihung dieser beiden Funktionen. Etwas kürzer kann man natürlich auch den direkten Weg zwischen x und y nehmen (denk wieder an Konvexität, dann weißt du schon wie sowas aussehen muss). Bei E würde letzteres ebenfalls klappen.
Gruß Bernhard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Do 04.08.2011 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Beweis, dass D wegzusammenhängend und damit zusammenhängend ist.
D = { z [mm] \in \IC [/mm] / |z-1| < 1 } |
Hallo,
dann versuch ich mich mal an dem Beweis :)
Also seien z,w [mm] \in [/mm] D . Zeige dass es eine Kurve zwischen z und w gibt.
Idee wie bereits erwähnt: Verbindungsstrecke z mit dem Mittelpunkt verkettet mit der Verbindungsstrecke von w mit dem Mittelpunkt.
Der Mittelpunkt meiner Menge D ist M (1/0)
Kurve für die Verbindung von z zu M
f: [0,1] ---> [mm] \IC [/mm] definiert mit f(t) = z+t(1-z)
und Verbindung von w zu M: g: [0,1]---> [mm] \IC [/mm] def. mit g(t) = w + t(1-w)
Es gilt:
f(0) = z
f(1) = 1
g(0) = w
g(1) = 1
Es müsste gelten, dass f und g verkettbar sind, also dass f(1) = g(0) ist.
Ich befürchte ich habe irgendwo nen Fehler drinnen :(
Ist meine Verbindungsstrecke überhaupt richtig und die Funktionsdefinition als von [0,1] nach [mm] \IC
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Do 04.08.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Beweis, dass D wegzusammenhängend und damit
> zusammenhängend ist.
>
> D = { z [mm]\in \IC[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
/ |z-1| < 1 }
> Hallo,
>
> dann versuch ich mich mal an dem Beweis :)
>
> Also seien z,w [mm]\in[/mm] D . Zeige dass es eine Kurve zwischen z
> und w gibt.
>
> Idee wie bereits erwähnt: Verbindungsstrecke z mit dem
> Mittelpunkt verkettet mit der Verbindungsstrecke von w mit
> dem Mittelpunkt.
>
> Der Mittelpunkt meiner Menge D ist M (1/0)
>
> Kurve für die Verbindung von z zu M
>
> f: [0,1] ---> [mm]\IC[/mm] definiert mit f(t) = z+t(1-z)
>
> und Verbindung von w zu M: g: [0,1]---> [mm]\IC[/mm] def. mit g(t) =
> w + t(1-w)
>
> Es gilt:
>
> f(0) = z
> f(1) = 1
> g(0) = w
> g(1) = 1
>
>
> Es müsste gelten, dass f und g verkettbar sind, also dass
> f(1) = g(0) ist.
>
> Ich befürchte ich habe irgendwo nen Fehler drinnen :(
>
> Ist meine Verbindungsstrecke überhaupt richtig und die
> Funktionsdefinition als von [0,1] nach [mm]\IC[/mm]
Wozu gehst Du über den Mittelpunkt ?
Seien [mm] z_0 [/mm] , [mm] w_0 \in [/mm] D und [mm] z(t):=z_0+t(w_0-z_0) [/mm] (t [mm] \in [/mm] [0,1]) (Parametrisierung der Verbindungsstrecke von [mm] z_0 [/mm] und [mm] w_0)
[/mm]
Zu zeigen ist: z(t) [mm] \in [/mm] D für alle t [mm] \in [/mm] [0,1]:
$|z(t)-1|= [mm] |z_0-tz_0+tw_0-1|= |(z_0-1)(1-t)+(w_0-1)t| \le |z_0-1|*(1-t)+|w_0-1|*t [/mm] <(1-t)+t=1$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Do 04.08.2011 | | Autor: | tinakru |
Zu zeigen ist: z(t) [mm] \in [/mm] D für alle t [mm] \in [/mm] [0,1]:
$|z(t)-1|= [mm] |z_0-tz_0+tw_0-1|= |(z_0-1)(1-t)+(w_0-1)t| \le |z_0-1|*(1-t)+|w_0-1|*t [/mm] <(1-t)+t=1$
Was sagt mir die letzte Zeile?
Ist das die Lösung für das Problem?
Warum liegt die Verbindungsstrecke ganz in D wenn |z(t)-1| = 1 ist ?!
Die Menge ist ja offen oder, also reicht doch = 1 nicht aus oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Do 04.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> siehe oben
> Zu zeigen ist: z(t) [mm]\in[/mm] D für alle t [mm]\in[/mm] [0,1]:
>
> [mm]|z(t)-1|= |z_0-tz_0+tw_0-1|= |(z_0-1)(1-t)+(w_0-1)t| \le |z_0-1|*(1-t)+|w_0-1|*t <(1-t)+t=1[/mm]
>
>
> Was sagt mir die letzte Zeile?
z(t) $ [mm] \in [/mm] $ D
>
> Ist das die Lösung für das Problem?
Ja
>
> Warum liegt die Verbindungsstrecke ganz in D wenn |z(t)-1|
> = 1 ist ?!
>
???? ich habe gezeigt: |z(t)-1| <1 : Augen aufmachen !
> Die Menge ist ja offen oder, also reicht doch = 1 nicht aus
> oder?
Nein reicht nicht
FRED
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